2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集是实数集下边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为( )
A. B. C. D.
2.如果复数的实部与虚部相等，那么( )
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，且，，那么( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，线段的垂直平分线与交于点，那么( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是 ．
A. B. C. D.
7.在中，，的平分线交于点若，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件
9.已知在三棱锥中，，，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”已知正整数的次方是一个位数，则由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.二项式的展开式中，的系数为，则 ．
13.已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是 ．
14.在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且如果的最大值为，那么 ，此时的最小值为 ．
15.已知函数，其中且给出下列四个结论：
若，则函数的零点是；
若函数无最小值，则的取值范围为；
若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
求的大小；
若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．
；
的面积为；
边上的高线长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
如图，矩形平面，平面与棱交于点．
求证：
求直线与平面夹角的正弦值
求的值．
18.本小题分
在年月日发布的北京市义务教育体育与健康考核评价方案中，义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值分．其中过程性考核分，现场考试分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取名男生和名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考分钟跳绳的比例分别为和假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．
从该区所有九年级学生中随机抽取名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
从该区九年级全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，设为这人中选考分钟跳绳的人数，求随机变量的数学期望；
已知乒乓球考试满分分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有人得分，人得分，其余男生得分；样本中选考乒乓球的女生有人得分，其余女生得分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小．结论不需要证明
19.本小题分
已知椭圆的左顶点为，上顶点为，下顶点为，若椭圆的，三角形的面积为．
求椭圆的标准方程；
已知点，直线交椭圆于点，过点的直线交椭圆于，两点，若直线与轴交于点，过且平行于轴的直线与交于点，求的值．
20.本小题分
已知，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的极值；
若对于恒成立，求的最大值．
21.本小题分
已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列，若，则称新数列为的长度为的递减子列，递增子列和递减子列统称为的单调子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的单调子列．
写出数列，，，，，，的最长单调子列；
已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为若，求证：；
若数列有项，且任意两项均不相等，证明：必存在长度为的单调子列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.

15.
16.在中，由及正弦定理，
得，即，
而，解得，又，
所以．
选择条件，，由正弦定理得，而，
因此角有两解，即不唯一；
选择条件，的面积为，由，
解得，由余弦定理得，
所以唯一，其周长为．
选择条件，边上的高线长为，则的面积，
由，解得，
由余弦定理得，
所以唯一，其周长为．

17.证明：由题知，矩形，，，
且平面，平面，，
平面，平面，，
平面平面，
平面与棱交于点，且平面，
平面平面，平面平面，平面平面，
故，得证
由题知，平面，且，
，，两两垂直，
以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则有
即，不妨令，可得，
记直线与平面夹角为，
，
故直线与平面夹角的正弦值为
由题知，设故，
由知平面的法向量为，且平面，
故
，
故

18.样本中男生选考乒乓球的人数为人，
样本中女生选考乒乓球的人数为人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取名学生，该学生选考乒乓球为事件，
则该学生选考乒乓球的概率；
依题意的可能取值为、、、，
则，
，
，
，
所以
，
因为，
，
因为，所以．

19.依题意：，解得，，，
椭圆的标准方程为；
直线：，
解得，若直线：，
则，若直线：，
设，，
整理得，
，
解得或，，，
直线：，令，
得直线：，
令，得，因为，
所以，，三点共线，所以，
综上知：．

20.当时，，．
即曲线在点处的切线方程为．
当时，，则；
令，则，即在上单调递增；
又易知，所以当时，，当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
即函数的极小值为，无极大值．
对于恒成立，可得在恒成立；
令，则，又，
由可解得，
易知当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得极小值，
也是最小值为；
易知，即，
可得，
令，则，
因此当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即．
故的最大值为．

21.由题意知，数列，，，，，，的最长单调子列为递增子列，是，，，，；
设长度为，末项为的递增子列为，，，，，
由，可得，
因为数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，
又因为，，，，是的长度为的递增子列，
所以，
由此可得．
因为数列任意两项均不相等，现以数列的每一项为首项选取长度最大的单调子列，设其共有项，组成数列，
若中有一个，那么数列存在一个长度为的递增子列，
所以数列存在一个长度为的单调子列．
若数列不存在长度超过的递增子列，即，．
所以在中，至少有个数是相等的．
取其中项，不妨设为，其中，
下面证明当，且时，
假设，将加到以为首项长度为的递增子列前面，
构成了以为首项、长度为的递增子列，
以为首项的最长递增子列的项数为矛盾，假设不成立，
所以
由此可知，
所以构成了一个长为的递减子列．
综上所述，必存在长度为的单调子列．

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