常用逻辑用语 学案
班级 姓名
★知识要点
一、命题及其关系
1、用 、 或 表达的， 的 称为命题．
2、四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）
原命题：若p则q 逆命题：
否命题： 逆否命题：
3、四种命题的关系
命题真假性判断：
(1)原命题与 同真假. (2)原命题的 与 同真假.
4、反证法
二、充分条件与必要条件
1、若命题“若p则q”为真，则记作 ；若命题“若p则q”为假，则记作 ；
2、若pq，则称p是q的 条件，q是p的 条件.
(1)若 pq ,qp，则称p是q的 条件；
(2)若 pq ,qp，则称p是q的 条件；
(3)若 pq ,qp，即pq，则称p是q的 条件；
(4)若 pq ,qp，则称p是q的 条件.
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
(1)若AB,则A是B的 条件；(2) 若BA,则A是B的 条件；
(3)若A=B，则A是B的 条件；(4)若AB且BA，则A是B的 条件.
4、充分条件、必要条件、充要条件的常用判断方法：
（1）利用定义；（2）利用集合之间的关系；（3）等价转换
三、简单的逻辑联结词
1、逻辑联结词有 、 、 . 复合命题的的形式： 、 、
2、“非p”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定
p q pˇq p^q p
真 真
真 假
假 真
假 假
3、复合命题真假的判断：
四、全称量词与特称量词
1、含有全称量词的命题,叫做 .
常见的全称量词有： 、 、 、
、 、 等。用符号“ ”表示.
全称命题：“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符
号简记为：
2、含有存在量词的命题,叫做 .常见的存在量词有： 、 、 、
、 、 等.存在量词用符号“ ”表示.
特称命题：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：
3、一般地,对于含有一个量词的全称命题、特称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p：，它的否定是
特称命题p：，它的否定是
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
★例题选讲
例1.判断下列命题的真假：
（1）； （2）至少有一个整数，它不是质数也不是合数;
（3）“若则”的逆否命题；（4）“若则为相反数”的否命题
例2.分别指出下列各组命题构成的“”“ ”“”形式的复合命题的真假:
（1）p：3＞3，q：3=3； （2）p：，q：； （3）p：，q：；
（4）p：函数的图象与x轴有公共点，q：方程没有实数根；
例3.写出下列命题的否定:
（1）无论x为何实数，sin2x＋cos2x=1； （2）不等式x2＋x＋1≤0有实数解;
（3）对于任意的，；
（4）已知实数，若，则； （5）平行四边形的对角线相等且互相平分.
例4.写出下列命题的否命题:
（1）已知实数，若，则； （2）若，则;
（3）矩形的对角线相等； （4）若，则中至少有一个为0.
例5.设p:|4x－3|≤1,q:x2－（2a+1）x+a（a+1）≤0.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
例6.已知函数f(x)是（-∞，+∞）上的增函数,a，b是实数,对命题“若,则”.
（1） 写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
（2） 写出其逆否命题，并证明你的结论.
例7. 已知函数且给定条件P：“”，条件Q：“”，条件P是Q 的充分条件，求实数m的取值范围.
例8.已知数列的前n项和，求证数列为等比数列的充要条件为q=-1.
例9.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数.
练习题：
1．条件p：，条件q：，则 是 的 条件.
2．若x2－3x+2≠0是x≠1的__________________条件.
3．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么是的___________条件.
4. 设命题甲：|x－2|＜3：命题乙：0＜x＜5；那么甲是乙的____________条件.
5 .给定两个命题p、q，则可组成四个复合命题“┐p”、“┐q”、“p或q”、“p且q”,这四个复合命题中，真命题的个数为a，假命题的个数为b，则a、b的大小关系是__________.
6. 已知命题“若则”和“若则”均为真命题，则“”是“”
的____________条件.
7. 命题“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，求m的值.
8．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________ _ .
9. 如图电路中，规定“开关A的闭合”为条件M，“灯泡B亮”为结论N， 则M是N的__________________条件.
10．方程3x2－10x+k=0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是 ___.
11．已知p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝∈｛1，2｝，则①“p且q”为假；②“p或q”为真；③“非p”为真，其中的真命题的序号____________.
12．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______.
13.ac>bc是的 条件.
14.已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“数列为等差数列”的 条件.
15. 设a，b，c分别是三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边，则是A=2B的 条件.
16.“”是“对任意的正数x，”的 条件.
17、设a，b是实数，已知命题p：a=b；命题q：，则p是q成立的 条件.
18. 设若“a=1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 .
19. 已知不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是 .
20. 已知命题p：方程在上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式，若命题“p或q”为假命题，求a的取值范围.
互为逆否
互否
互否
互逆
互逆
逆否命题
否命题
逆命题
原命题
第 1 页 共 5 页常用逻辑用语学案参考答案
例题
例1 （1）真； （2）真 （3）假（4）真
例2. （1）假 真 真 (2) 假 真假
（3） 真真假 （4）假 假
例3.（1）， （2），
（3），； （4）已知实数，若，则；
（5）至少有一个平行四边形的对角线不相等或不平分.
例4.（1）已知实数，若，则； （2）若，则;
（3）若一个四边形不是矩形则它的对角线不相等； （4）若，则都不为0.
例5. 解：p: q：
因为p是q的充分不必要条件， 所以 即
例6. 解：（1）逆命题：若，则，它是真命题.
可用反证法证明：假设，则，
因为函数f(x)是（-∞，+∞）上的增函数,所以，
所以与已知条件矛盾，所以逆命题为真命题.
（2）逆否命题：若，则，它是真命题.
可先证明原命题为真。
因为所以，
又因为函数f(x)是（-∞，+∞）上的增函数，所以，
所以”.所以逆否命题为真.
例7.解：
. 因为，所以
因为，所以
因为P是Q的充分条件，所以,所以，即
例8.证明：（充分性）当时，
当时，，当时也成立.
于是，即数列为等比数列
（必要性）当时，；当时，
因为，所以
所以，
又因为，所以，所以
又因为所以
例9.证明：假设a，b，c都是奇数
因为方程有有理数根，可设为（p，q互质）
所以，整理得
因为p，q不可能同时为偶数，所以当p，q同时为奇数时，有为奇数，不可能为0，
当p，q中有一个为奇数，一个为偶数时，仍有为奇数，不可能为0
故假设不成立，a，b，c中至少有一个是偶数
练习题
1、 充分不必要
2、 充分不必要
3、 必要
4、 必要不充分
5、 a=b
6、 充分
7、18
8、[-2,2]
9、充分不必要
10、
11、①②
12、（-2，2）
13、充要
14、充分不必要
15、充要
16、充分不必要
17、充分不必要
18、（-2，2）
19、
20、由题意知.
若p正确，的解为或
若方程在上有解，
只需满足，即
若q正确，即只有一个实数x满足
则有，即a=0或2
若p或q是假命题
则p和q都是假命题
有所以a的取值范围是第一章 常用逻辑用语单元检测
姓名： 班级
一、选择题（共12小题，每题5分）：
1、设a∈R，则a>1是<1 的 （ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、已知下列四个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若”的逆命题；④若“m>2,”.其中真命题的个数为( ) A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3、设原命题：若，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
4、在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、函数y = x2 + bx + c是单调函数的充要条件是（ ）
A、 B、 C、b > 0 D、b < 0
6、已知a1，a2，a3，a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1，a2，a3，a4成等比数列的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充分且必要条件 D、既不充分又不必要条件
7、在ΔABC中，条件甲：A cosB,则甲是乙的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、既非充分又非必要条件 D、充要条件
8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10、命题①，使 ②对，
③对 ④，使，其中真命题为（ ）
Ａ、③ Ｂ、③④ Ｃ、②③④ Ｄ、①②③④
11、下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（ ）
Ａ、
B、 在第一象限是增函数
Ｃ、q:不等式的解集为
Ｄ、 p: 若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角；
q:已知若
12、设分别是的三个内角A、B、C所对的边，则是A=2B的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、即不充分也不必要条件
二、填空题（共4小题，每题5分）：
13．在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的
14．命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。
15、写出下列含有全称量词或存在量词的命题的否定:①有的平行四边形是菱形
②存在质数是偶数
16．在下列四个结论中，正确的有 （填序号）
①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；
②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件③“”是“”的充分不必要条件；
④“”是“”的必要不充分条件。
一、选择题答题表（共12小题，每题5分）：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
三、解答题（共6小题）：
17、写出命题“若，则或”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。
18、若x >0 ,y >0, x+y>2 ,求证：至少有一个成立。
19．求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是
20．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。
21．△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足
（1）求此△ABC的一个必要条件；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值。
22. 已知数列前n项和为且
(Ⅰ)求证：满足条件数列充要条件是通项公式为；
(Ⅱ)若数列满足，且，
求通项公式及前项和.
第一章 常用逻辑用语单元检测答案
一、选择题（共10小题，每题5分）：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A D A B D A D B C C
二、填空题（共4小题，每题5分）：
13．充要条件；14。；15（略）16。①②④
17 。（略）
18、证明：假设.因为x >0 ,y >0，所以
∴与x+y>2矛盾，
故假设不成立，所以至少有一个成立
19．解：对任意实数都有恒成立
；
20、解：
而，即。
21解：(1)
（2）由
故（舍）或
故当
22．解：(Ⅰ)∵， ∴
两式相减得 .∴ .
∴为公式为的等比数列
又时，. ∴
∴
(Ⅱ)∵
∴
相加，. ∵，
∴
即
