北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 基础复习（含答案）

第一章基础复习
知识点 1 等腰三角形
等腰三角形的性质及推论：①性质定理：等腰三角形的两底角相等.简述为：等边对等角.②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为：三线合一.
等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边.
反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1. 已知:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设 ( )
A.∠A=∠B B. AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C
2. 如图,△ABC中,AB=AC,点E在线段AB上,且满足AE=EC.若∠ACE=32°,则∠BCE的度数为( )
A. 40° B. 32° C. 42° D. 45°
3. 如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,则△ABC的面积是 ( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
4. 如图,在△ABC与△ACD中, 则∠D 的度数为 ( )
A. 40° B. 50° C. 55° D. 65°
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠EDC=20°,则∠BAD为 ( )
A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°
6. 如图,在 中， ，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，在等腰 的两腰AB,BC上分别取点 D 和E,使DB=DE,此时恰有 则 的度数是 .
8. 如图，已知 中， AD 是 的平分线，如果 的周长为12， 的周长为16,那么AD的长是 .
9. 如图,在 中， 都在. 的延长线上， …分别在 …上，且满足 …，依此类推，
10. 如图,在等边. 中,AD=BE,BD,CE 交于点 P,( 于点 F，若 则 cm.
11. 如图,在 中， BE平分
(1)求证:
(2)若 求 的度数.
知识点 2 直角三角形
直角三角形的性质与判定：①性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.②判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
斜边、直角边定理(HL)：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”.
12. 下列说法正确的是 ( )
A. 任何一个命题都有逆命题
B. 若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C. 任何一个定理都有逆定理
D. 若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题
13. 下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B= ∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C.其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14. 如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( )
A. AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D. AE=BF
15. 如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=( )
A. 28° B. 59° C. 60° D. 62°
16. 如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠DAB=30°,∠ABC=60°,四边形ABCD的面积为 则AD的长为 ( )
B. 2
17. 如图,在 Rt△ABC中,
(1)求AB的长.
(2)求 Rt△ABC 的面积.
知识点 3 线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
18. 如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,△ABD的周长为16 cm,则△ABC的周长为( )
A. 26 cm B. 21 cm C. 28 cm D. 31 cm
19. 如图，在△ABC中，分别以点A 和点B为圆心，以相同的长(大于 为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB 于点D,交AC于点 E,连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE 的面积为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
20. 如图,在 中， ，D是 BC 的延长线上一点，E是AB 上一点，且在 BD 的垂直平分线上，连接DE交AC于点 F.求证：点E在AF的垂直平分线上.
知识点 4 角平分线
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
21. 如图,在四边形ABCD 中,∠BCD=90°,BD 平分 ,则四边形ABCD的面积为 ( )
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
22. 在正方形网格中,∠AOB 的位置如图所示,则点 P,Q,M,N中,在 的平分线上的是 ( )
A. P点 B. Q点 C. M 点 D. N点
23. 如图,在 Rt△ABC中,. 和 的平分线交于点 O， OM⊥BC于点 M,则OM的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
24. 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线, 垂足为E.若 ,则点 D 到 AC 的距离是
25. 如图,点 P 在∠AOB 的平分线上, 于点D,点M在 OP上,且 若C是OB 上的动点，则PC 的最小值是 .
第一章基础复习
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.20°8.4 9. 10.6
11. (1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∵∠BAD=∠C,∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C,
∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠AEB=∠CBE+∠C,
∴∠AFE=∠AEB,∴AE=AF.
(2)解:∵ ∠C=32°,AC=BC,∴∠CBA=∠CAB = (180°-∠C)=74°,∵BE平分
∴∠AEF=∠C+∠CBE=32°+37°=69°.
12. A 13. C 14. A 15. B 16. C
17. 解:(1)∵∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,AC +BC =AB ,又∵ 解得BC=1,∴AB=2.(2)Rt△ABC的面积为:
18. A 19. A
20. 证明:∵∠ACB=90,∴∠A+∠B=90°,∠CFD+∠D=90°,又∵点E在BD的垂直平分线上,∴EB=ED,∴∠B=∠D,∴∠A=∠CFD,∵∠EFA=∠CFD,∴∠EFA=∠A,∴EF=EA,∴点 E在AF 的垂直平分线上.
21. C 22. B 23. B 24. 3 25. 6