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数列
一.知识总结
1.数列的有关概念;
1.数列:按一定次序排列的一列数叫做数列.
(1)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…记为{an},其中an是数列的第n项.
(2)可视数列为特殊函数,它的定义域是正自然数集的子集(必须连续),因此研究数列可联系函数的相关知识,如数列的表示法(列表法、图象法、公式法等)、数列的分类(有限和无穷、有界无界、单调或摆动等).应注意用函数的观点分析问题.
2.通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达,那么这个公式就叫做数列的通项公式,可以记为an=f(n).
并非每一个数列都可以写出通项公式,有些数列的通项公式也并非是唯一的.
3.数列的前n项和
数列{an}的前n项之和,叫做数列的前n项和,常用Sn表示. Sn=a1+a2+…+an.
Sn与通项an的基本关系是:an=
4.递推是认识数列的重要手段,递推公式是确定数列的一种方式,根据数列的递推关系写出数列.
2.等差数列的概念
1.定义若数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{an}叫等差数列.
2.通项公式:an=a1+(n-1)d,
3.等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=;
4.前n项和:Sn==na1+d
5性质:(1)am=ak+(m-k)d,d=.
(2)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.
(3)若m、n、l、k∈N*,且m+n=k+l,则am+an=ak+al,反之不成立.
(4)设A=a1+a2+a3+…+an,B=an+1+an+2+an+3+…+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n,则A、B、C成等差数列.
(5)若数列{an}的项数为2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,=,S2n=n(an+an+1)
若数列{an}的项数为2n-1(n∈N*),则S奇-S偶=an,=,S2n-1=(2n-1)an
3.等比数列
1.定义:数列{an}从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.
2.通项公式:an=a1qn-1,
3.前n项和Sn=
4.等比中项:若a、b、c成等比数列,则b为a、c的等比中项,且b=±.
5.证明等比数列的方法:(1)用定义:只需证=常数;(2)用中项性质:只需an+12=an·an+2
6.性质:(1)am=ak·qm-k.
(2)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列为等比数列,公比qm.
(3)若m、n、l、k∈N*,且m+n=k+l,则am·an=ak·al,反之不成立.
(4)设A=a1+a2+a3+…+an,B=an+1+an+2+an+3+…+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n,则A、B、C成等比数列,设M=a1·a2·…·an,N=an+1·an+2·…·a2n,P=a2n+1·a2n+2·…·a3n,则M、N、P也成等比数列.
4.数列的应用
1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.
2.理解“复利”的概念,注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.
3.实际问题转化成数列问题,首先要弄清首项、公差(或公比),其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.
二.典型例题
例1. 有一数列{an},a1=a,由递推公式an+1=,写出这个数列的前4项,并根据前4项观察规律,写出该数列的一个通项公式.
例2. 在数列{an}中,a1=1,an+1=,求an.
例3. 已知在正项数列{an}中,Sn表示前n项和且2=an+1,求an.
例4. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:{}是等差数列; (2)求an的表达式.
例5. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5,5,5成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an、bn.
例6.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;
(3)试比较an与Sn的大小.
例7. 已知数列{an}中,a1=且对任意非零自然数n都有an+1=an+()n+1.数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1-an.
(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
例8.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
三.同步练习题
1.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n是____________
2.方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=____
3.在{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则an=___________________.
4. 从2002年1月2日起,每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为___________万元.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个最大,并说明理由.
6.已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n为正偶数,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列,又f(1)=n2,f(-1)=n.试比较f()与3的大小.
7.设数列{an},a1=,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0
(n∈N*且n≥2)都有根、满足3-+3=1.
(1)求证:{an-}为等比数列;(2)求an;(3)求{an}的前n项和Sn.
8.已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
(3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2, Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,
其中n=1,2,…,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
例题参考答案
1.解:∵a1=a,an+1=,∴a2=,
a3===, a4===.
观察规律:an=形式,其中x与n的关系可由n=1,2,3,4得出x=2n-1.而y比x小1, ∴an=.
2.解:原式可化为-=n,
相加得-=1+2+…+(n-1),∴an=.
例3.解:由已知2=an+1,得当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
代入已知有2=Sn-Sn-1+1,即Sn-1=(-1)2.
又an>0,故=-1或= 1-(舍),即-=1(n≥2),由定义得{}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴=n.故an=2n-1.
例4.(1)证明:∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2),Sn≠0(n=1,2,3…).
∴-=2. 又==2,∴{}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:由(1),=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-〔或n≥2时,an=-2SnSn-1=-〕;
当n=1时,S1=a1=. ∴an=
例5. 解:∵5,5,5成等比数列,
∴(5)2=5·5,即2bn=an+an+1. ①
又∵lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,
∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即an+12=bn·bn+1. ②
由②及ai>0,bj>0(i、j∈N*)可得
an+1=. ③∴an=(n≥2). ④
将③④代入①可得2bn=+(n≥2),
∴2=+(n≥2).
∴数列{}为等差数列.∵b1=2,a2=3,a22=b1·b2,∴b2=.
∴=+(n-1)(-)=(n+1)(n=1也成立).
∴bn=. ∴an===(n≥2).
又当n=1时,a1=1也成立. ∴an=.
例6.(1)证明:∵bn=log2an,∴bn+1-bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.
(2)解:∵b1+b3+b5=6,∴b3=2.
∵a1>1,∴b1=log2a1>0.
∵b1b3b5=0,∴b5=0.
∴解得 ∴Sn=4n+×(-1)=.
∵∴ ∴an=25-n(n∈N*).
(3)解:显然an=25-n>0,当n≥9时,Sn=≤0.∴n≥9时,an>Sn.
∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,
∴当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn;
当n=1,2或n≥9时,an>Sn.
例7.(1)证明:bn=an+1-an=[an+()n+1]-an=()n+1-an,bn+1=()n+2-an+1=()n+2-[an+()n+1]=·()n+1-an-·()n+1=·()n+1-an=·[()n+1-an],
∴=(n=1,2,3,…).∴{bn}是公比为的等比数列.
(2)解:∵b1=()2-a1=-·=,∴bn=·()n-1=()n+1.由bn=()n+1-an,得()n+1=()n+1-an,解得an=6[()n+1-()n+1].
例8.解:(1)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).
∴{an}是等差数列.设公差为d,又a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,
∴d=-2.∴an=-2n+10.
(2)bn===(-),
∴Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.
假设存在整数m满足Sn>总成立.
又Sn+1-Sn=-=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的. ∴S1=为Sn的最小值,故<,
即m<8.又m∈N*, ∴适合条件的m的最大值为7.
练习答案
1. n=50. 2. 3. 3n2 4. [(1+p)7-(1+p)] 5.-<d<-3. S6最大
6. 解:∵f(1)=a1+a2+…+an=n2.
依题设,有=n2,故a1+an=2n,
即2a1+(n-1)d=2n.
又f(-1)=-a1+a2-a3+a4-a5+…-an-1+an=n,
∴·d=n,有d=2.进而有2a1+(n-1)2=2n,解出a1=1.
于是f(1)=1+3+5+7+…+(2n-1).
f(x)=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.
∴f()=+3()2+5()3+7()4+…+(2n-1)()n. ①
①两边同乘以,得
f()=()2+3()3+5()4+…+(2n-3)()n+(2n-1)()n+1. ②
①-②,得f()=+2()2+2()3+…+2()n-(2n-1)()n+1,
即f()=++()2+…+()n-1-(2n-1)()n+1.
∴f()=1+1+++…+-(2n-1)=1+-(2n-1)=1+2--(2n-1)<3.
∴f()<3.
7.(1)证明:∵α+β=,αβ=代入3α-αβ+3β=1得an=an-1+,
∴==为定值.
∴数列{an-}是等比数列.
(2)解:∵a1-=-=,
∴an-=×()n-1=()n.
∴an=()n+.
(3)解:Sn=(++…+)+=+=-.
8.解:(1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2==9,q=±3.
当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.
又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1.
(2)Sn==n2+n.
(3)b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,
所以Pn=nb1+·3d=n2-n;
b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29,
所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.
Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19).
所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;
当n=19时,Pn=Qn;
当n≤18时,Pn<Qn.
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数学必修五 数列单元测试
一、选择题:(每小题5分,共计60分)
1.等差数列的公差为d,则数列(c为常数,且)是( )
A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列
C.非等差数列 D.以上都不对
2.已知则的等差中项为( )
A. B. C. D.
3.数列3,5,9,17,33,…的通项公式等于( )
A. B. C. D.
4.等差数列中,,那么的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
5.已知等差数列满足,,则它的前10项的和 ( )
A.138 B.135 C.95 D.23
6.已知是等比数列,,则=( )
A.16() B.16() C.() D.()
7.若成等比数列,则关于x的方程( )
A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根
C.必无实根 D.以上三种情况均有可能
8.计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为()
A.2400元 B.900元 C.300元 D.3600元
9.已知数列满足,,那么的值是 ( )
A. B. C. D.
10.在数列中,,则的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
11.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取最大值的正整数n是( )
A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.8或9
12.数列 前n项的和为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每题5分,共20分)
13.已知等差数列的公差,且成等比数列,则的值是
14.在等比数列{an}中,若a9·a11=4,则数列{}前19项之和为______
15.已知函数,等差数列的公差为.若,则
16.数列中,,则
数学必修五 数列单元测试答案卷
1、 选择题:(每小题5分,共计60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(每题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题:(共计70分)
17.在等比数列的前n项和中,最小,且,前n项和,求n和公比q.
18.数列中,,求数列的通项公式.
19.已知数列{an}为等差数列,公差d ≠ 0,其中,,…,恰为等比数列,若k1 = 1,k2 =5,k3 =17,求k1 + k2 +…+ kn .
20.等差数列 ( http: / / www. )中,成等比数列,求数列前20项的和.
21.某城市2001年底人口为500万,人均住房面积为6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,则从2002年起,每年平均需新增住房面积为多少万m2,才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m2?(可参考的数据1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).
22.在数列中,,,且().
(1)设(),证明是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若是与的等差中项,求q的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.
数学必修五 数列单元测试(答案)
BABBC CCACD BB
13.;14.-19;15.-6;16.
17.因为为等比数列,所以
依题意知
18.由
将上面各等式相加,得
19.解:设{an}首项为a1,公差为d
∵ a1,a5,a17成等比数列 ∴ a52=a1a17
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d
设等比数列公比为q,则
对项来说,在等差数列中:
在等比数列中:
∴
∴
20.设数列的公差为,则
,, .
由成等比数列得,
即,解得或.
当时,.当时,,
于是.
21.解 设从2002年起,每年平均需新增住房面积为x万m2,则由题设可得下列不等式
解得.
答 设从2002年起,每年平均需新增住房面积为605万m2.
22.(Ⅰ)证明:由题设(),得
,即,.
又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)易得().
所以当时, 上式对显然成立.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.
由可得,由得, ①
整理得,解得或(舍去).于是.
另一方面,,
.
由①可得,.
所以对任意的,是与的等差中项.
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