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数列
一．知识总结
1．数列的有关概念；
1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.
（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…记为{an}，其中an是数列的第n项.
（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.
2.通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.
并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.
3.数列的前n项和
数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示. Sn=a1+a2+…+an.
Sn与通项an的基本关系是：an=
4.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.
2.等差数列的概念
1.定义若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列.
2.通项公式：an=a1+（n－1）d，
3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；
4.前n项和：Sn==na1+d
5性质：（1）am=ak+（m－k）d，d=.
（2）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.
（3）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.
（4）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等差数列.
（5）若数列{an}的项数为2n（n∈N*），则S偶－S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）
若数列{an}的项数为2n－1（n∈N*），则S奇－S偶=an，=，S2n－1=（2n－1）an
3.等比数列
1.定义：数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.
2.通项公式：an=a1qn－1，
3.前n项和Sn=
4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±.
5.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2
6.性质：（1）am=ak·qm－k.
（2）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列为等比数列，公比qm.
（3）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.
（4）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.
4.数列的应用
1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.
2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.
3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.
二．典型例题
例1. 有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.
例2. 在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.
例3. 已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.
例4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
（1）求证：{}是等差数列； （2）求an的表达式.
例5. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.
例6.在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.
（1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
（3）试比较an与Sn的大小.
例7. 已知数列{an}中，a1=且对任意非零自然数n都有an+1=an+（）n+1.数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1－an.
（1）求证:数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.
例8.数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）设bn=（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.
三．同步练习题
1.等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是____________
2.方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=____
3.在{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.
4. 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.
6.已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（－1）=n.试比较f（）与3的大小.
7.设数列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0
（n∈Ｎ*且n≥2）都有根、满足3－＋3＝1.
（1）求证:｛an－｝为等比数列；（2）求an；（3）求｛an｝的前n项和Sn.
8.已知{an}是等比数列，a1=2，a3=18；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
（3）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2， Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，
其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.
例题参考答案
1.解：∵a1＝a，an＋1＝，∴a2＝，
a3＝＝＝， a4＝＝＝.
观察规律：an＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1， ∴an＝.
2.解：原式可化为－=n，
相加得－=1+2+…+（n－1），∴an=.
例3.解：由已知2=an+1，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=Sn－Sn－1，
代入已知有2=Sn－Sn－1+1，即Sn－1=（－1）2.
又an＞0，故=－1或= 1－（舍），即－=1（n≥2），由定义得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n.故an=2n－1.
例4.（1）证明：∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）.
∴－=2. 又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1），=2+（n－1）·2=2n，∴Sn=.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－=－〔或n≥2时，an=－2SnSn－1=－〕；
当n=1时，S1=a1=. ∴an=
例5. 解：∵5，5，5成等比数列，
∴（5）2=5·5，即2bn=an+an+1. ①
又∵lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，
∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bn·bn+1. ②
由②及ai＞0，bj＞0（i、j∈N*）可得
an+1=. ③∴an=（n≥2）. ④
将③④代入①可得2bn=+（n≥2），
∴2=+（n≥2）.
∴数列{}为等差数列.∵b1=2，a2=3，a22=b1·b2，∴b2=.
∴=+（n－1）（－）=（n+1）（n=1也成立）.
∴bn=. ∴an===（n≥2）.
又当n=1时，a1=1也成立. ∴an=.
例6.（1）证明：∵bn=log2an，∴bn+1－bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.
（2）解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=2.
∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0.
∵b1b3b5=0，∴b5=0.
∴解得 ∴Sn=4n+×（－1）=.
∵∴ ∴an=25－n（n∈N*）.
（3）解：显然an=25－n＞0，当n≥9时，Sn=≤0.∴n≥9时，an＞Sn.
∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，
∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn；
当n=1，2或n≥9时，an＞Sn.
例7.（1）证明：bn=an+1－an=［an+（）n+1］－an=（）n+1－an，bn+1=（）n+2－an+1=（）n+2－［an+（）n+1］=·（）n+1－an－·（）n+1=·（）n+1－an=·［（）n+1－an］，
∴=（n=1，2，3，…）.∴{bn}是公比为的等比数列.
（2）解：∵b1=（）2－a1=－·=，∴bn=·（）n－1=（）n+1.由bn=（）n+1－an，得（）n+1=（）n+1－an，解得an=6［（）n+1－（）n+1］.
例8.解：（1）∵an+2－2an+1+an=0，∴an+2－an+1=an+1－an（n∈N*）.
∴{an}是等差数列.设公差为d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，
∴d=－2.∴an=－2n+10.
（2）bn===（－），
∴Sn=b1+b2+…+bn=［（1－）+（－）+…+（－）］=（1－）=.
假设存在整数m满足Sn＞总成立.
又Sn+1－Sn=－=＞0，
∴数列{Sn}是单调递增的. ∴S1=为Sn的最小值，故＜，
即m＜8.又m∈N*， ∴适合条件的m的最大值为7.
练习答案
1. n=50. 2. 3. 3n2 4. ［（1+p）7－（1+p）］ 5.－＜d＜－3. S6最大
6. 解：∵f（1）=a1+a2+…+an=n2.
依题设，有=n2，故a1+an=2n，
即2a1+（n－1）d=2n.
又f（－1）=－a1+a2－a3+a4－a5+…－an－1+an=n，
∴·d=n，有d=2.进而有2a1+（n－1）2=2n，解出a1=1.
于是f（1）=1+3+5+7+…+（2n－1）.
f（x）=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn.
∴f（）=+3（）2+5（）3+7（）4+…+（2n－1）（）n. ①
①两边同乘以，得
f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n－3）（）n+（2n－1）（）n+1. ②
①－②，得f（）=+2（）2+2（）3+…+2（）n－（2n－1）（）n+1，
即f（）=++（）2+…+（）n－1－（2n－1）（）n+1.
∴f（）=1+1+++…+－（2n－1）=1+－（2n－1）=1+2－－（2n－1）＜3.
∴f（）＜3.
7.（1）证明：∵α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋，
∴＝＝为定值.
∴数列｛an－｝是等比数列.
（2）解：∵a1－＝－＝，
∴an－＝×（）n－1＝（）n.
∴an＝（）n＋.
（3）解：Sn＝（＋+…+)+＝+＝－.
8.解:（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3.
当q=－3时，a1+a2+a3=2－6+18=14＜20，
这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去.
当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意.
设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.
又b1=2，解得d=3，所以bn=3n－1.
（2）Sn==n2+n.
（3）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，
所以Pn=nb1+·3d=n2－n；
b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，
所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.
Pn－Qn=（n2－n）－（3n2+26n）=n（n－19）.
所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；
当n=19时，Pn=Qn；
当n≤18时，Pn＜Qn.
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数学必修五 数列单元测试
一、选择题：(每小题5分，共计60分)
1．等差数列的公差为d，则数列（c为常数，且）是（ ）
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对
2．已知则的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
3．数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，，那么的值是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和 （ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．已知是等比数列，，则=（ ）
A．16() B．16() C．() D．()
7．若成等比数列，则关于x的方程（ ）
A．必有两个不等实根 B．必有两个相等实根
C．必无实根 D．以上三种情况均有可能
8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（）
A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元
9．已知数列满足，，那么的值是 （ ）
A． B． C． D．
10．在数列中，，则的值为（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
11．已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是（ ）
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9
12．数列 前n项的和为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值是
14．在等比数列｛an｝中，若a9·a11=4，则数列｛｝前19项之和为______
15．已知函数,等差数列的公差为.若,则
16．数列中，，则
数学必修五 数列单元测试答案卷
1、 选择题：(每小题5分，共计60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（每题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题：(共计70分)
17．在等比数列的前n项和中，最小，且，前n项和，求n和公比q．
18．数列中，，求数列的通项公式．
19．已知数列{an}为等差数列，公差d ≠ 0，其中，，…，恰为等比数列，若k1 = 1，k2 =5，k3 =17，求k1 + k2 +…+ kn ．
20．等差数列 ( http: / / www. )中，成等比数列，求数列前20项的和．
21．某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).
22．在数列中，，，且（）．
(1)设（），证明是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若是与的等差中项，求q的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
数学必修五 数列单元测试（答案）
BABBC CCACD BB
13．；14．-19；15．-6；16．
17．因为为等比数列，所以
依题意知
18．由
将上面各等式相加，得
19．解：设{an}首项为a1，公差为d
∵ a1，a5，a17成等比数列 ∴ a52=a1a17
∴（a1+4d）2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d
设等比数列公比为q，则
对项来说，在等差数列中：
在等比数列中：
∴
∴
20．设数列的公差为，则
，， ．
由成等比数列得，
即，解得或．
当时，．当时，，
于是．
21．解 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x万m2，则由题设可得下列不等式
解得.
答 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m2.
22．（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得（）．
所以当时， 上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
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