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与圆有关的最值问题 专项练习
一．选择题（共13小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为4，P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2
5．如图所示，⊙O的半径是3，直线l与⊙O相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB＝135°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
6．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且AB＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
7．已知，线段AB＝4，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
8．如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．8
10．如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知点A（4，0），B（0，3），直线l经过A、B两点，点C（x，y）为直线l在第一象限的动点，作△AOC的外接圆⊙M，延长CM交⊙M于点Q，则△OCQ的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
13．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE+FH的最大值是（ ）
A．r（2﹣sinθ） B．r（2+sinθ） C．r（2﹣cosθ） D．r（2+cosθ）
二．填空题（共15小题）
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则线段DP长的最大值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为 ．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 ．
17．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 .
18．如图，正六边形ABCDEF的边长为3，⊙O的半径为1．若⊙O在正六边形ABCDEF内平移（⊙O可以与该正六边形ABCDEF的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．
20．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．
21．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，P是以斜边AB为直径的半圆上一动点，M为PC的中点，连接BM，则BM的最小值为 ．
23．如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
24．在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ．
25．如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 ．
26．如图，∠DOE＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，当点A，B分别在射线OD，OE上滑动时，连结OC，则OC的最大值为 ．
27．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F．
（1）的长度为 ；
（2）当点E在圆G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 ．
三．解答题（共19小题）
29．如图，直径为10的⊙E与y轴交于A、B两点，与x轴交于点C（﹣1，0）、D（7，0），OE的延长线与圆E交于点G，点M是线段OE上一个动点，作NM⊥OG于y轴交于点N，连接MB．
（1）求点E的坐标；
（2）设MO的长为x，△BMN的面积为y，求y关于x的函数表达式；并探索△BMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BG、GD、DM得四边形BGDM，直接写出当四边形BGDM为菱形时OM的长： ．
30．在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：
已知，在图1所示的弓形纸片中（点O为圆心），cm，弓高为12cm．
【解决问题】求半径OA的长．
【探究思考】如图2，作弦AC，弦BD，点P，Q分别是AC，BD的中点，连结OP，OQ，记n＝OP2+OQ2．当AC+BD＝16cm时，求n的最大值．
【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕EF（如图3）．其中，点M，N关于EF对称，连结MN交EF于点H，连结MF，ON，EO，并延长EO交弧于点K，交MN于点G，使得EK∥MF．当点G是半径EO的中点时，EF的长度为 .（直接写出答案）
31．如图1，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，∠CAD＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，若点E是的中点，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，若，求线段OF的长；
（3）若⊙O的半径为4，点P是直线BD上的动点，将点P绕点O逆时针旋转120°得点R，连接PR，BR．求OP+BR的最小值．
32．已知：A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE、AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF；
②当∠B＝30°时，求∠FCA的度数．
（2）若⊙O的半径为4，求AB2+AC2的最大值．
33．如图，四边形ABCD内接于圆O，其中CA平分∠BCD．BD交AC于点F，E为CF上一点，且BE平分∠CBD．
（1）求证：AE2＝AF AC．
（2）若AC＝CD，设∠DBE＝α，∠ADB＝β，用含α的代数式表示β．
（3）连接DE，若圆O的半径为2，∠BAD＝120°，求四边形ABED面积的最大值．
34．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6，以C为圆心，为半径作圆．点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M．
（1）当∠PDQ＝50°时，求劣弧PQ的度数；
（2）当CE＝CF时，求AD的长；
（3）连结CM，BM．
①证明：ME CA＝CM AD．
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由．
35．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝BC，点P为⊙O上一点．
（1）如图1，若点P在弧AMC上，连结BP交AC于点D．
①求证：△BCD∽△BPC；
②若BD：DP＝1：8，AP+PC＝12，求AC的长．
（2）如图2，若点P在弧BC上，AP＝6，BH⊥AP于点H，设PH＝x，y＝PH PC．
①求y关于x的函数表达式；
②求函数y的最大值．
36．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），点F在边CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）如图2，连接BD与AE交于点G，连接CG交BF于点H．
①求证：∠HBC＝∠HCB；
②当CH＝2GH时，求的值；
（3）如图3，若E是BC的中点，以点B为圆心，BM为半径作⊙B，P是⊙B上的一个动点，连接DP交AE于点N，则的最大值为 ．
37．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
（1）如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE＝180°，求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，
①取CE的中点F，连结CD，CF，若CD＝4，，求圆的半径r．
②若∠BAC＝90°，BC＝6，请直接写出线段AE的最大值．
38．阅读理解：
（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝ ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
39．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BC于点D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）如图2，点E是线段AD上的动点，连结BE并延长交分别交AC，⊙O于点F，M，连结CM．
①当点E与O重合时（如图3），求证：AF2＝FE FB；
②在①的条件下，若BM＝20，AF＝12，求CM的长度；
③若AB＝15，求BF FM的最大值，并写出此时的值．
40．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点P是边AB上的动点，⊙O是过C，P，B三点的圆，PQ是⊙O的直径，PQ与BC相交于点M．设AP＝x．
（1）求证：△PQC∽△ABC．
（2）令△PQC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x为何值时，S的值最小．
（3）当时，求x的值．
41．如图1，AB，AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC，连接BC，且半径OA＝5，．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求BC的值；
（3）如图2，连接OB，点Q为边AC上一动点，延长BQ交⊙O于点P；
①连接PC，若PC平行△OAB三边其中一边时，求PC的长；
②当点Q从A到C的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由．
42．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
43．在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
44．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
45．如图1，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着A→C→B的路线以3cm/s匀速运动，点Q沿着A→B的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
（1）求cosA的值．
（2）如图2，当0＜x＜2时，连结CQ，若点P恰好在以CQ为直径的圆上，求点Q的运动速度．
（3）设点Q的速度为4cm/s，当2＜x时，记△APQ的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
46．如图，在Rt△ECF中，∠ECF＝90°，EC＝2，FC＝4，D是边CF上一点（两端点除外），经过D，C，E三点的⊙O交EF于点A，连接AD，点B是上一点．且满足AB＝DC，连接BD，BC，分别交EF于点H，G．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BG＝HG．
①求⊙O的半径；
②求BC的长；
（3）求线段AH的最大值．
47．△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，AB的长是，D是BC延长线上一点，连接AD交⊙O于点E，连接BE交AC于点F，连接CE．
（1）如图（1），BE平分∠ABC，
①求证：CE2＝BE EF；
②若CE＝2，求EF的长；
（2）如图（2），若AD＝AB，求△ACD面积的最大值．中小学教育资源及组卷应用平台
与圆有关的最值问题 专项练习
一．选择题（共13小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为4，P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】根据已知证明△BCQ∽△BPC，再证出△ABQ∽△PBA，∠AQB＝90°，说明点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，
∴△BCQ∽△BPC，
∴BQ：BC＝BC：BP，
∵AB＝BC，
∴BQ：AB＝AB：BP，
∵∠ABQ＝∠PBA，
∴△ABQ∽△PBA，
∴∠AQB＝∠BAP＝90°，
∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，
如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小，
∵BC＝4，
∴OB＝2，
∴，
∵OQ＝2，
∴．
故选：D．
2．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【思路点拔】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
【解答】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点 A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
故选：D．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．解直角三角形求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴AC＝BC＝2，
∵CT＝BT，
∴AT，
∵CD是直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴ETBC，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE的最小值为．
故选：D．
4．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2
【思路点拔】过O点作OE⊥CD于E，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，则DP＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，所以PC2+PD2＝2CE2+2PE2，利用勾股定理得到PC2+PD2＝40﹣4OE2，当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为24cm2．
【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，如图，则CE＝DE，
∵P点为OA的中点，AB＝8，
∴OP＝2，OC＝4，
∵DP＝DE﹣PE＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，
∴PC2+PD2＝（CE+PE）2+（CE﹣PE）2
＝2CE2+2PE2
＝2（OC2﹣OE2）+2（OP2﹣OE2）
＝2OC2+2OP2﹣4OE2
＝2×42+2×22﹣4OE2
＝40﹣4OE2，
当OE最大时，PC2+PD2有最小值，
∴当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为40﹣4×22＝24（cm2）．
故选：B．
5．如图所示，⊙O的半径是3，直线l与⊙O相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB＝135°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
【思路点拔】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连结OA，OB，DA，DB，EA，EB，先证明∠AOB＝90°，得到△OAB为等腰直角三角形，求出AB的长，然后利用S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形MANB面积最大值，由此计算S四边形DAEB，即得答案．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连结OA，OB，DA，DB，EA，EB，
∵∠ANB＝135°，
∴∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当点M到AB的距离最大时，△MAB的面积最大，当点N到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值
＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB
．
故选：B．
6．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且AB＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
【思路点拔】由垂径定理，勾股定理求出OH＝1，延长HO交圆于C，即可求出△ABC的最大面积，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3，于是可以得到答案．
【解答】解：如图①，OH⊥AB于H，
∴AHAB2，
∵OA＝2，
∴OH1，
故A不符合题意；
如图①延长HO交圆于C，此时△ABC的面积最大，
∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，
∴△ABC的面积AB CH＝3，
故B不符合题意；
取AB的中点C，连接OC，OA，OB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC1，
∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，
∴C运动的路线长是2π×1＝2π，
故C不符合题意；
如图②四边形ABNM是正方形，连接AQ，PB，作OK⊥AB于K，
∴△OAB的面积AB OK21，
∵OP＝OQ＝OA＝OB，
∴△OAP的面积＝△OAB的面积＝△OBQ的面积，
∵∠POQ＝120°，
∴扇形OPQ的面积π，
∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3，
故D符合题意．
故选：D．
7．已知，线段AB＝4，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【思路点拔】以AB为边作等边三角形OAB，作△OAB的外接圆O，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，如图所示：
∵△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵∠ACB＝30°，
∴点C在优弧AB上，
当AC为外接圆O的直径时，AC最大，且最大值为8，
故选：C．
8．如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路点拔】连接OA，根据垂径定理得AEAB＝6，设半径为r，在Rt△AOE中，根据勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，连接OA，
∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝12，
∴AEAB＝6，
当C，O，E在同一条直线上时CE最长，
设半径为r，则OE＝18﹣r，
在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，
即（18﹣r）2＝r2﹣62，
解得r＝10，
∴OE＝18﹣10＝8，
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣8＝2．
故选：D．
9．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．8
【思路点拔】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解．
【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，如图所示：
由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴，
∵∠AMN＝40°，
∴∠A′ON＝80°，∠BON＝40°，
∴∠A′OB＝120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
则A'Q＝BQ，
∵OB＝OA′，
∴∠A′OQ∠A′OB＝60°，
在Rt△A′OQ中，OA′MN＝2，
∴A′B＝2A′Q＝2×sin60°×OA′＝22＝2，
即PA+PB的最小值2，
故选：C．
10．如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
【思路点拔】连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，依据“HL”判定Rt△ODM和Rt△OEN全等，从而得出∠DOM＝∠EON，然后再根据四边形的内角和等于360°即可对甲的说法进行判断；
过点O作OF⊥MN于点F，则MN＝2NF，根据∠MON＝120°得∠NOF＝∠MOF＝60°，进而得，据此得△MON的周长为，只有当ON最小时，△MON的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断．
【解答】解：连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
又OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
在Rt△ODM和Rt△OEN中，
，
∴Rt△ODM≌Rt△OEN（HL），
∴∠DOM＝∠EON，
在四边形ODBE中，∠ODB＝∠OEB＝90°，
∴∠B+∠DOE＝180°，
又∠B＝60°，
∴∠DOE＝120°，
即：∠DON+∠EON＝120°，
∴∠DON+∠DOM＝120°，
即：∠MON＝120°，
故甲的说法正确；
过点O作OF⊥MN于点F，
∵OM＝ON，OF⊥MN
∴OF是∠MON的平分线，MF＝NF，
∴MN＝2NF，
又∵甲的说法正确；
∴∠MON＝120°，
∴∠NOF＝∠MOF＝60°，
在Rt△NOF中，，
∴，
∴，
∴△MON的周长为：，
∴当ON最小时，△MON的周长为最小，
根据“垂线段最短”可知：当ON⊥BC时，△MON的周长为最小，
∵MN⊥BC，
∴ON与BC一定不垂直，
∴ON不是最小，
∴△MON的周长不是最小，
故乙的说法不正确．
故选：A．
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝2，从而得到CE的最小值为2﹣2．
【解答】解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，
∴AB＝AC＝2，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA，AC＝2，
∴OC，
∴CE＝OC﹣OE，
即线段CE长度的最小值为，
故选：B．
12．如图，已知点A（4，0），B（0，3），直线l经过A、B两点，点C（x，y）为直线l在第一象限的动点，作△AOC的外接圆⊙M，延长CM交⊙M于点Q，则△OCQ的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
【思路点拔】根据已知可得OA＝4，OB＝3，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠COQ＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAO＝∠CQO，从而可得，进而可得OQOC，最后根据垂线段最短可知，当OC⊥AB时，OC最小，从而可得△OCQ的面积最小，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，AB5，
∵CQ是⊙M的直径，
∴∠COQ＝90°，
∵∠BAO＝∠CQO，
∴tan∠BAO＝tan∠CQO，
∴，
∴OQOC，
∴△OCQ的面积OC OQ
OC OC
OC2，
∴当OC最小时，△OCQ的面积最小，
∴当OC⊥AB时，OC最小，
∵△AOB的面积AB OCOB OA，
∴AB OC＝OB OA，
∴OC，
∴△OCQ的面积的最小值（）2
，
故选：D．
13．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE+FH的最大值是（ ）
A．r（2﹣sinθ） B．r（2+sinθ） C．r（2﹣cosθ） D．r（2+cosθ）
【思路点拔】作直径AP，连接BP，由锐角的正弦得到AB＝2rsinθ，由三角形中位线定理得到FE＝rsinθ，因此当GH是圆直径时，GE+FH有最大值，于是即可得到答案．
【解答】解：作直径AP，连接BP，
∴∠ABP＝90°，
∵∠P＝∠C＝θ，PA＝2r，
∴sinP＝sinθ，
∴AB＝2rsinθ，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EFAB＝rsinθ，
∵GE+FH＝GH﹣EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，
∴当GH是圆直径时，GH最大．
∴GE+FH最大值是2r﹣rsinθ＝r（2﹣sinθ）．
故选：A．
二．填空题（共15小题）
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则线段DP长的最大值为 ．
【思路点拔】连接AC并取AC的中点F，连接PF，DF，于是可得，，然后求得抛物线与x轴的交点A，B的坐标，进而可求得AD的长，接下来求得抛物线顶点C的坐标，即可求得CD的长，于是利用勾股定理即可求得AC的长，进而可求得DF的长，最后利用三角形三边之间的关系DP≤PF+DF即可得解．
【解答】解：如图，连接AC并取AC的中点F，连接PF，DF，
∵PF是△ACG的中位线，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴CD⊥AD，
又∵F为AC的中点，
∴，
令，
解得：x＝1或x＝7，
∴A（1，0），B（7，0），
∴OA＝1﹣0＝1，OB＝7﹣0＝7，
∴AB＝OB﹣OA＝7﹣1＝6，
∵抛物线是轴对称图形，
∴，
∴OD＝OA+AD＝1+3＝4，
∴D（4，0），
当x＝4时，y（x﹣1）（x﹣7）＝4，
∴C（4，4），
∴CD＝4﹣0＝4，
∴AC5，
∴，
∴，
即：DP长的最大值为，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为 4.8 ．
【思路点拔】过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，当GF时，EF的值最大，利用sin∠OAB，求出OM，MG，再利用勾股定理求出FM即可求解．
【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF＝2FM＝22，
当GM的值最小时，EF的值最大，
根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，
∵A（6，0），B（0，8），
∴AB＝10，
∵sin∠OAB，
∴OM＝4.8，
∵CD＝6，
∴OG＝3，
∴GM＝1.8，
∴FM＝2.4，
∴EF＝4.8；
故答案为：4.8．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．
【思路点拔】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令0，则x＝±4，
故点B（4，0），
∵点C（0，3）
∴BC5，
设圆的半径为r，则r＝2，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQBP（BC+r）（5+2）＝3.5，
故答案为：3.5．
17．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 .
【思路点拔】连接DC，由以CE为直径作⊙F，得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，即可得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动，当A，D，O在一直线上时，AO，故AD≥AO﹣OD．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴，
连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5，
得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，
得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，
当A，D，O在一直线上时，AO，
故AD≥AO﹣OD，
即AD的最小值，
故答案为：．
18．如图，正六边形ABCDEF的边长为3，⊙O的半径为1．若⊙O在正六边形ABCDEF内平移（⊙O可以与该正六边形ABCDEF的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 7 ．
【思路点拔】根据切线的性质，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，设⊙O与正六边形ABCDEF的边CD、DE分别相切于点M、N，连接AD与⊙O相交于点G，此时点A到⊙O上的点的距离AG最大，连接OM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AO′B＝∠BO′C＝∠CO′D60°，
∵O′A＝O′B＝O′C＝O′D，
∴△AO′B，△BO′C，△CO′D都是正三角形，
∴AD＝2AB＝6，
在Rt△OMD中，OM＝1，∠ODM＝60°，
∴OD，
∴DG＝DO﹣OC1，
∴AG＝61＝7．
故答案为：7．
19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 2 ．
【思路点拔】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
在Rt△BCO′中，BO′，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E2，
故答案为：2．
20．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 2 ．
【思路点拔】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，
在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，
∴PB2．
则PB最小值是2．
故答案为：2．
21．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 48． ．
【思路点拔】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝48，可得结论．
【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．
∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，
∴AH＝AO+OH＝12，
∴AT4，
∴∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠RCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝8，
∴AE≥AT﹣ET＝48，
∴AE的最小值为 48．
故答案为：48．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，P是以斜边AB为直径的半圆上一动点，M为PC的中点，连接BM，则BM的最小值为 ．
【思路点拔】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，根据勾股定理得到AB4，根据直角三角形的性质得到OCAB＝2，OPAB＝2，根据圆周角底角得到点M在以OC为直径的圆上，当点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，取OC的中点O′，连接BO′交⊙O′于M′，则BM′的长度即为BM的最小值，延长BO′交⊙O′于G，连接FM′根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB4，
∴OCAB＝2，OPAB＝2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
当点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，
取OC的中点O′，连接BO′交⊙O′于M′，
则BM′的长度即为BM的最小值，
延长BO′交⊙O′于G，连接FM′，
∵∠FBM′＝∠GBC，∠FM′B＝∠GCB，
∴△BFM′∽△BGC，
∴，
即，
解得：BM′1（负值舍去），
故BM的最小值为：1，
故答案为：1．
23．如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
【思路点拔】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE＝CA，当CD是直径时的值最小．
【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝ODAB，
∴A，C，B，D四点共圆，
∵CA＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，
∴∠CDB＝∠CDA，
∴DE平分∠ADB，
∵BE平分∠ABD，
∴点E是△ABD的角平分线的交点，
∴AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴CA＝CE＝定值，
∴当CD的值最大时，的值最小，
∴CD是直径时，的值最小，最小值，
故答案为．
24．在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ±1 ．
【思路点拔】如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最小，即此时BC最小，再由BC最小＝2，求出MD，可得1+b2＝2，解得b＝±1．
【解答】解：如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，
∵MA＝MB，
∴BC＝2BE，
在Rt△MBE中，由勾股定理得BE，
∴当ME最小时，BE最大，即此时BC最小，
∵ME≤MD，
∴当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，
∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，即BC最小＝2，
∴BDBC，
∴MD，
∵D（0，b），
∴1+b2＝2，
解得b＝±1．
故答案为：±1．
25．如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 ．
【思路点拔】连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是AG的最小值．
【解答】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，
∵CE＝1，DE＝7，∴CD＝CE+DE＝1+7＝8，
∵OF⊥CD，
∴，
∴EF＝CF﹣CE＝4﹣1＝3，
∵AE＝DE，OA＝OD，OE＝OE，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴，
∵OK⊥AE，OF⊥CD，
∴OK＝OF，
∵∠AED＝90°，
∴四边形OKEF是正方形，
∴OK＝KE＝EF＝OF＝3，
∴，，
如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH，
∵点M是OE的中点，G为HE中点，
∴，
∴点G在以点M为圆心，以 为半径的圆上运动，
连接AM交⊙M于点G’，过点M作MN⊥AE，
∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点G'重合时，AG的值最小，
∵点M是OE的中点，，
∵MN⊥AE，∠NEM＝45°，
∴∠NME＝45°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴ACG的最小值为 ，
故答案为：．
26．如图，∠DOE＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，当点A，B分别在射线OD，OE上滑动时，连结OC，则OC的最大值为 18 ．
【思路点拔】在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，勾股定理得AB＝15，点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，当点C、Q、O共线时，OC最大，再求出CQ的长即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB15，
在AB的左侧作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，
∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，
∵∠AQB+∠ACB＝180°，
∴点A、C、B、Q共圆，
∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，
当点C、Q、O共线时，OC最大，
此时，OQ，CQ，
∴OC的最大值为OQ+CQ18，
故答案为：18．
27．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F．
（1）的长度为 π ；
（2）当点E在圆G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 22 ．
【思路点拔】（1）连接AG，根据AG＝4，OG＝2，求出∠OAG＝30°，再求出∠AGC＝120°，再根据弧长公式计算即可；
（2）过G作GM⊥AC于M，连接AG．由∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接AG，
∵AG＝4，OG＝2，
∴OGAG，
∴∠OAG＝30°，
∴∠AGO＝60°，
∴∠AGC＝120°，
∴的长度为π；
故答案为：π；
（2）过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，
∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MGCG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝22，
故答案为：22．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 22 ．
【思路点拔】连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．求出AT，HT，可得结论．
【解答】解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点C在半圆的中点，
∴，
∴AC＝CB＝4，
∵CT＝TB＝2，
∴AT2，
∵CH⊥BD，
∴∠CHB＝90°，
∴点H在以BC为直径的圆上运动，
∵CT＝TB，
∴HTBC＝2，
∵AH≥AT﹣HT＝22，
∴AH的最小值为22，
故答案为：22．
三．解答题（共19小题）
29．如图，直径为10的⊙E与y轴交于A、B两点，与x轴交于点C（﹣1，0）、D（7，0），OE的延长线与圆E交于点G，点M是线段OE上一个动点，作NM⊥OG于y轴交于点N，连接MB．
（1）求点E的坐标；
（2）设MO的长为x，△BMN的面积为y，求y关于x的函数表达式；并探索△BMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BG、GD、DM得四边形BGDM，直接写出当四边形BGDM为菱形时OM的长： ．
【思路点拔】（1）根据点C（﹣1，0）、D（7，0），可得CD＝8．过点E作EP⊥CD于点P，由垂径定理可得PD＝4，根据勾股定理可得PE＝3，OP＝OD﹣PD＝7﹣4＝3，即可得E点坐标；
（2）由OP＝PE＝3，∠OPE＝90°，所以OE，作EQ⊥OB于点Q，连接EB，可得OB＝3+4＝7．根据0≤x．从而得到BN和MN的长，进而根据yBN yM列表达式，最后配方求此函数的最值；
（3）当四边形BGDM为菱形时，BD与MG必互相垂直平分，由图可证明MG必垂直平分BD，则只需MQ＝GQ即可．根据OG＝OE+EG，OQ，得到QG＝OG﹣OQ，所以MQ，所以OM＝OQ﹣MQ（）．
【解答】解：（1）∵点C（﹣1，0）、D（7，0），则CD＝8．
过点E作EP⊥CD于点P，连接DE，如图1所示，
由垂径定理可知PD4，由直径为10，则DE＝5，
由勾股定理可得PE3．
∴OP＝OD﹣PD＝7﹣4＝3，
故点E的坐标为（3，﹣3）．
（2）∵OP＝PE＝3，∠OPE＝90°，
∴OE，∠OPE＝45°＝∠BOG，
又点M是线段OE上一个动点，故0≤MO，
即0≤x．如图2所示，作EQ⊥OB于点Q，连接EB，
可得QE＝3，BE＝5，故BQ＝4，OQ＝PE＝3，
从而OB＝3+4＝7．
又OM＝MN＝x，
∴ON，，
∴BN＝7﹣ON＝7，
故yBN yM（7），
故y关于x的函数表达式为：y，
△BMN的面积存在最大值，理由如下：
对y，配方得：
y（x）2，
∵，∴当x时，y随x的增大而增大，
又0≤x，故当x时，
y有最大值为y．
（3）如图3所示，
连接BG、GD、DM得四边形BGDM，连接BD，
当四边形BGDM为菱形时，
BD与MG必互相垂直平分，
∵OB＝OD，∠BOQ＝∠DOQ＝45°，
∴OQ．
∴MG必垂直平分BD，
则只需MQ＝GQ即可．
∵OG＝OE+EG，OQ，
∴QG＝OG﹣OQ，
∴MQ，
∴OM＝OQ﹣MQ（）．
故答案为：．
30．在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：
已知，在图1所示的弓形纸片中（点O为圆心），cm，弓高为12cm．
【解决问题】求半径OA的长．
【探究思考】如图2，作弦AC，弦BD，点P，Q分别是AC，BD的中点，连结OP，OQ，记n＝OP2+OQ2．当AC+BD＝16cm时，求n的最大值．
【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕EF（如图3）．其中，点M，N关于EF对称，连结MN交EF于点H，连结MF，ON，EO，并延长EO交弧于点K，交MN于点G，使得EK∥MF．当点G是半径EO的中点时，EF的长度为 4 .（直接写出答案）
【思路点拔】【解决问题】过点O作OE⊥AB于点E，延长EO，交于点F，利用垂径定理得到：AE＝EBAB＝4cm，F为的中点，设半径OA的长为r cm，则OE＝（12﹣r）cm，利用勾股定理列出方程解答即可；
【探究思考】连接OA，OB，利用垂径定理得到OP⊥AC，OQ⊥BD，APAC，BQBD，利用勾股定理得到OP2＝OA2﹣AP2，OQ2＝OB2﹣BQ2，设AP＝a cm，则BQ＝（8﹣a）cm，利用含a的代数式表示出n，再利用配方法和二次函数的性质解答即可；
【拓展研究】连接OF，OM，过点O作OT⊥MN于点T，利用平行线的性质，线段垂直平分线的性质得到F，O，N在一条直线上；利用全等三角形的判定与性质得到HG＝TG，EH＝OT，则HG＝GT＝TNHN，设HG＝m，OT＝b，则HG＝GT＝TN＝m，MH＝HN＝3m，MT＝5m，利用勾股定理得到m，b的方程组，解方程组求得m，b值，最后利用相似三角形的判定与性质求得HF，则EF＝HF+HE．
【解答】解：【解决问题】过点O作OE⊥AB于点E，延长EO，交于点F，如图，
则AE＝EBAB＝4cm，F为的中点，
∴EF为弓高，
∴EF＝12cm，
设半径OA的长为r cm，则OE＝（12﹣r）cm，
在Rt△OAE中，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴，
∴r＝8．
∴半径OA的长8cm；
【探究思考】连接OA，OB，如图，
则OA＝OB＝8cm，
∵点P，Q分别是AC，BD的中点，
∴OP⊥AC，OQ⊥BD，APAC，BQBD．
∴OP2＝OA2﹣AP2，OQ2＝OB2﹣BQ2，
∵AC+BD＝16cm，
∴AP+BQ＝8cm，
设AP＝a cm，则BQ＝（8﹣a）cm．
∴n＝OP2+OQ2
＝64﹣a2+64﹣（8﹣a）2
＝﹣2a2+16a+64
＝﹣2（a﹣4）2+96，
∵﹣2＜0，
∴当a＝4时，n有最大值为96．
【拓展研究】连接OF，OM，过点O作OT⊥MN于点T，如图，
∵点M，N关于EF对称，
∴EF垂直平分MN，∠MFE＝∠NFE，
∴MH＝NH，FE⊥MN．
∵EK∥MF，
∴∠MFE＝FEK．
∵OE＝OF，
∴∠FEK＝∠OFE，
∴∠MFE＝∠OFE．
∴∠NFE＝∠OFE，
∴F，O，N在一条直线上．
∵EF垂直平分MN，
∴FM＝FN，
∴∠FMN＝∠FNM．
∵EK∥MF．
∴∠FMN＝∠OTN，
∴∠OTN＝∠FNM．
∵OT⊥MN，
∴TG＝TN．
∵G是半径EO的中点，
∴EG＝OG＝4cm．
在△EHG和△OTG中，
，
∴△EHG≌△OTG（AAS），
∴HG＝TG，EH＝OT．
∴HG＝GT＝TNHN，
设HG＝m，则HG＝GT＝TN＝m，MH＝HN＝3m，
∴MT＝5m，
设OT＝b，
在Rt△OTG中，
∵OT2+TG2＝OG2，
∴b2+m2＝42．
在Rt△OTM中，
∵OT2+MT2＝OM2，
∴b2+（5m）2＝82，
∴16﹣m2＝64﹣25m2，
∵m＞0，
∴m，
∴b．
∴EH＝OT．
∵∠MFE＝FEK，∠MHF＝∠EHG，
∴△MHF∽△GHE，
∴，
∴HF＝3EH＝3，
∴EF＝HF+EH＝4．
故答案为：4．
31．如图1，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，∠CAD＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，若点E是的中点，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，若，求线段OF的长；
（3）若⊙O的半径为4，点P是直线BD上的动点，将点P绕点O逆时针旋转120°得点R，连接PR，BR．求OP+BR的最小值．
【思路点拔】（1）根据垂径定理可得MB＝MC，，进而可得AB＝AC，∠BAC＝60°，即得结论；
（2）如图，连接OE，OC，根据垂径定理和等边三角形的判定和性质可求出∠ACF＝60°，AC＝2CF＝2，进而可得∠OCF＝90°，解直角三角形求出圆的半径，再根据勾股定理即可求解；
（3）连接OB，OC，RC，如图，则∠BOC＝120°，证明△BOP≌△COR，得出∠OCR＝∠OBP，求出∠BCR＝90°，故可判断点R的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线，作点B关于CR的对称点Q，连接QR，可得当O、R、Q三点共线时，RQ+OR取得最小值，即OP+BR，然后解直角三角形求出OQ即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，
∵MB＝MC，，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图，连接OE，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵点E是的中点，OA＝OC
∴∠AOE＝∠COE＝60°，∠ACO＝∠CAO＝30°，AG＝CG，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∴∠CAF＝∠OAE﹣∠CAD＝30°，
∵CF，CF⊥AE，
∴∠ACF＝60°，AC＝2CF＝2，
∴∠OCF＝30°+60°＝90°，CGAC，
∴OC2，
则在直角三角形OCF中，OF；
（3）解：连接OB，OC，RC，如图，则∠BOC＝120°，
∵∠POR＝120°，
∴∠BOP＝∠COR，
∵OB＝OC，OP＝OR，
∴△BOP≌△COR，
∴∠OCR＝∠OBP，
∵OB＝OD，∠BOD＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠OCR＝∠OBP＝60°，
∵∠OCB＝30°，
∴∠BCR＝30°+60°＝90°，
∴点R的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线，
如图，作点B关于CR的对称点Q，连接QR，
则BR＝QR，
∴OP+BR＝OR+QR，
∴当OR+QR最小时，OP+BR最小，
∵两点之间线段最短，
∴O、R、Q三点共线OR+QR最小，即OP+BR最小，如图所示，
在直角三角形BOM中，OB＝4，∠OBM＝30°，
∴OMOB＝2，BMOM＝2，
∴CQ＝BC＝2BM＝4，
∴QM＝246，
在直角三角形OQM中，OQ4，
即OP+BR的最小值是4．
32．已知：A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE、AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF；
②当∠B＝30°时，求∠FCA的度数．
（2）若⊙O的半径为4，求AB2+AC2的最大值．
【思路点拔】（1）①利用等腰三角形的性质与圆周角定理得到∠B＝∠FCE，结论可得；
②利用等边对等角可得∠B＝∠FCE＝30°，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求得∠AEC＝60°；通过等量代换得到AE＝CE，利用三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可求∠ECA，最后利用∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB即可求得结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，构造直角三角形，利用勾股定理求得AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2，用已知条件表示出BG＝BE+EG＝6+EG，CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，通过转化得到AB2+AC2＝72+2AE2，利用直径是圆中最长的弦，得到当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，将AE＝8代入即可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B．
∵∠BAE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴BF＝FC；
②解：∵∠B＝30°，∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE＝30°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCE＝60°．
∵∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC＝60°．
∵BE＝CE，AE＝BE，
∴AE＝CE．
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB＝90°﹣30°﹣30°＝30°；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图，
由勾股定理得：AB2＝AG2+BG2，AC2＝AG2+CG2，
∴AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2．
∵BE＝CE＝6，
∴BG＝BE+EG＝6+EG，CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，
∴BG2+CG2＝（6+EG）2+（6﹣EG）2＝72+2EG2．
∴AB2+AC2＝2AG2+72+2EG2．
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴AB2+AC2＝72+2（AG2+EG2）＝72+2AE2．
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，
∵⊙O的半径为4，
∴当AE＝8时，AB2+AC2的最大值为：72+2×82＝200．
33．如图，四边形ABCD内接于圆O，其中CA平分∠BCD．BD交AC于点F，E为CF上一点，且BE平分∠CBD．
（1）求证：AE2＝AF AC．
（2）若AC＝CD，设∠DBE＝α，∠ADB＝β，用含α的代数式表示β．
（3）连接DE，若圆O的半径为2，∠BAD＝120°，求四边形ABED面积的最大值．
【思路点拔】（1）先将乘积式化成比例式，要证AE2＝AF AC，需要证，很明显大概率要通过相似三角形去证明，但是我们发现这几条线段共线，并不能证出相似，需要转化，再去挖掘题干条件，可得出DE也是角平分线，利用等角转化+三角形外角性质可得出AE＝AD，所以可证△ADF∽△ACD；
（2）由（1）可得出∠ACB＝∠ACD＝∠ADB＝β，再根据题干信息可得出∠CBD＝∠CAD＝∠CDA＝2α，进而利用三角形内角和即可得解；
（3）连接OA，OB，证△OAB是等边三角形，进而得到AB＝AD＝AE＝2，所以B、E、D三点在以A为圆心，半径为2的圆上，当AE⊥BD时，S四边形ABED＝SABE+S△ADEAE （h1+h2）最大，再利用特殊直角三角形求解即可．
【解答】（1）证明：∵CA平分∠BCD，BE平分∠CBD，
∴E是△BCD的内心，∠ACB＝∠ACD，
∴DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ACD，
∵∠AED＝∠ACD+∠CDE，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AF AC，
∴AE2＝AF AC；
（2）解：∵∠DBE＝α，BE平分∠CBD，
∴∠CBD＝2α，
∵
∴∠CAD＝∠CBD＝2α，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝2α，
由（1）可知∠ACB＝∠ACD＝∠ADB＝β，
在△ACD中，∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，
∴4α+β＝180°，
∴β＝180°﹣4α；
（3）解：∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴AB＝AD，
由（1）知AD＝AE，
∴AB＝AD＝AE，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，
如图，连接OA、OB，
∴∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2，
∴AB＝AD＝AE＝2，
∴B、E、D三点在以A为圆心，半径为2的圆上，如图，
∵S四边形ABED＝SABE+S△ADEAE （h1+h2），
∴当AE⊥BD时，S四边形ABED最大，
∵∠BAD＝120°，AB＝2，
∴BD，
∴S四边形ABED2，
即四边形ABED面积的最大值为2．
34．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6，以C为圆心，为半径作圆．点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M．
（1）当∠PDQ＝50°时，求劣弧PQ的度数；
（2）当CE＝CF时，求AD的长；
（3）连结CM，BM．
①证明：ME CA＝CM AD．
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）连结CP、CQ，利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可；
（2）连结CD，CP，CQ，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的全等的判定定理得到△CPD≌△CQD，则DP＝DQ，∠PCD＝∠QCD；利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到∠DCE＝∠DCF，即CD平分∠ECF，利用角平分线的性质定理和三角形的面积公式剪刀剪开得出结论；
（3）①利用相似三角形的判定与性质解答即可；
②利用相似三角形的判定与性质求得CE的长度，由于PQ⊥CD，则∠CME＝90°，则点M在以CE为直径的圆上运动，可得当B、M、H三点共线时，BM最短，取CE的中点H，则CH＝EH，利用勾股定理求得BH的长度，则BM的最小值＝BH﹣MH
【解答】（1）解：连结CP、CQ，如图，
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴CP⊥DP，CQ⊥DQ，
∴∠CPD＝∠CQD＝90°，
∵∠PDQ+∠PCQ+∠DPC+∠DQC＝360°，
∴∠PDQ+∠PCQ＝180°，
∵∠PDQ＝50°时，
∴∠PCQ＝130°，
则弧PQ为130°．
（2）解：连结CD，CP，CQ，如图，
在△CPD和△CQD中，
，
∴△CPD≌△CQD（HL），
∴DP＝DQ，∠PCD＝∠QCD，
∵CP＝CQ，
∴C，D在PQ的垂直平分线上，
∴CD经过PQ的中点M．
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴∠CPQ＝∠CQP．
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠CEP＝∠CFQ．
在△CPE和△CQF中，
∴△CPE≌△CQF（AAS），
∴∠PCE＝∠QCF，
∴∠DCE＝∠DCF，
即CD平分∠ECF，
过点D作DG⊥BC于点G，
∵DA⊥AC，
∴AD＝AG，
∵在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6，
∴BC2．
∵，
∴（AC+BC）ADAB AC，
解得：AD＝39．
（3）①证明：连接CD，CP，CQ，如图，
由（2）知：CD经过PQ的中点M，
∵CP＝CQ，
∴CD⊥PQ，
∴∠CME＝90°，
∴∠CME＝∠A＝90°，
∵∠MCE＝∠ACD，
∴△MCE∽△ACD，
∴，
∴ME CA＝CM AD；
②解：在点D的运动过程中，BM存在最小值，BM的值为6．理由：
由①可得，C、D、M三点共线，且PQ⊥CD，△MCE∽△ACD，
∴，
∴CM CD＝CE CA．
由（1）知：∠CDP＝90°，
∴∠PCD+∠PDC＝90°，
∵PQ⊥CD，
∴∠PCD+∠CPM＝90°，
∴∠CPM＝∠PDC，
∵∠PCM＝∠DCP，
∴△CPM∽△CDP，
∴，
∴PC2＝CM CD，
∴PC2＝CE CA，
∴，
解得：，
即CE为定值．
∵PQ⊥CD，
∴∠CME＝90°，
∴点M在以CE为直径的圆上运动，
取CE的中点H，则CH＝EH，当B、M、H三点共线时，BM最短，如图，
∵AH＝AC﹣CH，
∴BH，
∴BM＝BH﹣MH6．
∴此时BM的最小值为6．
35．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝BC，点P为⊙O上一点．
（1）如图1，若点P在弧AMC上，连结BP交AC于点D．
①求证：△BCD∽△BPC；
②若BD：DP＝1：8，AP+PC＝12，求AC的长．
（2）如图2，若点P在弧BC上，AP＝6，BH⊥AP于点H，设PH＝x，y＝PH PC．
①求y关于x的函数表达式；
②求函数y的最大值．
【思路点拔】（1）①利用圆周角定理得到∠ACB＝∠BPC，即可得证．
②设BD＝a，DP＝8a，由①得BC2＝BD BP＝9a2，利用相似三角形的性质即可解答．
（2）①在AP上取一点E，使得AE＝PC，证明△BAE≌△BCP（SAS），表示出PC，即可解答．
②将y＝﹣2x2+6x化为完全平方的形式，即可解答．
【解答】（1）①证明：∵AB＝BC，
∴，
∴∠ACB＝∠BPC，
∵∠DBC＝∠CBP，
∴△BCD∽△BPC；
②解：设BD＝a，DP＝8a，
由①得BC2＝BD BP＝9a2，
∴BC＝3a，
∴，
∵△BDC∽△ADP，
∴，
∴，
∵AP+PC＝12，
∴AD+CD＝4，
即AC＝4；
（2）解：①如图，在AP上取一点E，使得AE＝PC，
∵，AB＝CB，
∴△BAE≌△BCP（SAS），
∴BP＝BE，
∵BH⊥AP，EP＝2PH＝2x，
∴PC＝AE＝AP﹣EP＝6﹣2x，
∴y＝PH PC＝x （6﹣2x）＝﹣2x2+6x．
②由于PC＝6﹣2x，显然0＜x＜3，
∴，
当且仅当时，y＝PH PC取最大值，即．
36．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），点F在边CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）如图2，连接BD与AE交于点G，连接CG交BF于点H．
①求证：∠HBC＝∠HCB；
②当CH＝2GH时，求的值；
（3）如图3，若E是BC的中点，以点B为圆心，BM为半径作⊙B，P是⊙B上的一个动点，连接DP交AE于点N，则的最大值为 2 ．
【思路点拔】（1）证明△ABE≌△BCF，得到∠BAE＝∠CBF，推导出∠AMB＝90°，即可解题；
（2）①再证明△ABG≌△CBG，得∠BAG＝∠BCG，由（1）得∠BAE＝∠ABF，证明出∠HBC＝∠HCB；
②作CN⊥BF于N，利用△BCN≌△ABM，得出BM＝CN，AM＝BN，设GM为单位1，设ME＝x，AM＝BN＝y，利用△BME∽△BNC表示出y，再由BE：AD＝GE：AG列出方程，解答即可；
（3）过点P作PQ∥AE，交DA的延长线于Q，连接BP，延长BF、AD交于点W，分析出当点P与⊙B相切时，满足题意，设BE为单位1，求出DQ、DA，再计算解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠CBF+∠ABM＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∵∠BAE＝∠CBF，
∴∠HBC＝∠HCB；
②解：作CN⊥BF于N，如图2，
∵AE⊥BF，
∴CN∥AE，CH：GH＝CN：GM＝2：1，
∵∠CBN＝∠BAM，∠BNC＝∠AMB＝90°，AB＝BC，
∴△BCN≌△ABM（AAS），
∴BM＝CN，AM＝BN，
设GM为单位1，则BM＝CN＝2，
设ME＝x，AM＝BN＝y，
∵ME∥CN，
∴△BME∽△BNC，
∴BM：BN＝ME：CN，即2：y＝x：2，
∴y，
∴BE：BC＝x：2，
∵BC＝AD，
∴BE：AD＝x：2，
∵AD∥BE，
∴BE：AD＝GE：AG，
即，
∴x，
∴；
（3）解：如图3，过点P作PQ∥AE，交DA的延长线于Q，连接BP，延长BF、AD交于点W，
∵PQ∥AE，
∴DP：DN＝DQ：DA，
∵DA为定值，
∴当DQ最大时，DQ：DA的值最大，
即DP：DN的值最大，
∴当PQ与AE距离最大时，即当点P与⊙B相切时，满足题意，
∴BP⊥PQ，
∵AH⊥BM，
∴P、B、M共线，
设BE为单位1，
∴AB＝BC＝2，
∴AE＝BF，
∵△BEM∽△ABE，
∴AE：BE＝AB：BM，
∴BMBP，
∵△BCF≌△DWF（ASA），
∴FW＝BF，DW＝BC＝2
∴WP，
∵△QWP∽△BCF，
∴WQ：BF＝WP：BC，
∴QW＝6，
∴DQ＝4，
∵AD＝2，
∴DQ：DA＝2：1，
∴2，
故答案为：2．
37．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
（1）如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE＝180°，求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，
①取CE的中点F，连结CD，CF，若CD＝4，，求圆的半径r．
②若∠BAC＝90°，BC＝6，请直接写出线段AE的最大值．
【思路点拔】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）利用圆周角定理，得到∠BDE＝∠BCE，根据∠ACE+∠BDE＝180°，得到∠ACB＝180°﹣2∠BDE，结合三角形的外角和三角形的内角和推出∠ABC＝2∠ABD，即可得证；
（3）①根据好望角的定义，∠DCE＝90°，进而得到DE为圆的直径，取DE的中点O，连接EF，OF，OF 交CE于点H，根据垂径定理，推出OF⊥CE，，EH＝CH，，设半径为r，利用勾股定理进行求解即可；
②连接OB，OC，先证明△OBC为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当OA最大时，AE最大，根据∠BAC+∠BOC＝180°，推出A，B，O，C在BC为直径的圆上，得到OA为直径时最大，此时OA＝BC＝6，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵∠D是△ABC中∠A的好望角，
∴BD，CD是△ABC的角平分线，
∴，，
∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴，
∴．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴，
∵∠BDE＝∠BCE，∠ACE+∠BDE＝180°，
∴∠ACB+∠BCE+∠BDE＝∠ACB+2∠BDE＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣2∠BDE，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣2∠BAD﹣180°+2∠BDE＝2∠BDE﹣2∠BAD，
∵∠BDE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDE﹣∠BAD，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴BD平分∠ABC，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角；
（3）解：①∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴CD平分∠ACB，
∴，
∵∠ADB是△ABC中∠ACB 的好望角，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
即∠DCE＝90°，
∴DE为圆的直径，
如图，取DE的中点O，连接EF，OF，OF交CE于点H，
∵F是弧CE的中点，
∴，
∴OF⊥CE，，EH＝CH，
∴，
设⊙O的半径为r，则OF＝OE＝r，HF＝r﹣2，
由勾股定理，得HE2＝OE2﹣OH2＝EF2﹣FH2，
∴，
解得r＝3 或 r＝﹣1（舍去）；
∴⊙O 的半径为3．
②如图，连接OB，OC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠BDC是△ABC的好望角，
∴，
∴∠BOC＝360°﹣2∠BDC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵BC＝6，
∴，
∴，
∵，
∴当OA最大时，AE的值最大，
∵∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∴A，B，O，C在BC为直径的圆上，
∴OA为直径时最大，此时OA＝BC＝6，
∴AE的最大值为．
38．阅读理解：
（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 22 °．
②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝ 90° ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 2 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
【思路点拔】（1）①以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，得出∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，即可求出答案；
②先判断出∠ABP+∠PBC＝90°，进而判断出∠APB＝90°，进而判断出点P在OC上，即可求出答案；
（2）①由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，由余角的性质可证AE⊥DF；
②由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的，由弧长公式可求解．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC＝AD，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
如图1，
∴∠BDC∠BAC＝22°，
故答案为：22°；
②∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，
如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝3，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2，
故答案为：90°；
（2）如图3，连接AC，AM，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴AB＝AM，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∴CM的最小值为5﹣3＝2，
故答案为：2；
（3）①结论：AE＝DF，AE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
②如图4，连接AC，BD交于点O，
∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．
39．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BC于点D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）如图2，点E是线段AD上的动点，连结BE并延长交分别交AC，⊙O于点F，M，连结CM．
①当点E与O重合时（如图3），求证：AF2＝FE FB；
②在①的条件下，若BM＝20，AF＝12，求CM的长度；
③若AB＝15，求BF FM的最大值，并写出此时的值．
【思路点拔】（1）连接OB，OC，根据垂直平分线的性质即可得证；
（2）①利用等边对等角及角平分线的性质，证明△AFE∽△BFA，列出比例式，即可得证；
②根据题意，证明△AFB∽△MFC，列出比例式，代入求值即可解答；
③根据相似三角形的性质
【解答】（1）证明：如图，连接OB，OC，
∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AO是线段BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝OB，
∴∠BAO＝∠OBA，
∴∠CAD＝∠OBA，
∵∠AFE＝∠BFA，
∴△AFE∽△BFA，
∴，
∴AF2＝FE FB．
②解：∵BM＝20，BE＝10，
∵AF＝12，
∴122﹣FE（FE+10），
解得FE＝8，
∴BF＝18，FM＝2，
∵∠ABF＝∠MCF，∠AFB＝∠CF，
∴△AFB∽△MFC，
∴，
∴CF＝3，
∴AC＝15，
∴AB＝15，
∴MC＝2.5．
③解：∵△AFB∽△MFC，
∴BF FM＝AF FC，
∴BF FM的最大值即为AF FC的最大值，
∵AC＝15，设AF＝x，则FC＝15﹣x，
∴AF FC＝x2+15x，
∴当x＝7.5时，AF FC的最大值＝56.25，
∴BF FM的最大值为56.25．
过F作FG⊥AD，
∵△AFG∽△ABD，
∴，
∵AF＝7.5，
∴AB＝2AF，
∴GF：BD＝1：2，
∵GF∥BC，
∴AF：FC＝AG：GD，
∴AG＝GD，
∴．
40．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点P是边AB上的动点，⊙O是过C，P，B三点的圆，PQ是⊙O的直径，PQ与BC相交于点M．设AP＝x．
（1）求证：△PQC∽△ABC．
（2）令△PQC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x为何值时，S的值最小．
（3）当时，求x的值．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理可得∠PCQ＝∠ACB＝90°，即可求证；
（2）连接BQ，根据圆内接四边形的性质可得∠BQC＝∠APC，可证明△ACP∽△BCQ，从而得到QC＝2PC，BQ＝2x，在Rt△ACB中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数关系式，即可求解；
（3）过点P作PH⊥BC于点H，KQ⊥BC于点K，则PH∥KQ，证明△PMH∽△QMK，可得KQ＝3PH，再证△BPH∽△BAC，可得，，然后根据△ABC∽△BQK，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠Q，
∴△PQC∽△ABC；
（2）解：如图1，连接BQ，
∵四边形BPCQ是圆内接四边形，
∴∠BPC+∠CQB＝180°，
∵∠BPC+∠APC＝180°，
∴∠BQC＝∠APC，
∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP∽△BCQ，
∴，
∴，
∴QC＝2PC，BQ＝2x，
在Rt△ACB中，，
∴，
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PCQ＝∠PBQ＝90°，
∴，
∴PC2＝x2x+4，
∴SPC×QCPC×2PC＝PC2＝x2x+4＝（x）2，
∴当时，S有最大值，最大值为；
（3）解：如图2，过点P作PH⊥BC于点H，KQ⊥BC于点K，则PH∥KQ，
∴△PMH∽△QMK，
∴，
∵，PO＝OQ，
∴，
即KQ＝3PH，
∵∠ACB＝90°，即AC∥PH，
∴△BPH∽△BAC，
∴，即，
解得：，
∴，
∵∠A+∠ABC＝∠CBQ+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠CBQ，
∵∠BKQ＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△BQK，
∴，
∴，
解得：．
41．如图1，AB，AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC，连接BC，且半径OA＝5，．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求BC的值；
（3）如图2，连接OB，点Q为边AC上一动点，延长BQ交⊙O于点P；
①连接PC，若PC平行△OAB三边其中一边时，求PC的长；
②当点Q从A到C的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，利用角平分线的性质和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理解答即可；
（2）延长AO，交BC于点E，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①Ⅰ．当PC∥OA时，利用圆周角定理和勾股定理解答即可；Ⅱ．当PC∥AB时，连接AP，过点C作CM⊥AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，利用平行线的性质直角三角形的性质，勾股定理解答即可；
②过点B作BE⊥AC于点E，过点P作PF⊥AC于点F，利用相似三角形的判定与性质得到，由于BE为定值，当PF取得最大值时，取得最大值，当点P为的中点时，PF取得最大值，过点O作OD⊥AC于点D，延长OD交于点G，则点G为的中点，利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，如图①，
∵OA平分∠BAC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴OM＝ON，
∴AB＝AC；
（2）解：延长AO，交BC于点E，如图②，
∵AB＝AC，OA平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝CEBC．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BMAB＝2，
∵OA＝5，
∴OM．
∵∠MAO＝∠EAB，∠AMO＝∠AEB＝90°，
∴△AMO∽△AEB，
∴，
∴，
∴BE＝4．
∴BC＝2BE＝8；
（3）解：①Ⅰ．当PC∥OA时，如图③，
∵AO⊥BC，
∴PC⊥BC，
∴∠BCP＝90°，
∴BP为⊙O的直径，
∴BP＝10，
∴PC6；
Ⅱ．当PC∥AB时，如图④，
连接AP，过点C作CM⊥AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，
∵PC∥AB，CM⊥AB，PN⊥AB，
∴四边形MCPN为矩形，
∴PC＝MN，CM＝PN，
∵PC∥AB，
∴，
∴AP＝BC＝8，
∵AE⊥BC，
∴AE8，
∴BC AEAB CM，
∴CM，
∴BM．
同理可求：AN，
∴MN＝AB﹣BM﹣AN．
∴PC＝MN．
综上，若PC平行△OAB三边其中一边时，PC的长为6或．
②存在最大值，最大值为，理由：
过点B作BE⊥AC于点E，过点P作PF⊥AC于点F，如图⑤，
∵BE⊥AC，PF⊥AC，
∴BE∥PF，
∴△BEQ∽△PFQ，
∴．
由（3）①知：BE为等腰三角形ABC的腰上的高，
∴当PF取得最大值时，取得最大值，
∵点P为上一点，
∴当点P为的中点时，PF取得最大值，
过点O作OD⊥AC于点D，延长OD交于点G，则点G为的中点，
∴点P与点G重合时，PF取得最大值为DG．
∵OD⊥AC，
∴AD＝DCAC＝2，
∴OD，
∴DG＝OG﹣OD＝5，
∴的最大值．
42．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
【思路点拔】（1）由正方形的性质得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠APB＝90°，可证明∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，得AE＝BF；
（2）连接OP、OC，由AB＝1，得OP＝OB，AB＝BC＝1，则OC，由CP+OP≥OC，得CP，则CP，所以CP的最小值为；
（3）取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，则IP＝IC＝IF＝IEEF，所以P、E、C、F四点都在⊙I上，而CP＝CF，则∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，可证明∠CEF＝∠AEB，CF＝BE，则tan∠CEF＝tan∠AEB，所以，则BEBC，求得BE：BC的值为．另一种解法是：延长CP交AB于点G，可证明GA＝GB＝GP，设GA＝GB＝GP＝m，则BC＝AB＝2m，CGm，则BE＝CF＝CPm﹣m，求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF＝90°﹣∠ABP，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：如图1，连接OP、OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝1，
∴OP＝OBAB，AB＝BC＝1，
∴OC，
∵CP+OP≥OC，
∴CP，
∴CP，
∴CP的最小值为．
（3）解法一：如图2，连接EF，取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，
∵∠EPF＝∠ECF＝90°，
∴IP＝IC＝IF＝IEEF，
∴P、E、C、F四点都在⊙I上，
∵CP＝CF，
∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，
由（1）得△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，
∴∠CEF＝∠AEB，
∴tan∠CEF＝tan∠AEB，
∴，
整理得BE2+BC BE﹣BC2＝0，
∴BEBC或BEBC（不符合题意，舍去），
∴，
∴BE：BC的值为．
解法二：如图3，延长CP交AB于点G，则∠GPB＝∠CPF，
∵AB∥CD，
∴∠GBP＝∠CFP，
∵CP＝CF，
∴∠CPF＝∠CFP，
∴∠GPB＝∠GBP，
∴GB＝GP，
∵∠GPA+∠GPB＝90°，∠GAP+∠GBP＝90°，
∴∠GPA＝∠GAP，
∴GA＝GP，
∴GA＝GB＝GP，
设GA＝GB＝GP＝m，则BC＝AB＝2m，
∴CGm，
∴BE＝CF＝CPm﹣m，
∴，
∴BE：BC的值为．
43．在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
【思路点拔】（1）连接BD，在直角三角形BCD中，由射影定理可得DE2＝BE CE，求出BC、CE即可求DE；
（2）①连接OF，根据平行线的性质推导出∠FOD＝∠COD，可得，即可证明FD＝CD；
②先求AB＝2OD＝10，设BF＝x，DF＝y，再由（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，推导出x＝10y2，则四边形FBCD的周长（y﹣5）2+25，当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
【解答】（1）解：连接BD，
∵BE：EC＝2：3，BC＝10，
∴BE＝4，CE＝6，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE2＝BE CE，
∴DE＝2；
（2）①证明：连接OF，
∵OD∥AB，
∴∠DOC＝∠ABO，∠BFO＝∠FOD，
∵BO＝OF，
∴∠FBO＝∠OFB，
∴∠FOD＝∠COD，
∴，
∴FD＝CD；
②四边形FBCD的周长有最大值，理由如下：
∵BC是圆O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵DF＝CD，
∴AD＝CD，
∵OD＝5，
∴AB＝2OD＝10，
设BF＝x，DF＝y，
∴AF＝10﹣x，AC＝2y，
∴（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
∴x＝10y2，
∴四边形FBCD的周长＝10+x+2y＝10+10y2+2y（y﹣5）2+25，
∴当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
44．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【思路点拔】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA＝CE，由于CE＝AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB＝120°；
（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；
（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝2，所以AQ＝2；
（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PMPA，所以．
【解答】解：（1）连接AC，CE，
∵A（﹣1，0）、E（1，0），
∴OA＝OE＝1，
∵OC⊥AE，
∴AC＝CE，
∵AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴∠CAE＝60°，
∴∠BEC＝2∠CAB＝120°，
∴的度数为120°，
故答案为：120；
（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，
由垂径定理可得，CO＝OD，
连接PD，如图2，
又∵G为PC的中点，
∴OG∥PD，且OG，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，
且DP＝AB＝2AE＝4，
∴OG的最大值为2，
故答案为：2；
（3）连接AC，BC，
∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠ACD＝∠CPA，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ，
∴∠ACQ＝∠AQC，
∴AQ＝AC，
∵∠CAO＝60°，AO＝1，
∴AC＝2，
∴AQ＝2；
（4）由题可得，直径AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，
由（1）得，∠DAC＝120°，
将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，
∴△ACP≌△ADM，
∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，
∵四边形ACPD为圆内接四边形，
∴∠ACP+∠ADP＝180°，
∴∠ADM+∠ADP＝180°，
∴M、D、P三点共线，
∴PD+PC＝PD+DM＝PM，
过A作 AG⊥PM于G，则 PM＝2PG，
∠APM＝∠ACD＝30°，
在 Rt△APG 中，∠APM＝30°，
设AG＝x，则AP＝2x，
∴，
∴
∴，
∴
∴ 为定值．
45．如图1，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着A→C→B的路线以3cm/s匀速运动，点Q沿着A→B的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
（1）求cosA的值．
（2）如图2，当0＜x＜2时，连结CQ，若点P恰好在以CQ为直径的圆上，求点Q的运动速度．
（3）设点Q的速度为4cm/s，当2＜x时，记△APQ的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
【思路点拔】（1）用解直角三角形的方法，即可求解；
（2）当0＜x＜2时，点P在AC上运动，则PQ⊥AC，而，则，即可求解；
（3）由，则，即可求解．
【解答】解：（1）∵如图1，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴∠C＝90°，
∴；
（2）当0＜x＜2时，点P在AC上运动，如图．
连结PQ，设Q的速度为v，
∵点P恰好在以CQ为直径的圆上，
∴PQ⊥AC，
又，
则，
∴v＝5，即点Q的运动速度为5cm/s；
（3）当 时，点P在BC上运动，如图，AC+CP＝3x，AQ＝4x．过点P作PH⊥AB于点H．
∵AC+CB＝6+8＝14，AC+CP＝3x，
∴BP＝CB﹣CP＝14﹣3x．
又∵PH⊥AB，
则，
则 ，
则，
则，
∴当 时，y的值最大，最大值．
46．如图，在Rt△ECF中，∠ECF＝90°，EC＝2，FC＝4，D是边CF上一点（两端点除外），经过D，C，E三点的⊙O交EF于点A，连接AD，点B是上一点．且满足AB＝DC，连接BD，BC，分别交EF于点H，G．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BG＝HG．
①求⊙O的半径；
②求BC的长；
（3）求线段AH的最大值．
【思路点拔】（1）证，再由圆周角定理得∠ADB＝∠CBD，然后由平行线的判定即可得出结论；
（2）①连接BE、DE，则DE是⊙O的直径，易证AD⊥EF，BC⊥EF，再证△BGH、△DAH、△DCE都是等腰直角三角形，推出CD＝EC＝2，得出DE＝2，即可得出结论；
②由勾股定理求出EF＝2，易证△FAD∽△FGC，得，则AD，再由锐角三角函数的定义求出FG，则FAFG，然后求出BG，即可得出结论；
（3）证△ADH∽△GBH，△FAD∽△AGB，得∠F＝∠GAB，再由锐角三角函数的定义推出AF＝2AD，BGAG，同（2）②得CG，FG＝2CG，设AD＝x，则AF＝2x，AG2x，BGx，然后由△ADH∽△GBH，得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝DC，
∴，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：①如图，连接BE、DE，
∵∠ECD＝90°，
∴DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝∠DBE＝90°，
∴AD⊥EF，
由（1）得：AD∥BC，
∴BC⊥EF，
∵BG＝HG，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴∠GBH＝∠GHB＝45°，
∴∠CBE＝∠DBE﹣∠GBH＝90°﹣45°＝45°，∠AHD＝∠GHB＝45°，
∴△DAH是等腰直角三角形，
∴AH＝AD，
∵∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CD＝EC＝2，
∴DEEC＝2，
∴⊙O的半径为DE2；
②在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2，
∵S△ECFEC FCCG EF，
∴CG，
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FGC，
∴，
∴ADCG，
∵tanF，
∴FG＝2CG＝2，
∴FAFG，
∴BG＝HG＝AG﹣AH＝AG﹣AD，
∴BC＝BG+CG；
（3）解：∵AB＝DC，
∴，
∴，
即，
∴∠BCD＝∠ABC，
由（1）得：AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，∠FDA＝∠BCD，
∴∠FDA＝∠ABG，
同（2）①得：AD⊥EF，BC⊥EF，
∴∠FAD＝∠AGB＝90°，
∴△FAD∽△AGB，
∴∠F＝∠GAB，
∵tanF，
∴tan∠GAB，AF＝2AD，
∴BGAG，
同（2）②得：CG，
∴FG＝2CG，
设AD＝x，则AF＝2x，
∴AG＝FG﹣AF2x，
∴BGAGx，
∵GH＝AG﹣AH，△ADH∽△GBH，
∴，
∴BG AH＝AD（AG﹣AH），
∴AHAGAGx×（2x）x2+2x（x）2，
∴线段AH的最大值为．
47．△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，AB的长是，D是BC延长线上一点，连接AD交⊙O于点E，连接BE交AC于点F，连接CE．
（1）如图（1），BE平分∠ABC，
①求证：CE2＝BE EF；
②若CE＝2，求EF的长；
（2）如图（2），若AD＝AB，求△ACD面积的最大值．
【思路点拔】（1）①证明见解答；
②过点A作AG⊥BE于G，根据圆周角定理可得∠AEB＝∠ACB＝60°，利用直角三角形性质和勾股定理可得EGAE＝1，AG，BG5，进而可得BE＝BG+EG＝6，利用①的结论即可求得答案；
（2）由题意得点C在劣弧上运动，当且仅当点C运动到劣弧的中点M时，△ACD的面积最大，连接O′M交AD于H，运用解直角三角形可得MH，根据三角形面积公式S△ACDAD MH即可求得答案．
【解答】（1）①证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠EBC，
∴，
∴∠ACE＝∠EBC，
∵∠CEF＝∠BEC，
∴△ECF∽△EBC，
∴，
∴CE2＝BE EF；
②解：如图（1），过点A作AG⊥BE于G，
则∠AGE＝∠AGB＝90°，
∵，
∴AE＝CE＝2，
∵，
∴∠AEB＝∠ACB＝60°，
∴∠EAG＝90°﹣60°＝30°，
∴EGAE＝1，
∴AG，
∴BG5，
∴BE＝BG+EG＝5+1＝6，
∴EF；
（2）∵AD＝AB＝2，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴点C在劣弧上运动，当且仅当点C运动到劣弧的中点M时，△ACD的面积最大，
如图（2），连接O′M交AD于H，
则O′M⊥AD，AH＝DHAD，∠AMO′∠AMD＝60°，
在Rt△AMH中，MH，
∴S△ACDAD MH2，
∴△ACD面积的最大值为．
