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《一元一次方程与实际问题》同步提升训练题（四）
一．选择题（共24小题）
1．要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢（ ）cm．
A．12 B．16 C．24 D．32
【思路点拔】根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程，求解．
【解答】解：设应截取直径4cm的圆钢xcm，
由题意得：π×42×4＝π×4 x
解得：x＝16．
故选：B．
2．在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（ ）
A．38 B．40 C．51 D．62
【思路点拔】通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可．
【解答】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数．
A、38÷3＝12余2，不符合要求；
B、40÷3＝13余1，不符合要求；
C、51÷3＝17，17﹣7＝10，17+7＝24，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点；
D、62÷3＝20余2，不符合要求；
故选：C．
3．某鞋店销售某种品牌的运动鞋，去年每双可获利m元，利润率为20%，今年进价提高了25%，鞋店将这种鞋的售价也相应提高，使每双仍可获利m元，则今年提价后的利润率为（ ）
A．25% B．20% C．16% D．12.5%
【思路点拔】设原来的进价为x元，由进价×（1+利润率）＝进价+利润，可得原售价，再由新进价×（1+利润率）＝新售价列出方程求解即可．
【解答】解：设原来的进价为x元，则原售价为（1+20%）x元，
由题意得：1.2x＝x+m，
解得：x＝5m，
∵这种商品的进价提高25%，
∴新进价为5m×（1+25%）＝6.25m元，
设提价后的利润率为y．
则6.25m×（1+y）＝6.25m+m，
解得：y＝16%，
故选：C．
4．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（ ）
A．31 B．56 C．67 D．126
【思路点拔】先设“凹”型框中左上角的数字为x，从而可以得到这5个数字的和，然后令这5个数字的和分别等于各个选项中的数字，求出x的值，再对照月历表，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：设“凹”型框中左上角的数字为x，则其他5个数字为x+2，x+7，x+8，x+9，
则这5个数的和为x+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）＝5x+26，
令5x+26＝31，得x＝1，符合实际，故选项A不符合题意；
令5x+26＝56，得x＝6，符合实际，故选项B不符合题意；
令5x+26＝67，得x，不符合实际，故选项C符合题意；
令5x+26＝126，得x＝20，符合实际，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
【思路点拔】先设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，x+7，x+6，然后列方程求解即可．
【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，x+7，x+6，
则这7个数的和为x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，
A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；
B．若7x＝60，则，不符合题意；
C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；
D．若7x＝105，则x＝15，符合题意；
故选：D．
6．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场．
A．1 B．2 C．3 D．5
【思路点拔】设负场数为x，则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答．
【解答】解：依题意，设负场数为x，
则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x，
∵胜一场得（3分），平一场得（1分），负一场不得分，
∴3（8﹣3x）+2x＝17，
整理得，﹣7x+7＝0，
∴x＝1，
则8﹣3x＝8﹣3＝5（场），
所以该队胜了5场，
答：该队胜了5场，
故选：D．
7．某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天，由乙工程队单独铺设需要60天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要（ ）
A．20天 B．24天 C．25天 D．30天
【思路点拔】设总共需要x天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可列出方程，求解即可解答．
【解答】解：设总共需要x天．根据题意得，
，
即，
解得：x＝24．
答：总共需要24天．
故选：B．
8．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（ ）名工人生产茶壶．
A．8 B．14 C．10 D．12
【思路点拔】设分配x名工人生产茶壶，则（22﹣x）人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
【解答】解：设分配x名工人生产茶壶，则（22﹣x）人生产茶杯，根据题意得：
4×30x＝100（22﹣x），即120x＝2200﹣100x，
解得：x＝10，
故需要有10名工人生产茶壶，
故选：C．
9．某市对迎宾大道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔3米栽1棵，则树苗缺15棵；如果每隔4米栽1棵，则树苗缺1棵．则原有树苗的棵数是（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
【思路点拔】根据“每隔3米栽1棵，则树苗缺15棵；如果每隔4米栽1棵，则树苗缺1棵”列方程求解．
【解答】解：设原有树苗有x棵，
则3（x+15﹣1）＝4（x+1﹣1），
解得：x＝42，
故选：B．
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？（ ）
A． B．5.5 C．6.5 D．11
【思路点拔】设长木有x尺，根据绳子的长是定值，列出一元一次方程进行求解即可．
【解答】解：设长木有x尺，由题意，得：x+4.5＝2（x﹣1），
解得：x＝6.5；
答：长木有6.5尺；
故选：C．
11．如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【思路点拔】根据“四个数字之和记为S．当S＝82”列方程求解．
【解答】解：由题意得：a+a+1+a+9+a+8＝82，
解得：a＝16，
16是周二，
故选：B．
12．如图是某月的日历图，用“H”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．70 C．105 D．96
【思路点拔】设中间一个数为x，则另外6个数分别为x﹣1，x﹣8，x+6，x+1，x﹣6，x+8，即可得出7个数的和为7x，再分别求出7x＝63、7x＝70、7x＝105、7x＝96时x的值即可得出答案．
【解答】解：设中间一个数为x，则另外6个数分别为x﹣1，x﹣8，x+6，x+1，x﹣6，x+8，
所以七个数的和为x+x﹣1+x﹣8+x+6+x+1+x﹣6+x+8＝7x，
若7x＝63，解得x＝9；
若7x＝70，解得x＝10；
若7x＝105，解得x＝15；
若7x＝96，解得x，不是整数，符合题意；
故选：D．
13．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【思路点拔】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，依此即可求解．
【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，他们的和为x﹣1，如图所示：
观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，
则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0，
解得a＝0或a＝﹣3，
当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去），
当a＝﹣3时，符合题意．
方法二：由题意可知，b比c大1，所以要么4和3，要么﹣3和﹣4，
z比d大6，所以要么是﹣3和3，要么是6和0，
不管b和c选哪组都和3或者﹣3有关，所以z和d不可能是3和﹣3，只能是6和0，
代入即可求出a＝﹣3；
故选：B．
14．如图是2021年11月的月历，用“U”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和不可能的是（ ）
A．63 B．84 C．133 D．161
【思路点拔】设包括“U”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为x，分别用含x的代数式表示“U”型框覆盖的七个数并求出表示它们的和的代数式，另其分别等于问题答案中的四个数，求出相应的x值再分别进行检验，即可得出问题的答案．
【解答】解：设包括“U”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为x，
则“U”型框覆盖的七个数分别是x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+7，x+8，
∴x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+6+x+7+x+8＝7x+7，
由7x+7＝63得x＝8，此时“U”型框只覆盖6个数，不符合题意；
由7x+7＝84得x＝11，符合题意；
由7x+7＝133得x＝18，符合题意；
由7x+7＝161得x＝22，符合题意，
∴这七个数的和不可能是63，
故选：A．
15．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【思路点拔】先求出3×3的方格中下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求y﹣x的值．
【解答】解：﹣3+3﹣2＝﹣2，
﹣2+3﹣（﹣3）＝4，
2+3+4＝9，
由表格中的数据知：
则x﹣3+3＝9，
解得x＝9，
y+3﹣2＝9，
解得y＝8，
则y﹣x＝8﹣9＝﹣1．
故选：C．
16．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣8 D．﹣10
【思路点拔】根据幻方特点可得眠为﹣4，再根据幻方特点可得关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：由幻方特点可得眠为0+（﹣9）﹣（﹣5）＝﹣4，
依题意有：m+1﹣9＝﹣m+2﹣4，
解得m＝3．
故选：A．
17．如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为1.5cm的正方形拼成，则大长方形的面积是（ ）
A．2.25cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．10cm2
【思路点拔】设小长方形的宽为x cm，根据大长方形的长＝2个小长方形的长＝3个小长方形的宽+正方形的边长，列一元一次方程求解即可．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，
根据题意，得小长方形的长为1.5cm，
∴3x+1.5＝1.5×2，
解得x＝0.5，
∴大长方形的面积为（0.5+1.5）×（1.5×2）＝6（cm2），
故选：C．
18．如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（ ）
A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4
【思路点拔】设长方形的长为x cm，由长方形的周长为30cm知长方形的宽为（15﹣x）cm，根据正方形的边长相等可列出方程，求解即可．
【解答】解：设长方形的长为x cm，则长方形的宽为（15﹣x）cm，
根据题意，得x﹣4＝（15﹣x）+3，
解得x＝11，
∴15﹣x＝4，
故选：D．
19．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设最小的数为x，则其他3个数分别为x+1，x+7，x+8，根据不同位置列方程解出x的值，由x为正整数即可判断．
【解答】解：设最小的数为x（x为正整数），则其他3个数分别为x+1，x+7，x+8，
A、x+x+1+x+7＝41，解得x＝11，符合题意；
B、x+x+1+x+8＝41，解得x，不符合题意；
C、x+x+7+x+8＝41，解得x，不符合题意；
D、x+1+x+7+x+8＝41，解得x，不符合题意；
故选：A．
20．五星电器将一款洗衣机按照20%的利润定价，在6.18促销活动中．按八折出售，结果亏损了128元，这款洗衣机的进价是（ ）
A．3840元 B．3200元 C．3072元 D．2560元
【思路点拔】设这款洗衣机的进价是x元，由售价﹣进价＝亏损列出方程解答即可．
【解答】解：设这款洗衣机的进价是x元，
根据题意，得（1+20%）x×0.8﹣x＝﹣128．
解得x＝3200．
即这款洗衣机的进价是3200元．
故选：B．
21．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AB边上，请问它们第2024次相遇在（ ）
A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上
【思路点拔】设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度数为3v，利用路程＝速度×时间，可列出关于t的一元一次方程（v，a均当为常数），解之可求出t的值，利用甲走的路程＝甲的速度×甲走的时间，可求出甲走的路程，结合a＝505×4a+3aa，即可得出它们第2024次相遇在AD边上．
【解答】解：设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度数为3v，
根据题意得：vt+3vt＝2a+2023×4a，
解得：t，
∴它们第2024次相遇时甲走的路程为vt＝v a，
∵a＝505×4a+3aa，
∴它们第2024次相遇在AD边上．
故选：D．
22．如图是某月的日历，用形如“十”字型框任意框出5个数．对于这一个月的日历来说，这5个数的和不可能是（ ）
A．110 B．75 C．70 D．50
【思路点拔】设这5个数中间的一个为x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7，前面一个是x﹣1，后面一个是x+1，计算出这五个数的和，再令这五个数的和分别等于四个选项中的数，列出方程求解即可．
【解答】解：设这5个数中间的一个为x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7，前面一个是x﹣1，后面一个是x+1，
这五个数的和为：（x﹣1）+（x+1）+x+（x﹣7）+（x+7）＝5x．
A、如果5x＝110，那么x＝22，22可以是“十”字型框中间的数，即这5个数的和可能是110，故本选项不符合题意；
B、如果5x＝75，那么x＝15，15可以是“十”字型框中间的数，即这5个数的和可能是75，故本选项不符合题意；
C、如果5x＝70，那么x＝14，14可以是“十”字型框中间的数，即这5个数的和可能是70，故本选项不符合题意；
D、如果5x＝50，那么x＝10，而“十”字型框中10在第7列，不能是中间的数，即这5个数的和不可能是50，故本选项符合题意．
故选：D．
23．如图是某月的日历，在此月历上可以用一个“十”字图出5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（ ）
A．50 B．85 C．95 D．100
【思路点拔】可以设中间数为x，根据日历的特征列出其上下左右四个数的式子解题即可．
【解答】解：设中间数为x，则最大的数（下面的数）为：x+7，最小的数（上面的数）为：x﹣7，左边的数为：x﹣1，右边的数为：x+1，
∴总和为：x+x﹣7+x+7+x﹣1+x+1＝5x，
∵最大数与最小数的和为38，
∴x+7+x﹣7＝38，
解得：x＝19，
和为：5×19＝95，
故选C．
24．表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．84 C．96 D．105
【思路点拔】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．
【解答】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，
这7个数之和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．
由题意得
A．7x＝63，解得：x＝9，能求得这7个数，不符合题意；
B．7x＝84，解得：x＝12，能求得这7个数，不符合题意；
C．7x＝96，解得：x，不能求得这7个数，符合题意；
D．7x＝105，解得：x＝15，能求得这7个数，不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
25．一底面半径为20厘米，高45厘米的圆柱形的水桶内装满水，现将这桶水倒入一个长方形的鱼缸里，已知鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，若设鱼缸里的水将升高h厘米，则依题意可列方程为 π×202×45＝120×40×h ．
【思路点拔】根据长方体内升高的水的体积＝圆柱的体积列出方程即可．
【解答】解：根据水的体积相等得：π×202×45＝120×40×h．
故答案为：π×202×45＝120×40×h．
26．两个圆柱体容器如图所示，它们的半径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm．先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中，若设倒完以后，第二个容器的水面离容器口有xcm，则可列方程为：39×42π＝ （10﹣x） ×82π．
【思路点拔】利用圆柱体积计算公式表示水的体积，根据水的体积不变即可得到一元一次方程．
【解答】解：第一个容器中水的体积为39×42π；
第二个容器中水的体积为（10﹣x）×82π，
∵水的体积不变，
∴39×42π＝（10﹣x）×82π，
故答案为：（10﹣x）．
27．用一个底面半径为30mm、高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有15mm．设大玻璃杯的高度是xmm，则可列方程为 π×1002×（x﹣15）＝π×302×120×10 ．
【思路点拔】根据题意，大玻璃杯的高度为 xmm，则倒入水的高度为（x﹣15）mm，再运用“水的体积相等”可列出方程π×1002×（x﹣15）＝π×302×120×10，对其求解即可解题．
【解答】解：根据题意，设大玻璃杯的高度为x mm，则倒入水的高度为（x﹣15）mm，
得π×1002×（x﹣15）＝π×302×120×10．
故答案为：π×1002×（x﹣15）＝π×302×120×10．
28．有一个长、宽、高分别是15cm，10cm，30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形，且边长为15cm的长方体钢锭，高变成了 20cm ．（忽略锻压过程中的损耗）
【思路点拔】设长方体钢锭的高为xcm，利用钢锭的体积不变列方程15×15 x＝15×10×30，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设长方体钢锭的高为xcm，
根据题意得15×15 x＝15×10×30，
解得x＝20．
答：长方体钢锭的高为20cm．
故答案为20cm．
29．滨海公园成人票10元/张，学生票为6元/张，某一天在这个公园共售出800张门票，共得门票款6000元，则成人票 300 张，学生票 500 张．
【思路点拔】设成人票为x，则学生票为800﹣x，题目中的相等关系是：人数×票价＝票款．根据相等关系列方程，即可求出成人票，计算出学生票．
【解答】解：设成人票为x，
依题意列方程：10x+（800﹣x）×6＝6000
解得：x＝300，
则学生票为500．
30．列方程（组）解应用题：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房 8 间．
【思路点拔】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．
【解答】解：设该店有客房x间，根据题意得
7x+7＝9x﹣9，
解得x＝8，
答：该店有客房8间．
故答案为：8．
31．足球比赛胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若一个队打8场比赛，负了一场，且积了17分，则该队平了 2 场．
【思路点拔】根据球赛积分问题：胜场积分+平场积分+负场积分＝总积分，列出一元一次方程即可求解．
【解答】解：设该队平了x场．
根据题意，得
3（8﹣1﹣x）+x＝17
解得x＝2
答：该队平了2场．
故答案为2．
三．解答题（共29小题）
32．用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
【思路点拔】（1）设此时长方形的宽为x米，则它的长为x+2米，根据长方形的周长公式可得到关于x的方程，解方程即可得长和宽，再根据长方形面积公式求其面积即可．
（2）同（1）理可得新长方形的长和宽及面积，比较二者的大小即可．
（3）设此时正方形的边长为x米，根据正方形的周长公式可得到关于x的方程，解方程即可得边长，再根据正方形面积公式求其面积，再比较与（1）（2）中长方形的面积大小即可．
【解答】解：（1）设此时长方形的宽为x米，则它的长为x+1.4米，
根据题意得：
2（x+x+1.4）＝10，
解得：x＝1.8（米）；
则长方形的长为x+1.4＝3.2（米）；
所围成的长方形面积这1.8×3.2＝5.76（平方米）．
答：它所围成的长方形的长为3.2米，宽为1.8米，此时所围成的长方形面积为5.76平方米．
（2）设长方形的宽为y米，则它的长为x+0.8米，根据题意，
得：2（x+x+0.8）＝10，
解得：x＝2.1（米），
则长方形的长为2.1+0.8＝2.9（米），
此时所围成的长方形面积为：2.9×2.1＝6.09（平方米），
此时与（1）中所围成的长方形的面积相比6.09﹣5.76＝0.33（平方米），即比（1）中的长方形的面积大0.33平方米．
答：它所围成的长方形的长为4米，宽为2米，此时所围成的长方形面积为8.36平方米，比（1）中的长方形的面积大0.36平方米．
（3）设正方形的边长为z米，根据题意，得：
4x＝12，
解得：x＝3（米），
此时所围成的正方形的面积为3×3＝9（平方米）．
答：此时正方形的边长是3米，它所围成的正方形的面积比（2）中长方形的面积都大．
33．某电商决定在国庆期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高40%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利39元．求这种服装每件的成本是多少元？
【思路点拔】标价＝成本×（1+相应的百分数），售价＝标价，然后根据售价﹣成本＝利润解答即可．
【解答】解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意，得：
x（1+40%）x＝39．
1.4×0.9x﹣x＝39，
1.26x﹣x＝39，
0.26x＝39，
x＝150．
答：这种服装每件的成本是150元．
34．某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高50%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？
【思路点拔】标价＝成本×（1+相应的百分数），售价＝标价，然后根据售价﹣成本＝利润解答即可．
【解答】解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意，得：
x（1+50%）x＝105．
1.5×0.9x﹣x＝105，
1.35x﹣x＝105，
0.35x＝105，
x＝300．
答：这种服装每件的成本是300元．
35．某超市先后以每千克12元和每千克14元的价格两次共购进苹果800千克，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．
（1）求第一次购进苹果多少千克？
（2）该超市以每千克20元的标价销售这批苹果，售出450千克后，受市场影响，把剩下的苹果打9.9折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润＝销售总额﹣总成本）
【思路点拔】（1）根据题意，假设第一次购进了x千克，则第二次购进了（800﹣x）千克，根据两次购进的总价的倍数关系列出方程式12x×1.5＝14×（800﹣x），再求出未知数x的值即可解题．
（2）根据题（1）得出第一次购进苹果350千克，则第二次购进了450千克，再根据两次购进的价格求得
购买这800千克苹果的总成本；根据题目，先以每千克20元的标价计算450千克苹果的销售额，再以标价的9.9折计算剩下的苹果销售额，两个销售额相加得出总销售额；苹果销售总利润＝总销售额﹣总成本．
【解答】解：（1）假设第一次购进苹果x千克，则第二次购进了（800﹣x）千克，
12x×1.5＝14×（800﹣x）
18x＝11200﹣14x
32x＝11200
x＝350
故第一次购进苹果350千克．
（2）第二次购进的苹果：800﹣350＝450（千克），
总成本：350×12+450×14＝10500（元），
总销售额：450×20+20×0.99×（800﹣450）＝9000+6930＝15930（元），
总利润：15930﹣10500＝5430（元）．
故该超市销售这批苹果共获得的利润是5430元．
36．悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计）
（1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
（2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？
【思路点拔】（1）首先设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米＝x+6+x+x，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可；
（2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，依题意得：
x+x+6+x＝60，
解得：x＝18，
所以鸡舍的长为18+6＝24（米）．
鸡舍面积＝18×24＝432 m2．
答：鸡舍面积432 m2．
（2）设鸡舍的宽为x米，则鸡舍的长（x+6）．
Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得：
x+x+（x+6﹣3）＝60，
解得：x＝19，
所以鸡舍的长为19+6＝25（米）．
鸡舍面积＝19×25＝475 m2．
Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得：
2（x+6）+x﹣3＝60，
解得：x＝17，
所以鸡舍的长为17+6＝23（米）．
鸡舍面积＝17×23＝391 m2．
答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积475m2或391 m2
37．先阅读，然后答题．
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．
（1）探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．由此可知：放入一个A型号钢球水面会上升 2 mm，放入一个B型号钢球水面会上升 3 mm；
（2）探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，求放入水中的A型号与B型号钢球各几个？
【思路点拔】（1）探究一：分别求出放入每个A型号钢球和B型号钢球水面上升的高度即可求解；
（2）探究二：设放入A型号钢球x个，则放入B型号钢球（10﹣x）个，根据水面上升的高度为（57﹣30）mm，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，放入一个A型号钢球水面会上升（36﹣30）÷3＝2（mm），
放入一个B型号钢球水面会上升（36﹣30）÷2＝3（mm）．
故答案为：2，3；
（2）设放入A型号钢球x个，则放入B型号钢球（10﹣x）个，
依题意得：2x+3（10﹣x）＝57﹣30，
解得：x＝3，
∴10﹣x＝7．
答：放入水中的A型号钢球3个，B型号钢球7个．
38．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是4cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.5倍，求原来正方形纸片的面积．
【思路点拔】设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+4）cm，然后计算两个长条的面积，再利用面积关系列出方程求x，即可求出原正方形的面积．
【解答】解：设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+4）cm，
∴小长条的面积为：4x cm2，大长条的面积为：4（x+4）cm2，
∵其中一个长条的面积是另一个长条的1.5倍，
∴1.5×4x＝4（x+4），
解得：x＝8，
∴原来正方形的面积为（8+4）2＝144cm2．
39．从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
【思路点拔】利用体积相等列方程，求解方程即可．
【解答】解：设凉水杯水面下降的高度是x cm，
由题意得：π×102x＝π×52×8，
解得x＝2，
故凉水杯的水面将下降2cm．
40．如图一个正方形先剪去宽为4的长方形，再剪去宽为5的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积．
【思路点拔】设原正方形的边长为x，根据两次剪下的长方形面积正好相等，可得出方程，解出边长即可．
【解答】解：设原正方形的边长为x，
则4x＝5（x﹣4），
解得：x＝20，
20×20＝400．
答：原正方形的面积为400．
41．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）设正方形纸片的边长为x cm，根据两次剪下的长条面积正好相等即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设正方形纸片的边长为y cm，根据第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：
5x＝6（x﹣5），
解得x＝30，
30×30＝900（cm2）．
故这个正方形的纸片的面积是900cm2；
（2）不能，理由如下：
设正方形纸片的边长为y cm，依题意有：
5y×2＝6（y﹣5），
解得y＝﹣7.5，
不符合实际，所以不能．
42．有一个长、宽、高分别是15cm、10cm、30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形的长方体钢锭，且底面正方形的边长为15cm，求锻压后的长方体钢锭的高．（忽略锻压过程的损耗）
【思路点拔】根据前后体积相等列方程求解即可．
【解答】解：设锻压后的长方体钢锭的高为x cm，由题意得，
15×10×30＝15×15×x，
解得，x＝20，
答：锻压后的长方体钢锭的高为20cm．
43．如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为4cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积．
【思路点拔】设原正方形的边长为xcm，根据两次剪下的长条面积正好相等，可得出方程，解出边长后即可求出面积．
【解答】解：设原正方形的边长为xcm，
则3x＝4（x﹣3），
解得：x＝12，
故原正方形的面积为x2＝144cm2．
答原正方形的面积为144cm2．
44．图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是多少？
【思路点拔】设长方体的高为x，则长方体的宽为2x，长方体的长为（30﹣2x），观察图1结合正方形的边长为30，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而求解．
【解答】解：设长方体的高为x，则长方体的宽为2x，长方体的长为（30﹣2x），
根据题意得：2x+x+2x+x＝30，
解得：x＝5，
∴2x＝10，30﹣2x＝20．
∴长方体的体积为20×10×5＝1000．
45．如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h．
（1）用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V；
（2）若a＝12cm，h＝2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取3.14，结果精确到0.1cm）
【思路点拔】（1）根据已知先表示出长方体容器底面的边长，再利用底面积乘高得出无盖长方体容器的容积即可；
（2）将a＝12cm，h＝2cm代入（1）中所求式子，计算即可求解；
（3）设该圆柱形容器的高度为xcm，根据倒入前后水的体积不变列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来制成一个无盖的长方体容器，
设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h，
∴容器底面是一个正方形，其边长为a﹣2h，
∴这个无盖长方体容器的容积V＝（a﹣2h）2h；
（2）若a＝12cm，h＝2cm，
则V＝（12﹣2×2）2×2＝128cm3；
（3）设该圆柱形容器的高度为xcm，根据题意得
π×（）2×x＝128，
解得x≈2.5．
答：该圆柱形容器的高度至少是2.5cm．
46．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 （50﹣3a） cm（用含a的代数式表示）；
（2）求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；
（3）分别用含x，a的代数式表示阴影A、B的面积，并求a为何值时两块阴影部分的面积相等．
【思路点拔】（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长﹣小长方形宽的3倍；
（2）从图可知，A的长+B的宽＝x，A的宽+B的长＝x，依此求出两块阴影A、B的周长和；
（3）根据长方形的面积＝长×宽即可表示阴影A、B的面积，再令SA＝SB，即可求出a的值．
【解答】解：（1）每个小长方形较长一边长是（50﹣3a）cm．
故答案为（50﹣3a）；
（2）∵A的长+B的宽＝x，A的宽+B的长＝x，
∴A、B的周长和＝2（A的长+A的宽）+2（B的长+B的宽）
＝2（A的长+B的宽）+2（B的长+A的宽）
＝2x+2x
＝4x；
（3）∵SA＝（50﹣3a）×（x﹣3a），SB＝3a（x﹣50+3a），
∴（50﹣3a）×（x﹣3a）＝3a（x﹣50+3a），
（50﹣3a）x﹣3a（50﹣3a）＝3ax﹣3a（50﹣3a），
（50﹣3a）x＝3ax，
（50﹣3a）x﹣3ax＝0，
（50﹣6a）x＝0，
50﹣6a＝0，
解得：．
47．一个三角形3条边长的比是2：4：5，最长的一条边比最短的一条边长6cm，求这个三角形的周长．
【思路点拔】设比中每一份为未知数，表示出三角形最长的边长和最短的边长，进而根据最长的一条边﹣最短的一条边长＝6cm可得比中每一份的值，进而求得三角形的三边长，相加即可．
【解答】解：设其中一份为k（k＞0），则三角形三条边长分别为2kcm，4kcm，5kcm，
三角形周长为11kcm，
由题意得：5k﹣2k＝6，
解得：k＝2，
∴11k＝11×2＝22（cm）．
答：三角形的周长为22cm．
48．如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为11，则最大的数为 20 ；
（2）S2的值可以是80吗？请说明理由；
（3）若S1+S2＝201，求S2﹣S1的最大值．
【思路点拔】（1）利用最大的数＝最小的数+9，即可求出结论；
（2）假设S2的值可以是80，设“十字型”覆盖的五个数中最小的数为x，则另外四个数分别是x+6，x+7，x+8，x+14，根据S2＝80，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合2024年11月9日是星期六，不符合题意，可得出假设不成立，即S2的值不能是80；
（3）设“U型”覆盖的五个数中最小的数为a，“十字型”覆盖的五个数中最小的数为b，则S1＝5a+26，S2＝5b+35，由S1+S2＝201，可得出a+b＝28，变形后可得出a＝28﹣b，将其代入S2﹣S1＝5b+35﹣（5a+26）＝5b﹣5a+9中，可得出S2﹣S1＝10b﹣131，结合图形，即可得出S2﹣S1的最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：11+9＝20，
∴最大的数为20．
故答案为：20；
（2）S2的值不能是80，理由如下：
假设S2的值可以是80，设“十字型”覆盖的五个数中最小的数为x，则另外四个数分别是x+6，x+7，x+8，x+14，
根据题意得：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝80，
解得：x＝9，
又∵2024年11月9日是星期六，不符合题意，
∴假设不成立，
即S2的值不能是80；
（3）设“U型”覆盖的五个数中最小的数为a，“十字型”覆盖的五个数中最小的数为b，则S1＝a+a+2+a+7+a+8+a+9＝5a+26，S2＝b+b+6+b+7+b+8+b+14＝5b+35，
根据题意得：5a+26+5b+35＝201，
∴a+b＝28，
∴a＝28﹣b，
∴S2﹣S1＝5b+35﹣（5a+26）＝5b﹣5a+9＝5b﹣5（28﹣b）+9＝10b﹣131，
由图可知：b的最大值为15，当b＝15时，S2﹣S1取得最大值，最大值为10×15﹣131＝19．
答：S2﹣S1的最大值为19．
49．某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个．市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个．若设每个文具袋的销售价下降m元．
（1）试用含m的式子填空：
①降价后，每个文具袋的利润为 （6﹣m） 元（利润＝销售价﹣进价）；
②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为 （250+60m） 个；
（2）如果（1）中的m＝4，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润＝单个利润×销售数量）？
【思路点拔】（1）①降价后，每个文具袋的利润为16﹣10﹣m＝（6﹣m）元；
②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为（250+60m）个；
（2）当m＝4时，求出（6﹣m）（250+m）的值可得答案．
【解答】解：（1）①降价后，每个文具袋的利润为16﹣10﹣m＝（6﹣m）元；
故答案为：（6﹣m）；
②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为（250+60m）个；
故答案为：（250+60m）；
（2）当m＝4时，
（6﹣m）（250+m）
＝（6﹣4）×（250+60×4）
＝2×（250+240）
＝2×490
＝980（元），
∴该超市该月销售这种文具袋的利润是980元．
50．某市居民使用自来水按月收费，标准如下：
用水量（m3） 不超过10m3的部分 超过10m3但未超过20m3的部分 超过20m3的部分
价格（元/m3） a 1.5a 2a
（1）若用水20m3，应交水费 25a 元；（用含a的式子表示）
（2）小明家某月用水21m3，交水费81元，求a的值；
【思路点拔】（1）应交水费＝10×a+超过10m3的部分×1.5a，据此列式即可；
（2）根据应交水费＝10×a+10×1.5a+超过20m3的部分×2a，得出关于a的一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）10a+（20﹣10）×1.5a＝25a（元）．
故答案为：25a．
（2）依题意得：10a+10×1.5a+（21﹣20）×2a＝81，
解得：a＝3．
所以a的值为3．
51．某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：若张明一个月使用流量xMB，则：
（1）按照甲种计费方式，共需 0.15x 元；按照乙种计费方式，共需 （0.1x+18） 元（均用含x的式子表示）．（2）当两种计费方式相等时，求x．
（3）当每月使用流量超过400MB时，选择 乙 （填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱．
计费方式项目 月使用费（元） 流量计费（元/MB）
甲种 0 0.15
乙种 18 0.1
【思路点拔】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x的代数式表示出两种收费方式；
（2）令（1）中的两个代数式相等，得到相应的方程，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果和表格中的数据，可以解答本题．
【解答】解：（1）由表格可得，
按照甲种计费方式，共需0.15x元；
按照乙种计费方式，共需：（0.1x+18）元；
故答案为：0.15x；（0.1x+18）；
（2）令0.15x＝0.1x+18，
解得x＝360，
即当两种计费方式相等时，x的值为360；
（3）由（2）可知，当x＝360时，两种计费方式相同，而每再多1分钟，甲收费0.15元，乙收费0.1元，
∵360＜400，
∴当每月使用流量超过400MB时，选择乙种计费方式更省钱，
故答案为：乙．
52．问题情境
某笔直的公路自行车赛道全长55千米，甲、乙、丙三人在该自行车赛道上骑行．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发45分钟后，乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为30千米/时，乙的平均速度为20千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型
（1）在甲、乙都在赛道上骑行的过程中，用含x的式子表示：甲与A端之间为 30x 千米，乙与B端之间的距离为 20（x） 千米．
问题解决
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 ．
（3）乙出发15分钟后，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为20千米/时．若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间的距离恰好为10千米时，求x的值．
【思路点拔】建立模型
（1）根据题意和题目中的数据，可以用含x的代数式表示出甲与A端之间的距离和乙与B端之间的距离；
问题解决
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出方程30x+20（x）＝55，然后求解即可；
（3）根据题意可知存在两种情况，甲丙相遇前和相遇后，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：建立模型
（1）在甲、乙都在赛道上骑行的过程中，用含x的式子表示：甲与A端之间为30x千米，乙与B端之间的距离为20（x）＝20（x）千米，
故答案为：30x，20（x）；
问题解决
（2）当甲、乙二人相遇时，30x+20（x）＝55，
解得x，
故答案为：；
（3）甲丙相遇前，30x+20（x）＝55﹣10，
解得x＝1.3；
甲丙相遇后，30x+20（x）＝55+10，
解得x＝1.7；
由上可得，x的值是1.3或1.7．
53．如图是某月的月历，通过观察发现：
（1）在月历中，观察一个横列上相邻的三个数，如果三个数的和为63，则这三个数分别为 20 、 21 、 22 ；
（2）在月历中，观察一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为a，则另外两个数分别为 a﹣7 、 a+7 ；
（3）随手拿出一张月历，在上面任意圈出一个如图所示“2×2”的正方形，请问这4个数的和可能是112吗？如果可能，请你求出4个数分别是多少？如果不可能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据给出的日历表，可以直接写出这三个数；
（2）根据给出的日历表，可以写出另外两个数；
（3）先判断，然后根据题意列出方程，解方程，再观察日历表，即可说明理由．
【解答】解：（1）由日历表可得，
这三个数的中间数为：63÷3＝21，
∴第一个数为20，第三个数为22，
故答案为：20、21、22；
（2）由日历表可得，
一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为a，则另外两个数分别为a﹣7，a+7，
故答案为：a﹣7，a+7；
（3）不可能，
理由：设最小的数是x，
则x+x+1+x+7+x+8＝112，
解得x＝24，
∵最小的数是24，24下方为31，没有最大的数
∴不可能．
54．观察某月日历，回答下列问题：
（1）观察图中的阴影部分9个数，若设正中间那个日期为x，那么这九个数的和可表示为 9x ．（用含x的代数式表示）
（2）小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？
（3）像上面第（1）题那样，现在要用一个方框去框该日历上的9个数，这9个数的和有可能是180吗？如果不可能，请说明理由．
【思路点拔】（1）观察矩形框中的九个数，不难发现它们的和正好是正中间数字的9倍，从而可以用代数式表示出正中间那个日期为x的九个数的和；
（2）根据（1）中的发现，可知五个数的和正好是正中间数字的5倍，从而可以列出方程，然后求解即可；
（3）根据（1）中的发现，可以先求出正中间的数字，然后再观察日历表，即可发现这9个数的和有没有可能是180．
【解答】解：（1）由阴影部分的9个数可知，这九个数的和正好是正中间那个数的9倍，
故若设正中间那个日期为x，那么这九个数的和可表示为9x，
故答案为：9x；
（2）75÷5＝15，
即小强一家出发的正中间的日期为15号，
15﹣2＝13，
即小强一家是13号外出的；
（3）这9个数的和不能是180，
理由：由（1）得：9x＝180，
解得x＝20，
∴这个矩形正中间的数字是20，而此时，无法用矩形框框住这九个数，所以没有可能是180．
55．某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米1.3元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费．
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费（元） 9 12.2 17 36.2 …
乙公司收费（元） 20 20 20 29.1 …
（2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示）
（3）当行驶路程为 18 千米时，两家公司的费用相同．
【思路点拔】（1）由题意分别列式计算，再填表即可；
（2）由题意列出代数式即可；
（3）根据两家公司的费用相同．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当x＝3时，甲公司收费9元；
当x＝15时，甲公司收费：9+1.6×（15﹣3）＝28.2（元）；
当x＝8时，乙公司收费20元；
当x＝20时，乙公司收费：20+1.3×（20﹣8）＝35.6（元）；
填表如下：
车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费（元） 9 9 12.2 17 28.2 36.2 …
乙公司收费（元） 20 20 20 20 29.1 35.6 …
（2）甲公司的收费是：9+1.6（x﹣3）＝（1.6x+4.2）（元），
乙公司的收费是：20+1.3（x﹣8）＝（1.3x+9.6）（元）；
（3）由题意得：9+1.6（x﹣3）＝20+1.3（x﹣8），
解得：x＝18，
即当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同，
故答案为：18．
56．元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 0.9x 元；当原价x超过500元时，实际付款为 （0.8x+50） 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
【思路点拔】（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）元．
（2）设甲所购物品的原价是y元，根据490＞500x0.9＝450，得出y＞500．根据题意，得0.8x+50＝490，
求解y值即可．
【解答】解：（1）当200＜x≤500时，实际付款为0.9x元．
当x＞500时，实际付款为500×0.9+0.8（x﹣500）＝（0.8x+50）元．
故答案为：0.9x，（0.8x+50）；
（2）设甲所购物品的原价是y元，
∵490＞500x0.9＝450，
∴y＞500．
根据题意，得0.8x+50＝490，
解得y＝550．
答：甲所购物品的原价是550元．
57．一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：
计费方法A 计费方法B
每月基本服务费（元/月） 68元 98元
每月免费通话时间（分） 200分 500分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
（1）若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为 93 元，使用计费方法B的用户话费为 98 元；
（2）若月通话时间是x分钟（x＞500），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）
（3）当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
【思路点拔】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出月通话时间是5小时，计费方法A和B对应的费用；
（2）根据题意和表格中的数据，可以含x的代数式表示出按A、B两种计费方法的用户话费；
（3）根据题意，可以分两种情况，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵5小时＝5×60＝300（分钟），
∴若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为：68+（300﹣200）×0.25＝93（元），
使用计费方法B的用户话费为：98元，
故答案为：93；98；
（2）由题意可得，
若月通话时间是x分钟（x＞500），按A种计费方法的用户话费为：68+（x﹣200）×0.25＝（0.25x+18）元，
按B种计费方法的用户话费为：98+（x﹣500）×0.20＝（0.2x﹣2）元；
（3）当200＜x＜500时，
令68+（x﹣200）×0.25＝98，
解得x＝320；
当x＞500，显然方式B比方式A便宜，
答：当通话320分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．
58．如图是2024年2月的日历表．
（1）在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 38 ．
（2）在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 5x+33 ．
（3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为113吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）将五个数相加，即可求出结论；
（2）若最小的数字为x，则另外四个数分别为x+2，x+7，x+9，x+15，将五个数相加，即可用含x的代数式表示出U形框框住的五个数字之和；
（3）假设框住的五个数字之和能为113，设最小的数字为y，根据五个数字之和为113，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，由2月16号为周五，不符合题意，可得出假设不成立，进而可得出框住的五个数字之和不能为113．
【解答】解：（1）根据题意得：1+3+8+10+16＝38．
故答案为：38；
（2）若最小的数字为x，则另外四个数分别为x+2，x+7，x+9，x+15，
∴U形框框住的五个数字之和为x+x+2+x+7+x+9+x+15＝5x+33．
故答案为：5x+33；
（3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为113，理由如下：
假设框住的五个数字之和能为113，设最小的数字为y，
根据题意得：5y+33＝113，
解得：y＝16，
∵2月16号为周五，不符合题意，
∴假设不成立，即在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为113．
59．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）设最小数是x，则最大数是（x+8），根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，列出一元二次方程，解之可得出y的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）设最小数为x，则最大数为x+8，
由题意得：（x+8）x＝180，
整理得：x2+8x﹣180＝0，
解得：x1＝﹣18（不符合题意，舍去），x2＝10，
答：最小数为10；
（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，
由题意得：y（y+8）+y+（y+1）+（y+7）+（y+8）＝124，
整理得：y2+12y﹣108＝0，
解得：y1＝﹣18（不符合题意，舍去），y2＝6，
∵y＝6在最后一列，
∴假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
60．如图是某月的日历．
（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立．
活学活用：
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【思路点拔】（1）根据图示，列式求解即可；
（2）设中心数为n，根据（1）中的计算方法即可求解；
（3）根据图示，列式计算即可求解；
（4）设中间的数为n，由此列式求解可得n＝402，再根据402在第41行的第一个数字进行判定即可求解．
【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
99÷11＝9，
∴方框中9个数之和为方框正中的数的9倍；
（2）成立，理由如下，
设中心数为n，
∴（n﹣8）+（n﹣7）+（n﹣6）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+6）+（n+7）+（n+8）＝9n，
∴9个数之和是方框正中的数的9倍；
活学活用
（3）6+14+16+18+26＝80，80÷16＝5，
∴十字框中的五个数的和是中间数16的5倍；
（4）不能，理由如下，
设中间的数为n，
∴5n＝2010，则n＝402，
∵402在第41行的第一个数字，
∴框住的5个数的和不能为2010．中小学教育资源及组卷应用平台
《一元一次方程与实际问题》同步提升训练题（四）
一．选择题（共24小题）
1．要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢（ ）cm．
A．12 B．16 C．24 D．32
2．在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（ ）
A．38 B．40 C．51 D．62
3．某鞋店销售某种品牌的运动鞋，去年每双可获利m元，利润率为20%，今年进价提高了25%，鞋店将这种鞋的售价也相应提高，使每双仍可获利m元，则今年提价后的利润率为（ ）
A．25% B．20% C．16% D．12.5%
4．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（ ）
A．31 B．56 C．67 D．126
5．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
6．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场．
A．1 B．2 C．3 D．5
7．某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天，由乙工程队单独铺设需要60天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要（ ）
A．20天 B．24天 C．25天 D．30天
8．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（ ）名工人生产茶壶．
A．8 B．14 C．10 D．12
9．某市对迎宾大道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔3米栽1棵，则树苗缺15棵；如果每隔4米栽1棵，则树苗缺1棵．则原有树苗的棵数是（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？（ ）
A． B．5.5 C．6.5 D．11
11．如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
12．如图是某月的日历图，用“H”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．70 C．105 D．96
13．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
14．如图是2021年11月的月历，用“U”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和不可能的是（ ）
A．63 B．84 C．133 D．161
15．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
16．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣8 D．﹣10
17．如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为1.5cm的正方形拼成，则大长方形的面积是（ ）
A．2.25cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．10cm2
18．如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（ ）
A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4
19．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
20．五星电器将一款洗衣机按照20%的利润定价，在6.18促销活动中．按八折出售，结果亏损了128元，这款洗衣机的进价是（ ）
A．3840元 B．3200元 C．3072元 D．2560元
21．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AB边上，请问它们第2024次相遇在（ ）
A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上
22．如图是某月的日历，用形如“十”字型框任意框出5个数．对于这一个月的日历来说，这5个数的和不可能是（ ）
A．110 B．75 C．70 D．50
23．如图是某月的日历，在此月历上可以用一个“十”字图出5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（ ）
A．50 B．85 C．95 D．100
24．表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．84 C．96 D．105
二．填空题（共7小题）
25．一底面半径为20厘米，高45厘米的圆柱形的水桶内装满水，现将这桶水倒入一个长方形的鱼缸里，已知鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，若设鱼缸里的水将升高h厘米，则依题意可列方程为 ．
26．两个圆柱体容器如图所示，它们的半径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm．先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中，若设倒完以后，第二个容器的水面离容器口有xcm，则可列方程为：39×42π＝ ×82π．
27．用一个底面半径为30mm、高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有15mm．设大玻璃杯的高度是xmm，则可列方程为 ．
28．有一个长、宽、高分别是15cm，10cm，30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形，且边长为15cm的长方体钢锭，高变成了 ．（忽略锻压过程中的损耗）
29．滨海公园成人票10元/张，学生票为6元/张，某一天在这个公园共售出800张门票，共得门票款6000元，则成人票 张，学生票 张．
30．列方程（组）解应用题：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房 间．
31．足球比赛胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若一个队打8场比赛，负了一场，且积了17分，则该队平了 场．
三．解答题（共29小题）
32．用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
33．某电商决定在国庆期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高40%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利39元．求这种服装每件的成本是多少元？
34．某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高50%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？
35．某超市先后以每千克12元和每千克14元的价格两次共购进苹果800千克，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．
（1）求第一次购进苹果多少千克？
（2）该超市以每千克20元的标价销售这批苹果，售出450千克后，受市场影响，把剩下的苹果打9.9折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润＝销售总额﹣总成本）
36．悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计）
（1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
（2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？
37．先阅读，然后答题．
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．
（1）探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．由此可知：放入一个A型号钢球水面会上升 mm，放入一个B型号钢球水面会上升 mm；
（2）探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，求放入水中的A型号与B型号钢球各几个？
38．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是4cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.5倍，求原来正方形纸片的面积．
39．从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
40．如图一个正方形先剪去宽为4的长方形，再剪去宽为5的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积．
41．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由．
42．有一个长、宽、高分别是15cm、10cm、30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形的长方体钢锭，且底面正方形的边长为15cm，求锻压后的长方体钢锭的高．（忽略锻压过程的损耗）
43．如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为4cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积．
44．图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是多少？
45．如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h．
（1）用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V；
（2）若a＝12cm，h＝2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取3.14，结果精确到0.1cm）
46．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 cm（用含a的代数式表示）；
（2）求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；
（3）分别用含x，a的代数式表示阴影A、B的面积，并求a为何值时两块阴影部分的面积相等．
47．一个三角形3条边长的比是2：4：5，最长的一条边比最短的一条边长6cm，求这个三角形的周长．
48．如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为11，则最大的数为 ；
（2）S2的值可以是80吗？请说明理由；
（3）若S1+S2＝201，求S2﹣S1的最大值．
49．某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个．市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个．若设每个文具袋的销售价下降m元．
（1）试用含m的式子填空：
①降价后，每个文具袋的利润为 元（利润＝销售价﹣进价）；
②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为 个；
（2）如果（1）中的m＝4，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润＝单个利润×销售数量）？
50．某市居民使用自来水按月收费，标准如下：
用水量（m3） 不超过10m3的部分 超过10m3但未超过20m3的部分 超过20m3的部分
价格（元/m3） a 1.5a 2a
（1）若用水20m3，应交水费 元；（用含a的式子表示）
（2）小明家某月用水21m3，交水费81元，求a的值；
51．某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：若张明一个月使用流量xMB，则：
（1）按照甲种计费方式，共需 元；按照乙种计费方式，共需 元（均用含x的式子表示）．（2）当两种计费方式相等时，求x．
（3）当每月使用流量超过400MB时，选择 （填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱．
计费方式项目 月使用费（元） 流量计费（元/MB）
甲种 0 0.15
乙种 18 0.1
52．问题情境
某笔直的公路自行车赛道全长55千米，甲、乙、丙三人在该自行车赛道上骑行．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发45分钟后，乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为30千米/时，乙的平均速度为20千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型
（1）在甲、乙都在赛道上骑行的过程中，用含x的式子表示：甲与A端之间为 千米，乙与B端之间的距离为 千米．
问题解决
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 ．
（3）乙出发15分钟后，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为20千米/时．若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间的距离恰好为10千米时，求x的值．
53．如图是某月的月历，通过观察发现：
（1）在月历中，观察一个横列上相邻的三个数，如果三个数的和为63，则这三个数分别为 、 、 ；
（2）在月历中，观察一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为a，则另外两个数分别为 、 ；
（3）随手拿出一张月历，在上面任意圈出一个如图所示“2×2”的正方形，请问这4个数的和可能是112吗？如果可能，请你求出4个数分别是多少？如果不可能，请说明理由．
54．观察某月日历，回答下列问题：
（1）观察图中的阴影部分9个数，若设正中间那个日期为x，那么这九个数的和可表示为 ．（用含x的代数式表示）
（2）小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？
（3）像上面第（1）题那样，现在要用一个方框去框该日历上的9个数，这9个数的和有可能是180吗？如果不可能，请说明理由．
55．某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米1.3元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费．
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费（元） 9 12.2 17 36.2 …
乙公司收费（元） 20 20 20 29.1 …
（2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示）
（3）当行驶路程为 千米时，两家公司的费用相同．
56．元旦期间，某商场搞促销活动，具体内容如表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠方式 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠；超过500元的部分按八折优惠
（1）设一次性购买的物品原价是x元，当原价x超过200元但不超过500元时，实际付款为 元；当原价x超过500元时，实际付款为 元．（用含x的式子表示）
（2）若顾客甲购物时一次性付款490元，则甲所购物品的原价是多少元？
57．一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：
计费方法A 计费方法B
每月基本服务费（元/月） 68元 98元
每月免费通话时间（分） 200分 500分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
（1）若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为 元，使用计费方法B的用户话费为 元；
（2）若月通话时间是x分钟（x＞500），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）
（3）当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
58．如图是2024年2月的日历表．
（1）在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 ．
（2）在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 ．
（3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为113吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由．
59．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
60．如图是某月的日历．
（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立．
活学活用：
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
