课件13张PPT。第一讲 函数与方程
重点：二分法ab函数的零点是怎样定义的一般地,如果函数y=f(x)在实数x处的值等于零,即
f(x)=0
则x叫做这个函数的零点.结论: 零点就是方程f(x)=0的实数根.也就是函数图象与x轴交点的横坐标.问题 1?练习求下列函数的零点:
f(x)=2x-4 (2) f(x)=x2-4x+3
(3) f(x)=x2-2x+1 (4) f(x)=3x2-2x-7
解方程f(x)=0
作函数图象问题 2?如何求函数的零点变号零点1不变号零点问题3 观察函数图象,看两函数零点两侧的函数值有什么关系?函数的变号零点有怎样的性质? 如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)A只有一个变号零点 B至多有一个变号零点
C至少有一个变号零点 D不一定有零点2.函数y=f(x)在区间[a,b]上有一个变号零点x0,且f(a)>0,f(b)<0,f( )<0,则x0在哪个区间内( )
A. [ ,b] B. [a, ]
C. [ ,a] D. [b, ]CB问题5 当确定函数在区间内存在一个变号零点后,如何求出这个零点? 通过取中点,不断把函数的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数的零点或零点的近似值,这样的方法叫做二分法.cde例1 求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间[0,4]内的变号零点.解 f(0)=-6<0 f(4)=18>0端点(中点)坐标中点的函数值取区间[0,4][2,4]X1=(0+4)/2=2X2=(2+4)/2=3f(x1)=f(2)=-6<0f(x2)=f(3)=0由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零点.例2 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(误差不超过0.1)解 由于f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可以取区间[1,2]作为计算的初始区间.端点(中点)坐标中点的函数值取区间区间长度[1,2][1,1.5][1.25,1.5][1.375,1.5]10.50.250.125X1=(1+2)/2=1.5X2=1.25X3=1.375X4=1.438f(x1)=0.625>0f(x2)<0f(x3)<0 由上表的计算可知,区间[1.375,1.5]的长度小于0.2,所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.用二分法求函数变号零点的一般步骤:
1.零点存在性定理,求出初始区间 2.进行计算,确定下一区间3.循环进行,达到精确要求练习 函数f(x)=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )
(A)没有零点 (B)有一个零点
(C)有两个零点 (D)无数个零点
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的变号零点必定在( )内
(A) [-2,1] (B) [2.5,4]
(C) [1,1.75] (D) [1.75,2.5] BD
3.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当 时函数的近似零点与真正零点的误差不超过( )
A.m B.m/2 C. 2m D. m/4B4. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近，
要检查多少次？算一算：7次小结二分法是求函数零点近似解的一种计算方法.
用二分法求函数零点的一般步骤.
二分法渗透了极限和算法的思想.课件22张PPT。人教A版高中数学必修1
多媒体课件几类不同增长的
函数模型 函数是描述客观世界变化规律的基本数学
模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型
来描述，那么应当如何选择恰当的函数模型来
刻画它呢？例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方
案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多
回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前
一天翻一倍;请问你会选择哪种投资方案?解:设第x天所得回报是y元则方案一可以用函数 进行描述则方案二可以用函数 进行描述则方案三可以用函数 进行
描述三种方案所得回报的增长情况:三种方案累计的回报数:结论:
投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资
方案;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资
11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制
定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到
10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万
元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过
5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励
模型:
其中哪个模型能符合公司的要求?分别做出函数的图象．(1)确定奖金总数不超过5万的模型：①通过函数图像直观的观察②利用函数的值域来确定结论： 符合要求。分析步骤： (2)计算按模型 奖励时，奖金是
否不超过利润的25％令作出函数 的图象：由图象可知它是递减的，因此即所以，当x∈[ 10,1000 ] 时， 说明按模型 奖励，奖金不会
超过利润的25％。 综上所述，模型 确实能符合
公司要求。巩固练习：（教材P116 练习1、2） 利用计算器或计算机，以一定的步长列出自
变量与函数值的对应值表，并在同一平面直角坐
标系内画出三个函数的图像。动画演示巩固练习：（教材P106 练习1、2）课堂小结 通过实例，认识和应用几种不同的函数增
长模型。课后作业课本第126页 习题3.2(A组)第1﹑2﹑3 题课件23张PPT。函数的概念动画演示 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，
炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(米)随
时间t(秒)变化的规律是
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={ t |
0≤t＜26 }, 炮弹距离地面的高度h的变化范围是数
集B= { h | 0≤h≤845 },从问题的实际意义可知，对
于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数
集B中都有唯一确定的高度h和它对应。1979～2001年南极上空臭氧空洞面积的变化曲线。时间t的变化范围是数集：
A={ t | 1979≤t≤2001 }臭氧层空洞面积S的变化范围是数集：
B={ S | 0≤S≤26 } 对于数集A中每一个时刻t，按照图中曲线，
在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和
它对应。 请你仿照前面两个例子描述表中恩格尔系数和
时间(年)的关系。 分析，归纳以上三个实例，它们
有什么共同点？ 我们看到，三个实例中变量之间的关系都可
以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对
应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，
记作思考 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关
系，使对于集合A中的任意一个数 x ，在集合B中都有
唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合
A到集合B的一个函数，记作：
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与
x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)|x
∈A }叫做函数的值域.已学函数的定义域和值域:设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”
读作“无穷大”, “+∞” 读作 “正无穷大” “-∞”读作 “负
无穷大”x≥a 的集合表示为 [ a, +∞ )x＞a 的集合表示为 ( a, +∞ )x≤a 的集合表示为 ( -∞, a ]x＜a 的集合表示为 ( -∞, a )例1.已知(1) 求函数的定义域；(2) 求 的值；(3) 当a＞0时，求 的值；解：(1)使根式 有意义的实数x的集合是使分式 有意义的实数x的集合是所以，这个函数的定义域就是(2)(3) 因为a＞0，所以 有意义.例2.下列函数中哪个与函数y=x相等？ 这两个函数虽然对应关系相同，但是
定义域不相同。所以，这两个函数不相等。 这两个函数不仅对应关系相同，而且定
义域也相同。所以，这两个函数相等。解答：求下列函数的定义域： { | 且 }课堂练习一课堂练习二课本第22页 练习1、2、3题课堂小结本节课学习了以下内容：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，
B必须是非空的数集； 表示y是x的函数；
函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定
义域和对应法则一经确定，值域随之确定；
判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完
全一样，才是同一函数；
表示 在x=a时的函数值，是常量；
而 是x的函数，通常是变量.课后作业课本第28页 习题1.2第1﹑2题课件23张PPT。单调性与最
大(小)值1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映
了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
③函数图象是否具有某种对称性？一次函数二次函数函数 的图象由左至右是上升的；
函数 的图象在y轴左侧是下降的，在y轴
右侧是上升的。 函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基
本性质——单调性。函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 ，当 时，都有 ，
那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing fun_ction)．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
（学生活动）减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 ，当 时，都有 ，
那么就说f(x)在区间D上是减函数(decreasing fun_ction)．注意：
1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质；
2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 .2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是
减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单
调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 ；
②作差 ；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）． 例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数 ，
根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数？解：函数 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ),
[ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。例1.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压
强P将增大，试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数 在区间( 0,
+∞ )上是减函数即可。证明：根据单调性的定义，设 是定义域
( 0,+∞ )上的任意两个实数，且 ，则由 ，得 ；由 ，得 ； 所以，函数 是减函数，
也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。即：又 k＞0，于是例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般是
期望在它达到最高点（大约是在距离地面高度25m到
30m处）时爆裂。如果在距离地面高度18m的地方点
火，并且烟花冲出的速度是14.7/s。
（1）写出烟花距离地面的高
度与时间之间的关系。
（2）烟花冲出后什么时候是
它暴裂的的最佳时刻？ 这时
距地面的高度是多少 （精确
到1m）？解：（1）设烟花在t s时距地面的高度为h m，则由
物体运动原理可知： （2）作出函数 的图象，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶
点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是
这时距地面的高度。 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，
这时距地面的高度约为29m。 例4.求函数 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值
和最小值。解：设 是区间 [ 2, 6 ] 上的任意两个实数，
且 ，则 因为所以于是所以函数 是区间 [ 2, 6 ] 上的减函数。即 因此，函数 在区间 [ 2, 6 ] 的两个
端点上分别取得最大值与最小值，即在 x=2 时取
得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最
小值0.4。课堂练习课本第38页 练习1、2、3、4题课堂小结 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利
用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函
数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调
性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论课后作业课本第45页 习题1.3(A组)第1﹑2﹑3﹑4 ﹑ 5 题课件15张PPT。方程与函数的思想方法 1．已知： （0< ? 平方得 25tan2?+50tan?+25=1+tan2?
∴ 12tan2? +25tan?+12=0∴ ，或 ． 由 知? ?( , ? )且|sin? |>|cos? |∴． 解法3：设 ，则 ∴ 3x2－5x－2=0 ∴ x1=2 或 ∵，∴，． 解法1： , 焦点O(0，0), 准线x =－1．设G的方程为 ① 直线AB方程为y=－x+m ②
①，②联立，消去y ：
(b2－a2)x2+2(b2c+a2m)x+b2c2－a2m2－a2b2=0 ③
设AB中点为M（x0，y0），
∵M在y=x上， ∴ ∴⑥ 且c2=a2+b2 ⑦
由⑥得 a2=c2－c， ⑧
由⑦得 b2=c ⑨
⑧,⑨代入④：得m =－2 ⑩ ⑧ , ⑨ , ⑩代入⑤：得 ∴，G的方程为 ． ∴ m=－2 ④ 解法3：设AB中点为M（x0，x0）， 则A(x0－1，x0+1)，B(x0+1，x0－1) 于是 ∴|x0|=|x0+2|，x0=－1
∴e=2 ． 故G的方程为 即 3x2－y2+8x+4=0． 4. 已知f(x)=x2+bx+c, 方程f(x)－x=0的两实根为x1，x2且x2－x1>2．
（Ⅰ）求证：x1，x2是方程f [f (x)]=x的根；
（Ⅱ）若四次方程f[f(x)]=x另两个根为x3，x4，且x3>x4，试比较x1，x2，x3，x4的大小．
（Ⅰ）证：f (x1)=x1 ? f [f (x1)]=f (x1)=x1
∴ x1是f [f (x)]=x的根，
同理可证：x2也是f [f (x)] =x的根． （Ⅱ）解∵ f (x)－x =0的根是x1，x2，
∴ f (x)－x =(x－x1)(x－x2) ①
即 f (x)=(x－x1)(x－x2)+x
∴ f (x)－x1=(x－x1)(x+1－x2) ②
f(x)－x2=(x－x2)(x+1－x1) ③
在①中，令f (x)代x，得
f [f (x)]－f (x)=[f (x)－x1]·[f (x)－x2] ∴ f [f (x)]－x
=(x－x1)(x－x2)(x+1－x2)·(x+1－x1)+f (x)－x
=(x－x1)(x－x2)[(x+1－x1)(x+1－x2)+1]
令g(x)=(x+1－x1)·（x+1－x2）+1
∵ g(x1)=x1－x2+2<0，
g(x2)=x2－x1+2>0，
∴ g(x)=0在(－∞，x1) 及 (x1，x2)内分别有一
个根，由于x3>x4
故 x4的图像之间的关系：与与与方程 有两个实数根： 函数 的
图像与x轴有两个交点(-1，0)，
(3，0). 函数 的
图像与x轴有一个交点(1，0).方程 有两个相等的实数根： 函数 的
图像与x轴没有交点.方程 有两个相等的实数根： 对于一般的一元二次方程
(a≠0)及其相应的二次函数 (a
≠0)来说：设判别式⊿= ，我们有 (1)当⊿＞0时，一元二次方程有两个不等的
实数根 ，相应的二次函数图象与x轴有两个
交点 。 (2)当⊿＝0时，一元二次方程有两个不等的
实数根 ，相应的二次函数图象与x轴有唯
一的交点 。 (3)当⊿＜0时，一元二次方程没有实数根，
相应的二次函数图象与x轴没有交点。 对于函数 ，我们把使 的
实数x叫做函数 的零点。方程 有实数根 观察图像我们发现，函数
在区间[ -2,1 ]上有零点。计算
f(-2)与f(1)的乘积，你能发现
这个乘积有什么特点？在[ 2,
4 ]上是否也有这种特点呢？ 在区间[ -2, 1 ]的端点上， ，
即 ，函数 在区间
( -2, 1 ) 内有零点 ，它是方程
的一个根。 观察图像我们发现，函数
在区间[ -2,1 ]上有零点。计算
f(-2)与f(1)的乘积，你能发现
这个乘积有什么特点？在[ 2,
4 ]上是否也有这种特点呢？ 在区间[ 2, 4 ]的端点上， ，
即 ，函数 在区间
( 2, 4 ) 内有零点 ，它是方程
的一个根。 一般地，我们有:
如果函数y = f(x)在区间 [a, b] 上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数
y = f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使
得f(c)=0，这个c也就是方程 f(c)=0 的根。例1.求函数f(x)=ln x + 2x - 6的零点个数．解： 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图像 由图可以看出，f(2)＜0，f(3)＞0，即f(2)·f(3)＜0，说明这个函数在区间( 2,3 )内有零点，由于函数f(x)在定义域( 0,+∞ )内是增函数，所以它仅
有一个零点。巩固练习：（教材P103 练习1、2）课堂小结(１)一元二次方程的根与相应的二次函数图像
X轴交点之间的关系；(２)函数零点的概念；(３)如何判断函数零点的个数．课后作业课本第108页 习题3.1(A组)第1﹑2 题课件20张PPT。用二分法求方程的近似解
知识与技能:
了解逼近法,理解用二分法求方程的近似解, 学会借助
计算器用二分法求相应方程的近似解.
教学目标过程与方法:
1.通过实践活动了解和感受逼近思想和极限思想.
2.探究与活动,适当借助现代化的计算工具解决问题.
情感、态度和世界观
正面解决问题困难时,可以通过迂回的方法解决.
体会二分法等算法的数学应用价值，感受数学美.有六个乒乓球,已知其中五个球质量相同,只有一个球的质量偏重,而手边只有一架没有砝码的托盘天平.你能利用这架天平找出这个质量偏重的球吗?问题情境问题1: 最少要称重几次才能找到这个质量偏重
的乒乓球?答案:最少两次问题情境CCTV2“幸运52”片段 ：
主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!········
问题2:你知道这件商品的价格在什么范围内吗?
问题3:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢?答案:1500至2000之间学生活动问题4：方程 的解是什么？ 若不用求根公式，如何求方程 的一个近似解呢？答案：例1、求方程 的一个正的近似 解？（精确到0.1）第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去得： 第四步：因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,
所以此方程的近似解为 图象算法第一步：得到初始区间（2，3）设 先画出函数图象的简图，分析：建构数学建构在上面的计算过程中需反复计算 ，以
判断结果的正负，用下面的方法可以提高计算效率：方法1、给变量x赋值，如x=2,按键顺序为
2、计算 ，按键顺序为
返回解答放大解答放大解答1.二分法的描述：
建构数学 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函
数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法
2.用二分法求一元方程f(x)=0的近似解的基本步骤:
建构数学第一步 确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0 第二步 求区间[a,b]两端点的平均值x1
第三步 计算f(x1) 并判断：(1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止; (2)如果f(a)f(x1)<0，则零点 ，否则零点
。第四步 重复步骤2～3,直至所得区间的两端点在要
求的精确度下取得的近似值相等，则零点
的近似值为所得区间内的任一数。例1例二、利用计算器，求方程 的近似解(精确到0.1)
在两个函数图象的交点处，函数值 相等。因此这个点的横坐标就是方
程lgx=3-x的解。
由图象可知方程lgx=3-x有惟一解，
记为x1，并且这个解在区间（2，3）
内。
数学应用分析：问题5：你将怎样设函数，便于作出简图？ 设y1=lgx和y2=3-x，在同一个直
角坐标系内作出函数的图象，例二、利用计算器，求方程 的近似解(精确到0.1) 数学应用 因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为解:设f(x)=lgx+x-3用计算器计算，得：
拓展知识拓展拓展结论:值总在2.58717左右,即近似值约为2.6用计算器反复计算 3-lgx 的方法是：
1、取初始值x=2,按键顺序为
2、用前面的结果再代入计算，按键顺序为
3、重复步骤2方法3-log=23-logAns=返回 刚才这种求近似值的方法我们把它称为迭代法,除了
二分法和迭代法以外还有很多计算方法,如:我国古代的
秦九韶法、立成释锁法、正负开方术、国外的牛顿切线
法、拟牛顿法、弦截法等。甚至我们还可以借助电脑中
常用的办公软件Microsoft Excel来求近似值。这里就不
再一一赘述，有兴趣的同学可以参看相关书籍和网站。
http://www.teach.ustc.edu.cn/当堂反馈
2、从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现在
某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障
发生点，一般至多需要检查接点的个数为几个？
1、求方程 的近似解（精确到0.1）
当堂反馈答案：回顾反思问题6：这一节课你学到了什么知识？
问题7：你学会了哪些本领？课件18张PPT。函数模型的应用实例1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，
当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时，
一次函数在 上为减函数。2.二次函数的解析式为_______________________, 其图像是一条
________线，当______时，函数有最小值为___________，当______
时，函数有最大值为____________。直抛物问题某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）这个函数的图像如下图所示：
(2)根据图形可得：例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象12345例2： 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：y在x ［250，400］上是一次函数． 则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）． ∴x＝400份时，y取得最大值870元． 答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元． 例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40
桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 （桶） 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 `；（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿
纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天） 解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:(2)设 时刻的纯收益为 ,则由题意得 即
综上,由 可知, 在 上可以取得最大值
100,此时 =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益
最大.1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元CAy=(90+x-80）（400-20x)小结 （1）认真审题，准确理解题意；
（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；
（3）根据实际情况确定定义域。 基本步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。
第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题 数学模型实际问题 的解抽象概括数学模型 的解还原说明推理
演算布置作业
P120 练习1 A组2应用函数知识解应用题的方法步骤：
(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。
转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟
知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。
(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进
行数学上的计算求解。
(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对
实际问题进行总结做答。2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，
提供了两个方面的信息，如下图：甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个
请你根据提供的信息说明：
①第2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数
②到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由。 布置作业1 . (必做)课本第126页 练习1,2课件20张PPT。应用性问题引言： 素质教育呼唤应用意识，近几年来的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，突出对能力的考查——重视应用，培养应用数学的意识，培养分析问题的解决问题的能力。
分析近几年高考应用性问题不难得出，试题从实际出发提供公平背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和基本方法。 解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：实际问题 分析、联系、抽象、转化建立数学模型（列数学关系式）数学方法数学结果实际结果回答问题解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。 例1、如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上.写出这个梯形周长y和腰长x的函数式，并求出它的定义域.分析：周长（y）=2AD+CD
=2x+CD关键是如何把CD用x来表示。而CD=EF=AB-2AE=2R-2AEEF从而有y=2x+（2R- ）
即y= - 2x+2R （0〈x〈R） 例2、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.分析：利润=（零售价—进货单价）销售量故有：设利润为 y元，零售价上涨x元
y=（50+x-40）（50-x） （其中 0〈x〈50））即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润.
最高利润为900元. 例 3、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
y= +当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，n=9此时y=
=8201.25+28.9即2005年底该乡能达到小康水平。 例4、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。
（1）?? 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2）? 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。
分析要求y与x的函数关系式，就是找出
DE与AD的等量关系。（1）三角形ADE中角A为600
故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。（2）（II）若DE做为输水管道，则需求y的最小值。
等号成立；解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。
则
若DE做为参观线路，须求y的最大值。
令
设
当100≤t1∴t1t2-4?104<0，又t1-t2<0,t1t2>0,∴f(t1)>f(t2)，
则f(t)在[100，200]上是减函数。故若DE是输水管道的位置，则需使
若DE是参观线路，则需使x=10或20∴当t=200，即
当t=100或t=400即x=10或20时，当200≤t1∴t1t2-4?104>0，又t1-t2<0,∴f(t1)则f(t)在[200，400]上是增函数。 例5、从北京(北纬40°，东经120°) 飞往智利的圣地亚哥(南纬30°，西经70°)，有两条航空线供其选择：
甲航空线：从北京向西飞到纽约(北纬400，西 经70°)，然后向南飞到目的地．
乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的弗里曼特尔(南纬30°，东经120°)，然后向西飞到目的地．请问：哪一条航空线较短？（飞行航线走的都是球面距离）BDCAOO1O2(两者相等，因两弧都在经度线，即地球
大圆上，且角AOD与角COB相等为700）只需比较 大小，而两弧都是地球大圆上的弧长，故只需比较AC与BD大小。由此可得BD>AC即甲航空线较短。具体解答过程同
学们课后整理。例6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，洪湖分公司有同一型号电脑12台，宜昌某单位向该公司购买该型号电脑10台，荆门某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40元和30元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是80元和50元．
（1）设从洪湖调运x台至宜昌，该公司运往宜昌和荆门的总运费为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？
（3）?求总运费最低的调运方案及最低运费．荆州洪湖宜昌分析：荆门有6台有12台（要10台）（要8台）40元/台30元/台80元/台50元/台荆州洪湖宜昌宜昌荆门荆门xX-410-x12-x80x30（x-4）40（10-x）50（12-x）注：x取值范围是什 么？略解：（1）设从洪湖调运x台至宜昌，则由题意可得：
y= 40（10-x）+ 30（x-4）+80x+ 50（12-x）得：y=20x+880（2） 即 得：
而 故X=4、5、6
所以有三种调配方案总运费不超过1000元。（3）显然x取最小时，y值最小。
即x=4时，y最小为960元。 例7、GDP（Gross Domestic Product）称为国内生产总值. 我国这四年GDP值如下表：
年 1997 1998 1999 2000
GDP（万亿元）7.4 7.8 8.2 8.9
（1）在右边坐标系画出表示这四年我国GDP的增长曲线，并根据我国近四年GDP增长规律，由所绘曲线估计2001年我国GDP值可能在什么范围内；
（2）2000年我国人均GDP约为900美元，如果按7.5％的年平均增长率计，经过10年，在2010年时，可否翻一翻达到人均1800美元水平？试计算你的结果. （要求使用二项式定理进行估值计算）
979899000178910年GDP解：（1）由图，若按1997～1999年的规律增长，2001年将达9.3万亿元； 答：10年后可以达到翻一翻的目标.>900(1+0.75+0.25)
＝1800. 900（1＋7.5%）10
＝900(1＋0.75＋0.253＋…)(2)按7.5％的年均增长率，经10年后， 人均GDP值为
∴ 2001年我国GDP值y的范围大致为：
9.3至9.6（万亿元） 若按1999～2000年规律增长，2001年将达9.6万亿元. 例8、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序继续加工.已知机器人M1的工作效率为机器人M2工作效率的2倍，机器人M3的工作效率为机器人M2工作效率的3倍，问检验台应放在何处最好，即各机器人到检验台所走距离之和最小？ 分析：各机器人到检验台所走距离之和=
M1所走路程+M2所走路程+M3所走路程如何求三者所走路程？ 设单位时间内M2完成N个零件；则M1、M3分别完成2N、3N个。再设检验台在数轴上坐标为x 。同学们课后去完成该题解答 例9、渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群由足够的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当空闲量.
已知鱼群的年增长量y吨和实际养鱼量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k, (k>0)
（1）?? 写出关于的函数y关于x关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）?? 求鱼群年增长量的最大值；
（3）?? 当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
分析：（1）由题意可得y=kx（空闲率）如何求空闲率？如何求定义域？故 时，y最大值为 （3） 当鱼群的年增长量达到最大值时，渔场中鱼群的养殖总量一定小于渔场中鱼群的最大养殖量m吨。即： 例10、海岛O上有一座海拔1km的小山，山顶没有一观察站A，
上午11时测得一轮船在岛的北偏东600的C处，俯角为300，11时10
分，又测得该船在岛的北偏西600的B处，俯角为600。
（1）求该船的速度；
（2）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达岛的正西方向？
此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？分析（1）时间为10分，关键是求CB距离。如何求CB？如何求OB、OC？求得：分析（2）考察三角形BOE。如何求BE 、OE？所以从B到E所要时间为5分钟，即11点15分到达E。
此时E离小岛距离为1。5km。小结： 近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。
我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如“复利”，“百分点”、“本息和”、“利润率”、“甲A联赛场数”等，都应成为我们熟知的词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。课件6张PPT。建模与应用专题复习感悟?渗透?应用 1. 某港口的水深y(米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是该港口的水深表： 经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出函数y=Asinωt+B的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5米时是安全的.如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)?2. 某地区位于沙漠边缘地带，到2000年底全县的绿化率只有30%，其余为沙漠化土地，从2001年开始，计划每年把原有沙漠面积的16%栽树改造为绿洲，而同时，原有绿洲面积的4%，又被侵蚀，变成沙漠.
(1)设该地区的面积为1,2000年底绿洲面积为a1=3/10，经过一年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an+1，求an+1与an关系式；
(2)求an的通项公式；
(3)问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%(年数取整数，lg2≈0.3010)4.某水库年初有水量a(a≥10000)，其中含污染物P0(设水与污染物能很好地混合)，当年的降水量与月份x的关系是f(x)=20-|x-7|(1≤x≤12，x∈N)，而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为r，且污水含污染物P(P＜r)，设当年水库中的水不作它用
(1)求第x月份水库的含污比g(x)的表达式(含污比=污染物/总库容)；
(2)当P0=0时，求水质最差的月份及此月的含污比
