(共32张PPT)
第六章 几何图形初步
6.2.2 线段的比较与运算
1.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。
2.知道两点之间的距离和线段中点的含义。
1．直线的性质
（1）基本事实：______________________________________．
①它包含两层含义：
一是__________，二是____________，不会有两条、三条……；
②它可简单地说成_____________________．
（2）直线的其他性质：
①经过一点的直线有________；
②不同的两条直线____________公共点．
经过两点有一条直线，并且只有一条直线
“肯定有”
“只有一条”
“两点确定一条直线”
无数条
最多有一个
2．直线、射线、线段的表示
a
B
A
B
A
l
射线 AB或射线 l
l
B
A
线段 AB或线段 BA或线段 a
直线 AB或直线 BA或直线 l
3．一个点在一条直线上，也可以说____________________；一个点在直线外，也可以说__________________．
4．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线______，这个公共点叫做它们的______．
这条直线经过这个点
直线不经过这个点
相交
交点
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一 些运算。为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段。
画一条线段等于已知线段AB，可以先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段。
也可以先用直尺画直线l，再用圆规在直线l上截取CD＝AB
度量法
尺规作图法
操作：利用尺规画一条线段等于已线段a。
解：作图步骤如下：
(1)作射线AC；
(2)用圆规在射线AC上截取AB=a.
线段AB为所求作的线段.
在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
想一 想，在“画一条线段等于已知线段”时，我们在运用了度量法和尺规作图法，在这两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？
A
B
探究1：怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗？ 你能再举出一些比较线段长短的实例吗？
度量法：用刻度尺量出这两条线段的长度，再进行比较.
比较两条线段的长短
3.1 cm
A
B
C
D
AB＜CD
叠合法：将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上。
比较两条线段的长短
注意：起点对齐，看终点．
AB＜CD
什么情况下，AB＝CD？
AB＞CD呢？
AB＞CD
点 A 与点 C 重合，
点 D 落在 B，C 之间
A
B
（C）
D
A
B
（C）
D
点 A 与点 C 重合，
点 D 与点 B 重合
AB＝CD
（C）
D
AB＜CD
点 A 与点 C 重合，
点 B 落在 C，D 之间
A
B
探究2：如图所示，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。
线段的基本事实
两点的所有连线中，线段最短.
简单地说：两点之间，线段最短.
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
注意：“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数值，二者有区别，不要混淆．
你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗？
线段中的运算
在直线上作线段AB＝a，再在AB 的延长线上作线段BC＝b，线段AC 就是a与b的和，记作AC＝a＋b．
设线段a＞b，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD 就是a与b的差，记作AD＝a－b．
例1：如图所示，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b。
解：如图所示，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝a，则线段AC＝2a。在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b。
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.
符号语言：
∵M是AB的中点
∴AM＝BM＝ AB
(或AB=2AM=2MB)
反之也成立：
∵点M在线段AB上
且AM=MB= AB (或AB=2AM=2AB)
∴M是线段AB的中点
操作：在一张透明的纸上画一 条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点。
中点
线段的三等分点
线段的四等分点
类似线段的中点，还有线段的三等分点、四等分点等.
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是( )
A. a>b B. aB
【知识技能类作业】必做题：
2.把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度.可以解释这一做法的数学原理是( )
A. 两点确定一条直线 B.线段比直线短
C. 两点之间，直线最短 D.两点之间，线段最短
D
【知识技能类作业】必做题：
3.如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．
解：∵AC=AB+BC=4+3=7(cm)，
又∵点O 为线段 AC 的中点，
∴OC= AC= ×7=3.5(cm)，
∴OB=OC-BC=3.5-3=0.5(cm)．
A
B
C
O
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，点C、D在线段AB上，且AC=CD=DB，点E是线段AC的中点，若ED=12cm，求AB的长度．
解： ∵ C、D为线段AB的三等分点，
∴ AC=CD=DB，
∵点E为AC的中点，
则AE=EC= AC，
∴ CD+EC=DB+AE，
∵ ED=EC+CD=12(cm)，
∴ DB+AE=EC+CD=ED=12(cm)，
则AB=2ED=24(cm).
【综合拓展类作业】
解：如图所示
（1）作射线；
（2）在上截取，
（3）在线段上截取．
则．即为所求线段．
5.已知线段，，用圆规和直尺画线段，使它等于简要写出画法，保留作图痕迹．
关于线段的
基本事实
两点之间，线段最短
线段的比较与运算
尺规作图
比较线段的长短
度量法
叠合法
线段的运算
中点、三等分点、四等分点
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，下列关系式中与图不符的是( )
A.AD－CD＝AC B. AB＋BC＝AC
C.BD－BC＝AB＋BC D. AD－BD＝AC－BC
C
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，点P是线段AB的中点，点Q是线段AP的中点，如果PQ＝2 cm，则BQ的长为( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
C
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法正确的是( )
A.连接两点的线段叫做两点间的距离
B.两点间连线的长度叫做两点间的距离
C.连接两点的直线的长度叫做两点间的距离
D.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
D
【知识技能类作业】选做题：
4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，延长BA到D，使AD＝2AB，M，N分别是BC，AD的中点，若MN＝18 cm，求AB的长．
解：设AB＝x cm，则BC＝ AB＝ xcm，
BM＝ BC＝ cm，AD＝2xcm，AN＝ AD＝x cm，
由MN＝18 cm，
得x＋x＋ ＝18，
解得x＝8，则AB＝8cm
【综合拓展类作业】
5.两根木条，一根长100cm，一根长60cm，将它们的一个端点重合，放在同一条直线上，此时两根木条中点间的距离（ ）
A．20cm B．80cm C．160cm D．20cm 或80cm
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分课时教学设计
第五课时《6.2.2 线段的比较与运算》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课学习的是与“直线、射线、线段”有关的图形的画法、大小比较、线段的基本事实：两点之间线段最短，以及线段的计算。在几何的教学中，图形的画法是一项重要内容，学生对画图的体会是后续进行“说理论证”的重要基础，本课要求学生能够画出一条线段等于已知线段，并通过观察、思考探究等活动归纳出“两点之间线段最短”这一基本事实，并探究线段的和差以及线段的中点等知识，这些为后续学习，特别是后面角的学习，提供了研究的思路和方向。
学习者分析 线段是学生已经熟悉的图形，日常生活中有广泛的应用，这为顺利完成本节课打下了基础，但对于作图工具的运用和几何语言的表达理解可能会产生一些困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的分析。
教学目标 1.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。 2.知道两点之间的距离和线段中点的含义。
教学重点 探究比较线段长短的方法，尺规作图的操作，线段中点及其分成的各线段间的数量关系。
教学难点 运用线段的和与差、线段的中点解决问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。 2.知道两点之间的距离和线段中点的含义。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 1．直线的性质 （1）基本事实：______________________． ①它包含两层含义： 一是__________，二是____________，不会有两条、三条……； ②它可简单地说成_____________________． 答案：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，“肯定有”，“只有一条”，“两点确定一条直线” （2）直线的其他性质： ①经过一点的直线有________； ②不同的两条直线____________公共点． 答案：无数条，最多有一个 2．直线、射线、线段的表示 答案：直线 AB或直线 BA或直线 l 答案：射线 AB或射线 l 答案：线段 AB或线段 BA或线段 a 3．一个点在一条直线上，也可以说___________；一个点在直线外，也可以说__________________． 答案：这条直线经过这个点，直线不经过这个点 4．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线______，这个公共点叫做它们的______． 答案：相交，交点学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过回顾本节课的相关知识，为继续学习直线、射线、线段的知识做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一 些运算。为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段。 画一条线段等于已知线段AB，可以先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段。 即：度量法 也可以先用直尺画直线l，再用圆规在直线l上截取CD＝AB 即：尺规作图法 介绍：在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 操作：利用尺规画一条线段等于已线段a。 解：作图步骤如下： (1)作射线AC； (2)用圆规在射线AC上截取AB=a. 线段AB为所求作的线段. 想一 想，在“画一条线段等于已知线段”时，我们在运用了度量法和尺规作图法，在这两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？ 探究1：怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗？ 你能再举出一些比较线段长短的实例吗？ 讲解：比较两条线段的长短 度量法：用刻度尺量出这两条线段的长度，再进行比较. 叠合法：将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上。 注意：起点对齐，看终点． 追问：什么情况下，AB＝CD？AB＞CD呢？ （1） 预设：点 A 与点 C 重合， 点 D 与点 B 重合 AB＝CD （2） 预设：点 A 与点 C 重合， 点 D 落在 B，C 之间 AB＞CD （3） 点 A 与点 C 重合， 点 B 落在 C，D 之间 AB＜CD 探究2：如图所示，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。 预设： 归纳：线段的基本事实 两点的所有连线中，线段最短. 简单地说：两点之间，线段最短. 追问：你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗？ 讲解：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 注意：“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数值，二者有区别，不要混淆． 讲解：线段中的运算 在直线上作线段AB＝a，再在AB 的延长线上作线段BC＝b，线段AC 就是a与b的和，记作AC＝a＋b． 设线段a＞b，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD 就是a与b的差，记作AD＝a－b． 例1：如图所示，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b。 解：如图所示，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝a，则线段AC＝2a。在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b。 指出：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点. 符号语言： ∵M是AB的中点 ∴AM＝BM＝ AB (或AB=2AM=2MB) 反之也成立： ∵点M在线段AB上 且AM=MB= AB (或AB=2AM=2AB) ∴M是线段AB的中点 操作：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点。 拓展：类似线段的中点，还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 学生活动3： 学生认真听讲，按老师要求操作，积极思考、动手画图、小组合作交流活动意图说明： 通过学生动手操作，得出线段比较大小的方法，并通过观察猜想，得出基本事实：两点之间，线段最短，知道两点间的距离的含义掌握线段的和、差的作法及线段的中点，进一步体会线段中的和、差、倍、分关系，并解决有关线段的计算问题。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：6.2.2 线段的比较与运算一、线段长短的比较 度量法 叠合法 二、尺规作图——画一条线段等于已知线段 三、基本事实及两点间的距离 四、线段的和、差与线段的中点教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是( ) A. a>b B. a作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，下列关系式中与图不符的是( ) A.AD－CD＝AC B. AB＋BC＝AC C.BD－BC＝AB＋BC D. AD－BD＝AC－BC 答案：C 2.如图，点P是线段AB的中点，点Q是线段AP的中点，如果PQ＝2 cm，则BQ的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 答案：C 3.下列说法正确的是( ) A.连接两点的线段叫做两点间的距离 B.两点间连线的长度叫做两点间的距离 C.连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 答案：D 选做题： 4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，延长BA到D，使AD＝2AB，M，N分别是BC，AD的中点，若MN＝18 cm，求AB的长． 解：设AB＝x cm，则BC＝ AB＝ xcm， BM＝ BC＝ cm，AD＝2xcm，AN＝ AD＝x cm， 由MN＝18 cm， 得x＋x＋＝18， 解得x＝8，则AB＝8cm 【综合拓展类作业】 5.两根木条，一根长100cm，一根长60cm，将它们的一个端点重合，放在同一条直线上，此时两根木条中点间的距离（ ） A．20cm B．80cm C．160cm D．20cm 或80cm 答案：D
教学反思 本节教学应通过问题启发、做、想、试等方式，让学生主动探索来认识知识，在学生自己动手实践、小组合作的基础上，掌握线段比较的方法，线段的中点性质，发现“两点之间，线段最短”的性质，在实践中体验线段大小比较。从比较身高的具体活动中抽象出线段比较的方法，以及线段的计算，通过这些学习活动，使学生得到探索发现的成功感，自然获取知识并形成应用能力。
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