2024-2025学年上海格致中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.10）（PDF版，含答案）

格致中学 2024 学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题：（本题共有 10 个小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1
1．不等式 1的解集为 ．
x
1 1
2．已知关于 x的一元二次方程 2x 3x 1= 0的两个实数根为 x ， x ，则 + 的值
1 2
x x
1 2
为 ．
3．设 a， b R， P = 1,a ，Q = 1, b ，若 P = Q，则 a b = _________．
2a b
4．设 a， b R，则“ b 2a ”是“ 0 ”的 条件．（填“充分不必要”、
2
b
“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【上海数学研讨】
5．方程 x 1+ | y + 2 |= 0的解集为 ．（用列举法表示）
6．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）．
① a ；② a a ；③ a a ；④ a a,b ；⑤ a a , a,b ．
7．设集合 = 2M a | x a = 1,1 x 4, x Z ，则集合 M 的非空真子集的个数为 ．
4x + m
8．若不等式 2恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
2
x 2x + 3
9．已知对于实数 x， y，满足 x + y 2且 x y 3，则 3x y 的最大值为 ．
10．已知集合 A= (0,0) ,(0,1) ,(1,0) ,(0, 1) ,( 1,0) ，B = (x, y) x 2, y 1, x, y Z ，定
义集合 A B = ( x + x , y + y ) | (x , y ) A,(x , y ) B A B1 2 1 2 1 1 2 2 ，则 中元素的个数
为 ．
1
二、选择题：（本题共有 4 个小题，每小题 4 分，满分 16 分）
11．用反证法证明命题“已知 x， y是正整数，如果 xy 能被 7 整除，那么 x ， y 至少有一
个能被 7 整除”时，第一步应该假设的内容是（ ）．
A． x， y只有一个能被 7 整除 B． x ， y都不能被 7 整除
C． x， y能都被 7 整除 D．只有 x 不能被 7 整除
1 1
12．若 0 ，则下列结论不正确的是（ ）．
a b
A． a + b 0 B． 2 2a b C． ab 2b D． 2ab a
13．若关于 x的不等式 2x m n的解集为 ( , )，则 的值（ ）．
A．与m 有关，且与 n 有关 B．与m 有关，但与n 无关
C．与m 无关，且与 n 无关 D．与m 无关，但与n 有关
14．设 0 b a + 1，若关于 x的不等式 (x 2 2b) (ax) 的解集中的整数解个数恰为 3 个，
则满足条件的实数 a 所在区间可以是（ ）．【上海数学研讨】
A． ( 1,0) B． (0,1) C． (1,3) D． (3,5)
三、解答题：（本题共有 5 大题，满分 44 分。解题时要有必要的解题步骤）
15．（本题共 2 小题，其中第 1 小题 2 分，第 2 小题 4 分，满分 6 分）
已知集合 A = x | 1 x 4 ， B = x | a x a + 2 ， a R ．
（1）当 a = 2时，求 A B；
（2）若 A B = ，求实数 a 的取值范围．
2
16．（本题满分 6 分）
已知 a， b 是实数，求证： 4 4 2a b 2b = 1成立的充要条件是 2 2a b = 1．
17．（本题共 2 小题，其中第 1 小题 3 分，第 2 小题 5 分，满分 8 分）
已知关于 x的不等式 2ax + 4x 3 0的解集为 x | 1 x b ．
（1）求 a， b 的值；
（2）当 c 0 时，求关于 x的一元二次不等式 2cx (bc a) x + b 0 的解集．
18．（本题共 2 小题，其中第 1 小题 5 分，第 2 小题 5 分，满分 10 分）
根据要求完成下列问题：
（1）已知命题 2 2 2p : x + 8x + 20 0，命题 q : x 2x + 1 m 0(m 0)，若q 是 p 的必要
不充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）已知命题 p ：关于 x的方程 2x + mx + 1= 0有两个不等的负根；命题q ：关于 x 的不等
式 2mx 2mx + 3 0的解集为 R ．若 p ， q一真一假，求实数m 的取值范围．
3
19．（本题共 3 小题，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 2 小题 5 分，满分 14 分）
设集合 A = a ,a , ,a ，其中1 2 n 0 a a a ，正整数 n 3 ．若对任 意 i 、1 2 n
j(1 i j m)， a + a 与 a a 至少有一个属于 ，则称 具有性质 ． i j j i A A P
（1）分别判断集合C = 0,2,4 与 D = 1,2,3 是否具有性质 P ，并说明理由；
（2）当 n = 3时，若 A具有性质 P ，且 a = 4，求集合 A ；【上海数学研讨】 2
a
（3）记 f (n) = n ，若 A 具有性质 P ，求 f (2022)的值．
a + a + a + + a
1 2 3 n
4
参考答案
一、填空题
1. ( ,0) 1,+ ) ; 2. 3 ; 3. 0 ; 4.必要不充分; 5. (x, y) | x = 1, y = 2 ; 6.①③⑤;
7. 14 ; 8. m | m 2 ; 9. 7 ; 10. 45；
9．已知对于实数 x， y，满足 x + y 2且 x y 3，则 3x y 的最大值为 ．
【答案】 7
【解析】由题意得|3x 3x y = 2( x + y) + ( x y) 2( x + y) + x y 2 2 + 3 = 7 ,
3 3
x + y = x + y =
当且仅当 2 或 2 时取等号,所以 3x y 的最大值为 7.
x y = 3 x y = 3
10．已知集合 A= (0,0) ,(0,1) ,(1,0) ,(0, 1) ,( 1,0) ，B = (x, y) x 2, y 1, x, y Z ，定
义集合 A B = ( x + x , y + y ) | (x , y ) A,(x , y B A B1 2 1 2 1 1 2 2 ) ，则 中元素的个数
为 ．
【答案】 45
【解析】集合 A中有 5 个元素，即 5 个点，如下图
中黑点所示,
集合 B = (x,y) x剟2, y 2,x,y Z 中有 25 个元素
（即 25 个点），
即下图中正方形 ABCD 内部及正方形 ABCD 边上的
整点,
所以 x + x = 3或-2 或-1 或 0 或 1 或 2 或 3,共 7 个值,
1 2
所以 y + y = 3或-2 或-1 或 0 或 1 或 2 或 3,共 7 个值,
1 2
所以集合 A B = ( x + x ,y + y | x y A, x ,y B1 2 1 2 ) ( 1 , 1 ) ( 2 2 ) 中的元素可看作下图中正
5
方形 A B C D 内部及正方形 A B C D 边上除去四个顶点外的整点,共7 7 4 = 45 (个)。
1 1 1 1 1 1 1 1
故答案为:45.
二、选择题
11.B 12.D 13.D 14.C
13．若关于 x的不等式 2x m n的解集为 ( , )，则 的值（ ）．
A．与m 有关，且与 n 有关 B．与m 有关，但与n 无关
C．与m 无关，且与 n 无关 D．与m 无关，但与n 有关
【答案】D
m n m + n
【解析】 2x m n n 2x m n x
2 2
m n m + n m n m + n
= , = = = n
2 2 2 2
因此， 的值与m 无关，但与 n 有关.故选:D.
14．设 0 b a + 1，若关于 x的不等式 2(x b) 2(ax) 的解集中的整数解个数恰为 3 个，
则满足条件的实数 a 所在区间可以是（ ）．
A． ( 1,0) B． (0,1) C． (1,3) D． (3,5)
【答案】C
【解析】关于 的不等式 2 2 ,等价于 ( 2x (x b) (ax) a 1) 2 2x + 2bx b 0 ,
转化为 (a + 1) x b (a 1) x + b 0 ,不等式的解集中的整数怡有 3 个， a 1 ,
b b
又 0 b 1+ a, 不等式的解集为 x 1 ,
a 1 a + 1
b b
解集里的整数是 2, 1,0三个, 3 2, 2 剟3,即2a 2 b 3a 3;
a 1 a 1
又 b 1+ a , 2a 2 1+ a,解得 a 3 ,综上, a 的取值范围是 (1,3) .故选：C .
三．解答题
15.（1） 2,4)（2） ( , 3) 4,+ )
6
16.证明略
1 1 1
17.（1） a = 1,b = 3 （2）当 c 0, 时，解集为 ( , 3 ,+ ；当 c = 时，

3 c 3
1 1
解集为 R ；当 c ,+ 时，解集为 , 3,+ )；
3 c
18.（1） 9,+ )（2） 0,2 3,+ )
19．（本题共 3 小题，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 2 小题 5 分，满分 14 分）
设集合 A = a ,a , ,a ，其中1 2 n 0 a a a ，正整数 n 3 ．若对任 意 i 、1 2 n
j(1 i j m)， a + ai j 与 a aj i 至少有一个属于 A ，则称 A 具有性质 P ．
（1）分别判断集合C = 0,2,4 与 D = 1,2,3 是否具有性质 P ，并说明理由；
（2）当 n = 3时，若 A具有性质 P ，且 a = 4，求集合 A ； 2
a
（3）记 f (n) = n ，若 A 具有性质 P ，求 f (2022)的值．
a + a + a + + a
1 2 3 n
【答案】（1）集合 D不具有性质 P . （2） A = 0,4,8 （3）
1
f (2022) =
1011
【解析】(1)集合C = 0,2,4 中,因为 0 + 2 C , 0+ 4 C,4 2 C ,所以集合C 具有性质 P .
集合 D = 1,2,3 中,因为 3 + 3 = 6 D , 3 3 = 0 D ,所以集合 D不具有性质 P .
(2)因为 a a a ,且 A = a ,a ,a 具有性质 ,所以1 2 3 P a + a A,a a = 0 A ,则a = 0 ,1 2 3 3 3 3 3 1
又因为 a + a a ,所以 a + a A ,则 a a A ,由集合的互异性知a a = 4 .
2 3 3 2 3 3 2 3 2
故: A = 0,4,8 .
(3)因为 *A = a ,a , ,a (0 a a a ,n N ,n 31 2 n 1 2 n )具有性质 P ,
所以. a + a A ,则 a a = 0 A,则a = 0,
n n n n 1
又因为 0 a a a ,所以 0 a a a a a a ,
1 2 n n n n n 1 n 1
7
又因为 a + a a ( i = 1,2, ,n 1) ,所以 ,则n n i n a + a A a a A , n n i n n i
所以 a = a a ,a = a a , a = a a , ,a = a a
1 n n 2 n n 1 3 n n 2 n n 1
所以 a + a + a + + a = (a a + a a )+ a a + + a a 1 2 3 n n n ) ( n n 1 ( n n 2 ) ( n 1 )
n a a 2 1
即 a + a + a + + a = a ,所以 f (n) = n = n = ,则 f (2022) = . 1 2 3 n n
2 a + a + a + + a n n 1011
1 2 3 n a
n
2
8