整式的乘法与因式分解 单元训练（一）（含解析）
文档属性
| 名称 | 整式的乘法与因式分解 单元训练（一）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-18 21:36:36 | ||
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文档简介
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整式的乘法与因式分解 单元训练（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12
B．（﹣2a2b）3＝﹣8a8b3
C．[﹣（m﹣n）3]2＝[﹣（m﹣n）2]3
D．（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝y3
2．（3分）若6x＝3，6y＝16，则6x﹣y的值为（ ）
A． B．﹣13 C． D．19
3．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a） B．（a+b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a﹣b）
4．（3分）若a+b＝3，ab＝﹣12，则a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．57 B．21 C．45 D．33
5．（3分）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
6．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（ ）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）当x满足x 时，（x﹣3）0有意义．
8．（3分）若xa＝3，x2a﹣3b，则xb的值为 ．
9．（3分）关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，则n的值为 ．
10．（3分）设a为正整数，且满足a2+2a+40是完全平方数，则a的值是 ．
11．（3分）如果（m、n都是常数），那么n的值是 ．
12．（3分）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（1）2x2 （x﹣1）+x3；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
14．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16．
（1）求3a+b的值；
（2）求32a﹣c的值．
15．（6分）（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
16．（6分）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
17．（6分）用简便方法计算：
（1）；
（2）222﹣2×44+4．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2；
（2）3a2﹣27；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）．
19．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
20．（8分）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ ；
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
21．（9分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值．
（2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2．
22．（9分）在《整式乘除》中学习了完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？把图①看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图①看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
[类比探究]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图②的面积进行计算，你发现的式子是 .（用a，b，c表示，结果化为最简）
[联系运用]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和一个小正方形组成的，当c＝5，a﹣b时，求a+b的值．
[问题解决]如图③，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为80，OA＝12．求该图形的面积．
23．（12分）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2，
∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
整式的乘法与因式分解 单元训练（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12
B．（﹣2a2b）3＝﹣8a8b3
C．[﹣（m﹣n）3]2＝[﹣（m﹣n）2]3
D．（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝y3
【思路点拔】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可．
【解答】解：A、x6+x6＝2x6，故该项不正确，不符合题意；
B、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故该项不正确，不符合题意；
C、[﹣（m﹣n）3]2＝（m﹣n）6，[﹣（m﹣n）2]3＝﹣（m﹣n）6，两者不相等，故该项不正确，不符合题意；
D、（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝﹣y10÷（﹣y）7＝y3，故该项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）若6x＝3，6y＝16，则6x﹣y的值为（ ）
A． B．﹣13 C． D．19
【思路点拔】根据同底数幂的除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵6x＝3，6y＝16，
∴6x﹣y＝6x÷6y＝3÷16，
故选：A．
3．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a） B．（a+b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a﹣b）
【思路点拔】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征逐项判断即可．
【解答】解：A、（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣a2+2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（b+a）＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣（a2﹣b2）＝﹣a2+b2，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）﹣（a+b）2＝﹣（a2+2ab+b2）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）若a+b＝3，ab＝﹣12，则a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．57 B．21 C．45 D．33
【思路点拔】先对原式进行变形，再计算即可．
【解答】解：a2﹣ab+b2
＝a2+2ab+b2﹣3ab
＝（a+b）2﹣3ab，
∵a+b＝3，ab＝﹣12，
∴原式＝32﹣3×（﹣12）
＝9+36
＝45．
故选：C．
5．（3分）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
【思路点拔】根据平方差结构特征进行解答即可．
【解答】解：（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）＝[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]，
故选：D．
6．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（ ）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
【思路点拔】将每个选项进行因式分解，即可作出判断．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意；
C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）当x满足x ≠3 时，（x﹣3）0有意义．
【思路点拔】根据指数幂的底数不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
当x﹣3≠0时，（x﹣3）0有意义．
即x≠3．
故答案为：≠3．
8．（3分）若xa＝3，x2a﹣3b，则xb的值为 5 ．
【思路点拔】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：∵xa＝3，
∴x2a﹣3b＝x2a÷x3b＝（xa）2÷（xb）3＝32÷（xb）3，
∴（xb）3＝125，
∴xb＝5．
故答案为：5．
9．（3分）关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，则n的值为 4 ．
【思路点拔】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据展开式后一次项系数为﹣1得出3﹣n＝﹣1，即可求出n的值．
【解答】解：（x+1）（3x﹣n）
＝3x2﹣nx+3x﹣n
＝3x2+（3﹣n）x﹣n，
∵关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，
∴3﹣n＝﹣1，
∴n＝4，
故答案为：4．
10．（3分）设a为正整数，且满足a2+2a+40是完全平方数，则a的值是 18或4 ．
【思路点拔】设设a2+2a+40＝k2，其中k为正整数，则（a+1）2+39＝k2，进而得（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39＝﹣1×39＝﹣3×13，再根据a，k均为正整数得a+1+k和a+1﹣k均为正整数，且a2+2a+40＞40，则k＞6，继而可得a+1+k＞7，则①或②，然后解此方程组即可求出a的值．
【解答】解：∵a2+2a+40是完全平方数，
∴设a2+2a+40＝k2，其中k为正整数，
∴（a+1）2+39＝k2，
∴（a+1）2﹣k2＝﹣39，
即（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39，
∵a，k均为正整数，
∴a+1+k和a+1﹣k均为整数，且a2+2a+40＞40，
∴k2＞40，
∴k＞6且为整数，
∴a+1+k＞7，
∵（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39＝﹣1×39＝﹣3×13，
∴①或②，
由①解得：，由②解得：，
∴a的值是18或4．
11．（3分）如果（m、n都是常数），那么n的值是 ．
【思路点拔】根据（x+m）2＝x2+2mx+m2，，得出，即可得出，n＝m2，求出结果即可．
【解答】解：∵（x+m）2＝x2+2mx+m2，，
∴，n＝m2，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（3分）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 1001 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 8778 ．
【思路点拔】根据最小的正整数是1，最大的一位数是9解答；根据题意得到：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d，联立方程组，解答即可．
【解答】解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴或，
解得或，
∵a+c＝b+d．
∴c﹣d＝b﹣a，
∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，
∵c+d＝5k（k是正整数），
∴c+d＝5或10或15，
∴或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或，
∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；
或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；
或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；
或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．
故所有的“交替数”是8723或4114或8778或4169，
最大的“交替数”为8778，
故答案为：1001，8778．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（1）2x2 （x﹣1）+x3；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
【思路点拔】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式以及单项式乘多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）2x2 （x﹣1）+x3；
＝2x3﹣2x2+x3
＝3x3﹣2x2；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）
＝x3+3x2﹣2x﹣6﹣x3﹣2x2+x
＝x2﹣x﹣6．
14．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16．
（1）求3a+b的值；
（2）求32a﹣c的值．
【思路点拔】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂除法法则，幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【解答】解：（1）∵3a＝4，3b＝10，
∴3a+b
＝3a 3b
＝4×10
＝40；
（2）∵3a＝4，3c＝16，
∴32a﹣c
＝（3a）2÷3c
＝42÷16
＝1．
15．（6分）（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
【思路点拔】（1）根据已知得a﹣a2＝﹣5，再将（4﹣a）（3+a）化简，再整体代入即可；
（2）根据已知得a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，然后整体代入即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣5＝0，
∴a﹣a2＝﹣5，
∴（4﹣a）（3+a）
＝12+4a﹣3a﹣a2
＝12+（a+a2）
＝12+（﹣5）
＝7；
（2）∵a2+a﹣5＝0，
∴a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，
∴（a2﹣5）（a+1）
＝﹣a（a+1）
＝﹣a2﹣a
＝﹣5．
16．（6分）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【思路点拔】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再连续用平方差公式可算出答案；
（2）逆用平方差公式，再求和即可．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
＝256﹣1
＝255；
（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+...+2+1
＝5050．
17．（6分）用简便方法计算：
（1）；
（2）222﹣2×44+4．
【思路点拔】（1）先把原式变形为，然后根据平方差公式计算即可；
（2）根据完全平方公式先把原式变形为（22﹣2）2，然后计算即可．
【解答】（1）解：
＝202
；
（2）222﹣2×44+4＝（22﹣2）2＝202＝400．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2；
（2）3a2﹣27；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）．
【思路点拔】（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣12xy+36y2＝（x﹣6y）2；
（2）3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）
＝2x[3（y2﹣2）﹣（2y2+3）]
＝2x（y2﹣9）
＝2x（y+3）（y﹣3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）
＝4（a﹣b）（x2﹣2xy+y2）
＝4（a﹣b）（x﹣y）2．
19．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
【思路点拔】（1）先利用提公因式结合已知条件得出14（x﹣y）＝28，即可得解；
（2）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy即可求解；根据（x+y）2＝x2+2xy+y2及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28，
xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28，
（x﹣y）（xy﹣1）＝28，
∵xy＝15，
∴14（x﹣y）＝28，
∴x﹣y＝2；
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34；
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64，
∴x+y＝±8．
20．（8分）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
【思路点拔】（1）利用面积相等求解即可；
（2）利用（1）的结论，得到方程t2﹣16＝9，求出t的值，再由t2+2t﹣18≥0，求符合条件的t的值即可．
【解答】解：（1）∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c，
∴面积分别为a2，b2，c2，
边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个，
∴面积分别为ab，ac，bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，
∴2（n﹣2024）（2026﹣2n）+2（n﹣2024）（n+1）+2（2026﹣2n）（n+1）＝2﹣2t，
∵（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，
∴（n﹣2024+2026﹣2n+n+1）2＝（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2+2（n﹣2024）（2026﹣2n）+2（n﹣2024）（n+1）+2（2026﹣2n）（n+1）＝t2+2t﹣18+2﹣2t＝t2﹣16，
∵n﹣2024+2026﹣2n+n+1＝3，
∴t2﹣16＝9，
解得t＝±5，
∵t2+2t﹣18≥0，
∴t＝﹣5舍去，
∴t＝5．
21．（9分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值．
（2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2．
【思路点拔】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0则x+1是原式的因式，利用竖式除法可得另一个因式，据此分解即可．
【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴x＝3时，x2+kx+12＝0，
∴9+3k+12＝0，
∴3k＝﹣21，
∴k＝﹣7，
∴k的值为﹣7；
（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，
∴，
解得，
∴m、n的值分别为﹣7和0，
（3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0，
∴x+1是原式的因式，根据用竖式除法可得：2x3﹣x2﹣5x﹣2＝（2x2﹣3x﹣2）（x+1）＝（x﹣2）（2x+1）（x+1）．
22．（9分）在《整式乘除》中学习了完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？把图①看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图①看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
[类比探究]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图②的面积进行计算，你发现的式子是 c2＝a2+b2 .（用a，b，c表示，结果化为最简）
[联系运用]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和一个小正方形组成的，当c＝5，a﹣b时，求a+b的值．
[问题解决]如图③，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为80，OA＝12．求该图形的面积．
【思路点拔】[类比探究]利用正方形ABCD的面积＝边长为（a﹣b）的正方形和四个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积之和解答即可；
[联系运用]利用关系式求得2ab＝23，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2解答即可；
[问题解决]由已知可得：OA＝OC＝OE＝OG＝12，AH＝BC＝DE＝FG，AB＝CD＝EF＝GH，设OH＝x，则AH＝BC＝DE＝FG＝12﹣x，利用周长为80列出关于x的方程，解方程求得x的值，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：[类比探究]∵正方形ABCD的边长是c，
∴正方形ABCD的面积为c2，
∵正方形ABCD的面积由边长为（a﹣b）的正方形和四个全等的直角边分别为a，b的直角三角形拼成，
∴正方形ABCD的面积为（a﹣b）2+4ab＝（a﹣b）2+2ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2．
故答案为：c2＝a2+b2；
[联系运用]由[类比探究]可得：a2+b2＝c2＝25，
∵a﹣b，
∴（a﹣b）2＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝2，
∴2ab＝23．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝25+23＝48．
∵a+b＞0，
∴a+b．
[问题解决]∵将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，
∴OA＝OC＝OE＝OG＝12，AH＝BC＝DE＝FG，AB＝CD＝EF＝GH，
设OH＝x，则AH＝BC＝DE＝FG＝12﹣x，
∴AB．
∵图形的周长为80，
∴44（12﹣x）＝80，
解得：x＝5．
经检验：x＝5是原方程的解．
∴OH＝OB＝OD＝OF＝5，
∴该图形的面积＝45×12＝120．
23．（12分）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2，
∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【思路点拔】（1）利用材料1的解题思路进行计算，即可解答；
（2）①利用材料1和材料2的解题思路进行计算，即可解答；
②利用材料1和材料2的解题思路进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①把x﹣y看成一个整体，令x﹣y＝A，则
原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
再将A＝x﹣y重新代入，得：原式＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3
＝（m2+2m）（m2+2m﹣2）﹣3
＝（m2+2m）2﹣2（m2+2m）﹣3，
把m2+2m看成一个整体，令m2+2m＝A，则
原式＝A2﹣2A﹣3＝（A﹣3）（A+1），
再将A＝m2+2m重新代入，得：原式＝（m2+2m﹣3）（m2+2m+1）＝（m+3）（m﹣1）（m+1）2．
整式的乘法与因式分解 单元训练（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12
B．（﹣2a2b）3＝﹣8a8b3
C．[﹣（m﹣n）3]2＝[﹣（m﹣n）2]3
D．（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝y3
2．（3分）若6x＝3，6y＝16，则6x﹣y的值为（ ）
A． B．﹣13 C． D．19
3．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a） B．（a+b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a﹣b）
4．（3分）若a+b＝3，ab＝﹣12，则a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．57 B．21 C．45 D．33
5．（3分）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
6．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（ ）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）当x满足x 时，（x﹣3）0有意义．
8．（3分）若xa＝3，x2a﹣3b，则xb的值为 ．
9．（3分）关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，则n的值为 ．
10．（3分）设a为正整数，且满足a2+2a+40是完全平方数，则a的值是 ．
11．（3分）如果（m、n都是常数），那么n的值是 ．
12．（3分）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（1）2x2 （x﹣1）+x3；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
14．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16．
（1）求3a+b的值；
（2）求32a﹣c的值．
15．（6分）（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
16．（6分）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
17．（6分）用简便方法计算：
（1）；
（2）222﹣2×44+4．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2；
（2）3a2﹣27；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）．
19．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
20．（8分）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ ；
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
21．（9分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值．
（2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2．
22．（9分）在《整式乘除》中学习了完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？把图①看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图①看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
[类比探究]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图②的面积进行计算，你发现的式子是 .（用a，b，c表示，结果化为最简）
[联系运用]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和一个小正方形组成的，当c＝5，a﹣b时，求a+b的值．
[问题解决]如图③，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为80，OA＝12．求该图形的面积．
23．（12分）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2，
∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
整式的乘法与因式分解 单元训练（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6+x6＝2x12
B．（﹣2a2b）3＝﹣8a8b3
C．[﹣（m﹣n）3]2＝[﹣（m﹣n）2]3
D．（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝y3
【思路点拔】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可．
【解答】解：A、x6+x6＝2x6，故该项不正确，不符合题意；
B、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故该项不正确，不符合题意；
C、[﹣（m﹣n）3]2＝（m﹣n）6，[﹣（m﹣n）2]3＝﹣（m﹣n）6，两者不相等，故该项不正确，不符合题意；
D、（﹣y4） （﹣y）6÷（﹣y）7＝﹣y10÷（﹣y）7＝y3，故该项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）若6x＝3，6y＝16，则6x﹣y的值为（ ）
A． B．﹣13 C． D．19
【思路点拔】根据同底数幂的除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵6x＝3，6y＝16，
∴6x﹣y＝6x÷6y＝3÷16，
故选：A．
3．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a） B．（a+b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a﹣b）
【思路点拔】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征逐项判断即可．
【解答】解：A、（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣a2+2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（b+a）＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣（a2﹣b2）＝﹣a2+b2，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）﹣（a+b）2＝﹣（a2+2ab+b2）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）若a+b＝3，ab＝﹣12，则a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．57 B．21 C．45 D．33
【思路点拔】先对原式进行变形，再计算即可．
【解答】解：a2﹣ab+b2
＝a2+2ab+b2﹣3ab
＝（a+b）2﹣3ab，
∵a+b＝3，ab＝﹣12，
∴原式＝32﹣3×（﹣12）
＝9+36
＝45．
故选：C．
5．（3分）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（ ）
A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]
C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]
【思路点拔】根据平方差结构特征进行解答即可．
【解答】解：（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）＝[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]，
故选：D．
6．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（ ）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
【思路点拔】将每个选项进行因式分解，即可作出判断．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意；
C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）当x满足x ≠3 时，（x﹣3）0有意义．
【思路点拔】根据指数幂的底数不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
当x﹣3≠0时，（x﹣3）0有意义．
即x≠3．
故答案为：≠3．
8．（3分）若xa＝3，x2a﹣3b，则xb的值为 5 ．
【思路点拔】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：∵xa＝3，
∴x2a﹣3b＝x2a÷x3b＝（xa）2÷（xb）3＝32÷（xb）3，
∴（xb）3＝125，
∴xb＝5．
故答案为：5．
9．（3分）关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，则n的值为 4 ．
【思路点拔】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据展开式后一次项系数为﹣1得出3﹣n＝﹣1，即可求出n的值．
【解答】解：（x+1）（3x﹣n）
＝3x2﹣nx+3x﹣n
＝3x2+（3﹣n）x﹣n，
∵关于x的多项式（x+1）（3x﹣n）展开合并后一次项系数为﹣1，
∴3﹣n＝﹣1，
∴n＝4，
故答案为：4．
10．（3分）设a为正整数，且满足a2+2a+40是完全平方数，则a的值是 18或4 ．
【思路点拔】设设a2+2a+40＝k2，其中k为正整数，则（a+1）2+39＝k2，进而得（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39＝﹣1×39＝﹣3×13，再根据a，k均为正整数得a+1+k和a+1﹣k均为正整数，且a2+2a+40＞40，则k＞6，继而可得a+1+k＞7，则①或②，然后解此方程组即可求出a的值．
【解答】解：∵a2+2a+40是完全平方数，
∴设a2+2a+40＝k2，其中k为正整数，
∴（a+1）2+39＝k2，
∴（a+1）2﹣k2＝﹣39，
即（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39，
∵a，k均为正整数，
∴a+1+k和a+1﹣k均为整数，且a2+2a+40＞40，
∴k2＞40，
∴k＞6且为整数，
∴a+1+k＞7，
∵（a+1+k）（a+1﹣k）＝﹣39＝﹣1×39＝﹣3×13，
∴①或②，
由①解得：，由②解得：，
∴a的值是18或4．
11．（3分）如果（m、n都是常数），那么n的值是 ．
【思路点拔】根据（x+m）2＝x2+2mx+m2，，得出，即可得出，n＝m2，求出结果即可．
【解答】解：∵（x+m）2＝x2+2mx+m2，，
∴，n＝m2，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（3分）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 1001 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 8778 ．
【思路点拔】根据最小的正整数是1，最大的一位数是9解答；根据题意得到：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d，联立方程组，解答即可．
【解答】解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴或，
解得或，
∵a+c＝b+d．
∴c﹣d＝b﹣a，
∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，
∵c+d＝5k（k是正整数），
∴c+d＝5或10或15，
∴或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或，
∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；
或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；
或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；
或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．
故所有的“交替数”是8723或4114或8778或4169，
最大的“交替数”为8778，
故答案为：1001，8778．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（1）2x2 （x﹣1）+x3；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
【思路点拔】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式以及单项式乘多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）2x2 （x﹣1）+x3；
＝2x3﹣2x2+x3
＝3x3﹣2x2；
（2）（x2﹣2）（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）
＝x3+3x2﹣2x﹣6﹣x3﹣2x2+x
＝x2﹣x﹣6．
14．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16．
（1）求3a+b的值；
（2）求32a﹣c的值．
【思路点拔】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂除法法则，幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【解答】解：（1）∵3a＝4，3b＝10，
∴3a+b
＝3a 3b
＝4×10
＝40；
（2）∵3a＝4，3c＝16，
∴32a﹣c
＝（3a）2÷3c
＝42÷16
＝1．
15．（6分）（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
【思路点拔】（1）根据已知得a﹣a2＝﹣5，再将（4﹣a）（3+a）化简，再整体代入即可；
（2）根据已知得a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，然后整体代入即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣5＝0，
∴a﹣a2＝﹣5，
∴（4﹣a）（3+a）
＝12+4a﹣3a﹣a2
＝12+（a+a2）
＝12+（﹣5）
＝7；
（2）∵a2+a﹣5＝0，
∴a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，
∴（a2﹣5）（a+1）
＝﹣a（a+1）
＝﹣a2﹣a
＝﹣5．
16．（6分）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【思路点拔】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再连续用平方差公式可算出答案；
（2）逆用平方差公式，再求和即可．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
＝256﹣1
＝255；
（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+...+2+1
＝5050．
17．（6分）用简便方法计算：
（1）；
（2）222﹣2×44+4．
【思路点拔】（1）先把原式变形为，然后根据平方差公式计算即可；
（2）根据完全平方公式先把原式变形为（22﹣2）2，然后计算即可．
【解答】（1）解：
＝202
；
（2）222﹣2×44+4＝（22﹣2）2＝202＝400．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2；
（2）3a2﹣27；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）．
【思路点拔】（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣12xy+36y2＝（x﹣6y）2；
（2）3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）；
（3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）
＝2x[3（y2﹣2）﹣（2y2+3）]
＝2x（y2﹣9）
＝2x（y+3）（y﹣3）；
（4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）
＝4（a﹣b）（x2﹣2xy+y2）
＝4（a﹣b）（x﹣y）2．
19．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
【思路点拔】（1）先利用提公因式结合已知条件得出14（x﹣y）＝28，即可得解；
（2）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy即可求解；根据（x+y）2＝x2+2xy+y2及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28，
xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28，
（x﹣y）（xy﹣1）＝28，
∵xy＝15，
∴14（x﹣y）＝28，
∴x﹣y＝2；
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34；
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64，
∴x+y＝±8．
20．（8分）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t的值．
【思路点拔】（1）利用面积相等求解即可；
（2）利用（1）的结论，得到方程t2﹣16＝9，求出t的值，再由t2+2t﹣18≥0，求符合条件的t的值即可．
【解答】解：（1）∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c，
∴面积分别为a2，b2，c2，
边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个，
∴面积分别为ab，ac，bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（n﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，
∴2（n﹣2024）（2026﹣2n）+2（n﹣2024）（n+1）+2（2026﹣2n）（n+1）＝2﹣2t，
∵（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，
∴（n﹣2024+2026﹣2n+n+1）2＝（n﹣2024）2+（2026﹣2n）2+（n+1）2+2（n﹣2024）（2026﹣2n）+2（n﹣2024）（n+1）+2（2026﹣2n）（n+1）＝t2+2t﹣18+2﹣2t＝t2﹣16，
∵n﹣2024+2026﹣2n+n+1＝3，
∴t2﹣16＝9，
解得t＝±5，
∵t2+2t﹣18≥0，
∴t＝﹣5舍去，
∴t＝5．
21．（9分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值．
（2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2．
【思路点拔】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0则x+1是原式的因式，利用竖式除法可得另一个因式，据此分解即可．
【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴x＝3时，x2+kx+12＝0，
∴9+3k+12＝0，
∴3k＝﹣21，
∴k＝﹣7，
∴k的值为﹣7；
（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，
∴，
解得，
∴m、n的值分别为﹣7和0，
（3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0，
∴x+1是原式的因式，根据用竖式除法可得：2x3﹣x2﹣5x﹣2＝（2x2﹣3x﹣2）（x+1）＝（x﹣2）（2x+1）（x+1）．
22．（9分）在《整式乘除》中学习了完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？把图①看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图①看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
[类比探究]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图②的面积进行计算，你发现的式子是 c2＝a2+b2 .（用a，b，c表示，结果化为最简）
[联系运用]如图②，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和一个小正方形组成的，当c＝5，a﹣b时，求a+b的值．
[问题解决]如图③，将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为80，OA＝12．求该图形的面积．
【思路点拔】[类比探究]利用正方形ABCD的面积＝边长为（a﹣b）的正方形和四个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积之和解答即可；
[联系运用]利用关系式求得2ab＝23，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2解答即可；
[问题解决]由已知可得：OA＝OC＝OE＝OG＝12，AH＝BC＝DE＝FG，AB＝CD＝EF＝GH，设OH＝x，则AH＝BC＝DE＝FG＝12﹣x，利用周长为80列出关于x的方程，解方程求得x的值，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：[类比探究]∵正方形ABCD的边长是c，
∴正方形ABCD的面积为c2，
∵正方形ABCD的面积由边长为（a﹣b）的正方形和四个全等的直角边分别为a，b的直角三角形拼成，
∴正方形ABCD的面积为（a﹣b）2+4ab＝（a﹣b）2+2ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2．
故答案为：c2＝a2+b2；
[联系运用]由[类比探究]可得：a2+b2＝c2＝25，
∵a﹣b，
∴（a﹣b）2＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝2，
∴2ab＝23．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝25+23＝48．
∵a+b＞0，
∴a+b．
[问题解决]∵将四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，
∴OA＝OC＝OE＝OG＝12，AH＝BC＝DE＝FG，AB＝CD＝EF＝GH，
设OH＝x，则AH＝BC＝DE＝FG＝12﹣x，
∴AB．
∵图形的周长为80，
∴44（12﹣x）＝80，
解得：x＝5．
经检验：x＝5是原方程的解．
∴OH＝OB＝OD＝OF＝5，
∴该图形的面积＝45×12＝120．
23．（12分）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2，
∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【思路点拔】（1）利用材料1的解题思路进行计算，即可解答；
（2）①利用材料1和材料2的解题思路进行计算，即可解答；
②利用材料1和材料2的解题思路进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①把x﹣y看成一个整体，令x﹣y＝A，则
原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
再将A＝x﹣y重新代入，得：原式＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3
＝（m2+2m）（m2+2m﹣2）﹣3
＝（m2+2m）2﹣2（m2+2m）﹣3，
把m2+2m看成一个整体，令m2+2m＝A，则
原式＝A2﹣2A﹣3＝（A﹣3）（A+1），
再将A＝m2+2m重新代入，得：原式＝（m2+2m﹣3）（m2+2m+1）＝（m+3）（m﹣1）（m+1）2．