整式的乘法与因式分解 单元训练（三）（含解析）
文档属性
| 名称 | 整式的乘法与因式分解 单元训练（三）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 287.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-18 21:46:33 | ||
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文档简介
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整式的乘法与因式分解 单元训练（三）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各式运算结果为a9的是（ ）
A．a6+a3 B．a3 a3 C．（a3）3 D．a18÷a2
2．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
3．（3分）计算（）2021 （）2022的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
5．（3分）已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．（3分）将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6x B．﹣6x C． D．3x
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）已知：（a﹣1）a+2＝1，则满足条件的整数a所有值为 ．
8．（3分）已知x+3y﹣2＝0，那么3x 27y的值为 ．
9．（3分）代数式（1+2x+3x2+4x3）与（4+3x+2x2+x3）乘积是一个六次多项式ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，则a﹣b+c﹣d+e﹣f+g＝ ．
10．（3分）如果二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是完全平方式，那么k的值是 ．
11．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
12．（3分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ ；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2．
14．（6分）（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym），m，n为正整数．
15．（6分）计算：
（1）2a2（a2﹣3a﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）．
16．（6分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014的值．
17．（6分）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
18．（8分）因式分解：
（1）4a4b2﹣36a2；
（2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2；
（3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2．
19．（8分）分解因式：
（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．
（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．
20．（8分）阅读：关于x，y的二次六项式x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6如果可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对x2+5xy﹣24y2进行十字相乘分解得（x+8y）（x﹣3y），则原式一定可以分解成（x+8y+a）（x﹣3y+b）的形式，然后分别对x2﹣x﹣6与﹣24y2+25y﹣6进行十字相乘分解，从而确定a＝﹣3，b＝2，所以x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6＝（x+8y﹣3）（x﹣3y+2）．
根据阅读，要求如下：
（1）因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20；
（2）若关于x，y的多项式x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值．
21．（9分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式 ；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为 （2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝40，x+y＝8，求图中阴影部分的面积．
22．（9分）已知某工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含a代数式来表示）
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽AB＝x，试用含x的代数式表示S1和S2，并求S2﹣S1的值．
23．（12分）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 ；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： .（因式分解形式）
试卷26—整式的乘法与因式分解3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各式运算结果为a9的是（ ）
A．a6+a3 B．a3 a3 C．（a3）3 D．a18÷a2
【思路点拔】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，a6+a3≠a9，那么A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，a3 a3＝a6，那么B不符合题意．
C．根据幂的乘方，（a3）3＝a9，那么C符合题意．
D．根据同底数幂的除法，a18÷a2＝a16，那么D不符合题意．
故选：C．
2．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【思路点拔】根据多项式乘多项式的法则计算出x+m与x+3的积，再令一次项的系数为0可求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，且不含有x的一次项，
∴m+3＝0，
即m＝﹣3，
故选：A．
3．（3分）计算（）2021 （）2022的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（）×（）]2021×（）
＝12021×（）
，
故选：B．
4．（3分）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【思路点拔】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，
∴a2﹣1＝35，
∴a2＝36，
∴a＝±6，
故选：A．
5．（3分）已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【思路点拔】先根据单项式乘多项式、完全平方公式计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴x（x﹣2）+（x+2）2+5
＝x2﹣2x+x2+4x+4+5
＝2x2+2x+9
＝2（x2+x）+9
＝2×3+9
＝6+9
＝15，
故选：B．
6．（3分）将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6x B．﹣6x C． D．3x
【思路点拔】根据完全平方式的特征进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、9x2+6x+1＝（3x+1）2，故A不符合题意；
B、9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2，故B不符合题意；
C、x4+9x2+1＝（x+1）2，故C不符合题意；
D、9x2+3x+1不是完全平方式，故D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）已知：（a﹣1）a+2＝1，则满足条件的整数a所有值为 ﹣2或2或0 ．
【思路点拔】分别计算当a+2＝0，且a﹣1≠0时或当a﹣1＝1时或当a﹣1＝﹣1，且a+2为偶数时对应的a的值即可．
【解答】解：当a+2＝0，且a﹣1≠0时，解得a＝﹣2；
当a﹣1＝1时，解得a＝2；
当a﹣1＝﹣1，且a+2为偶数，解得a＝0．
综上，满足条件的整数a所有值为﹣2或2或0．
故答案为：﹣2或2或0．
8．（3分）已知x+3y﹣2＝0，那么3x 27y的值为 9 ．
【思路点拔】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：∵x+3y﹣2＝0，
∴x+3y＝2，
∴3x 27y＝3x （33）y＝3x 33y＝3x+3y＝32＝9．
故答案为：9．
9．（3分）代数式（1+2x+3x2+4x3）与（4+3x+2x2+x3）乘积是一个六次多项式ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，则a﹣b+c﹣d+e﹣f+g＝ ﹣4 ．
【思路点拔】根据多项式乘多项式的运算法则计算：（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3），得出的结果
【解答】解：（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3）
＝4+3x+2x2+x3+8x+6x2+4x3+2x4+12x2+9x3+6x4+3x5+16x3+12x4+8x5+4x6
＝4x6+11x5+20x4+30x3+20x2+11x+4，
∵（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3）＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，
∴a＝4，b＝11，c＝20，d＝30，e＝20，f＝11，g＝4，
∴a﹣b+c﹣d+e﹣f+g
＝4﹣11+20﹣30+20﹣11+4
＝（4+20+20+4）+（﹣11﹣30﹣11）
＝48﹣52
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
10．（3分）如果二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是完全平方式，那么k的值是 ．
【思路点拔】利用完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
【解答】解：由条件可知：2k+3≠0且k﹣1≠0，
∴且k≠1，
∵二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是一个完全平方式，
∴±（2k+3）＝2（k﹣1），
当（2k+3）＝2（k﹣1）时，方程无解；
当﹣（2k+3）＝2（k﹣1）时，解得：．
故答案为：．
11．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 6 ．
【思路点拔】设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，由题意可得a+b＝5，a2+b2＝13，再用代数式表示图形中阴影部分的面积，再代入计算即可．
【解答】解：如图，设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，
∵AB＝5，两个正方形面积之和为13，
∴即a+b＝5，a2+b2＝13，
S阴影部分＝S正方形CQEP﹣S△CFQ﹣S△CPB﹣S正方形BEFM
＝（a+b）2a（a+b）a（a+b）﹣b2
＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝ab
＝6．
故答案为：6．
12．（3分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ ﹣405 ；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 ．
【思路点拔】根据“异能数”定义以及F（n）公式计算F（38）的值即可；根据题意，可得F（s）＝81（a﹣b），F（t）＝81（x﹣y），根据F（s）能被7整除，可得a﹣b＝7，可知a＝9，b＝2，再根据F（s）+F（t）﹣81y＝162可得x﹣2y＝﹣5，即可确定x＝1，y＝3或x＝3，y＝4，然后分别计算K（s，t）的值，比较即可获得答案．
【解答】解：根据题意，F（38）405；
∵s＝10a+b，
∴F（S）81（a﹣b），
同理可得F（t）＝81（x﹣y），
∵F（s）能被7整除，
∴a﹣b＝7，
又∵1＜b≤a≤9，
∴a＝9，b＝2，
∴81（a﹣b）+81（x﹣y）﹣81y＝162，
整理可得：a﹣b+x﹣2y＝2，
∴x﹣2y＝﹣5，
∵1≤x、y≤5，
∴x＝3，y＝4或x＝1，y＝3，
∵，
∴当x＝1，y＝3时，K（s，t），
当x＝3，y＝4时，K（s，t），
∵，
∴K（s，t）的最大值为：．
故答案为：﹣405；．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2．
【思路点拔】先算积的乘方，再根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2
＝（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷4m2n2
＝16m6n4÷4m2n2﹣8m4n2÷4m2n2+4m2m2÷4m2n2
＝4m4n2﹣2m2+1．
14．（6分）（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym），m，n为正整数．
【思路点拔】根据平方差公式以及单项式乘单项式的法则进行计算即可求解．
【解答】解：（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym）
＝x2m﹣4y2m﹣x2m+2xmym
＝﹣4y2m+2xmym．
15．（6分）计算：
（1）2a2（a2﹣3a﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）．
【思路点拔】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）2a2 （a2﹣3a﹣2）
＝2a2 a2﹣2a2 3a﹣2a2 2
＝2a4﹣6a3﹣4a2；
（2）（x﹣2）（x﹣5）
＝x2﹣5x﹣2x+10
＝x2﹣7x+10．
16．（6分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014的值．
【思路点拔】（1）利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件从而可求解；
（2）结合（1）的结果，把所求的式子整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：（1）（x2+px）（x2﹣3x+q）
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqxx2+xq
＝x4+（﹣3+p）x3+（q﹣3p）x2+（pq+1）xq，
∵积中不含x项与x3项，
∴﹣3+p＝0，pq+1＝0，
解得：p＝3，q；
（2）由（1）得：pq＝﹣1，
（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014
＝4p2（pq）2+（3pq）10+（pq）2012 q2
＝4×32×（﹣1）2+（﹣1×3）10+（﹣1）2012×（）2
＝36+310
＝310+36．
17．（6分）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
【思路点拔】（1）先把原式变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先把原式变形，再根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1）
＝20242﹣（20242﹣12）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（2）原式＝22+2×2×2×98+982
＝22+2×2×98+982+2×2×98
＝（2+98）2+2×2×98
＝1002+4×（100﹣2）
＝10000+400﹣8
＝10392．
18．（8分）因式分解：
（1）4a4b2﹣36a2；
（2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2；
（3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2．
【思路点拔】（1）先提取公因式，然后用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提取公因式法进行因式分解；
（3）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解；
（4）先用完全平方公式，再提取公因式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝4a2（a2b2﹣9）
＝4a2（ab+3）（ab﹣3）；
（2）原式＝5（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
＝（x﹣y）（5x+5y﹣x+y）
＝（x﹣y）（4x+6y）
＝2（x﹣y）（2x+3y）；
（3）原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（4）原式＝（2x﹣y）2﹣10y（2x﹣y）+25y2
＝（2x﹣y﹣5y）2
＝（2x﹣6y）2
＝4（x﹣3y）2．
19．（8分）分解因式：
（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．
（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．
【思路点拔】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
（2）利用完全平方公式分解因式；
（3）利用提公因式法分解因式；
（4）利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：（1）4ab﹣16ab3
＝4ab（1﹣4b2）
＝4ab（1+2b）（1﹣2b）；
（2）2x2﹣2y（2x﹣y）
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）
＝a（a﹣3）﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣2）；
（4）4x2﹣5x﹣6
＝（4x+3）（x﹣2）．
20．（8分）阅读：关于x，y的二次六项式x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6如果可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对x2+5xy﹣24y2进行十字相乘分解得（x+8y）（x﹣3y），则原式一定可以分解成（x+8y+a）（x﹣3y+b）的形式，然后分别对x2﹣x﹣6与﹣24y2+25y﹣6进行十字相乘分解，从而确定a＝﹣3，b＝2，所以x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6＝（x+8y﹣3）（x﹣3y+2）．
根据阅读，要求如下：
（1）因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20；
（2）若关于x，y的多项式x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值．
【思路点拔】（1）根据示例，对x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20中的x2+xy﹣2y2十字相乘分解因式，再对x2+x﹣20和﹣2y2+14y﹣20进行十字相乘分解，即可得到结果；
（2）由x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），可设x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝（x+my+1）（x+ny﹣3），从而得到方程组，解方程组，得到结果．
【解答】解：（1）依题意，因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20，
先对x2+xy﹣2y2十字相乘分解得（x﹣y）（x+2y），
∴原式可分解为（x﹣y+a）（x+2y+b）的形式，
分别对x2+x﹣20和﹣2y2+14y﹣20进行十字相乘分解，
∴a＝5，b＝﹣4，
∴x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20＝（x﹣y+5）（x+2y﹣4）；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），
∴可设x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝（x+my+1）（x+ny﹣3），
即：x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝x2+（m+n）xy+mny2﹣2x+（﹣3m+n）y﹣3，
∴，
解得：，
∴k＝mn＝﹣8．
21．（9分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为 （2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝40，x+y＝8，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图2的面积进行求解；
（2）通过计算（2a+b）（3a+2b）的结果为6a2+7ab+2b2可求解此题；
（3）根据x2+y2＝40，x+y＝8，运用完全平方公式可求得xy＝12，即可求得此题结果．
【解答】解：（1）∵图2的面积为a2+2ab+b2或（a+b）2，
∴由图2可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A，B，C三种纸片各6张、2张、7张；
（3）由题意得x2+y2＝40，x+y＝8，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴40+2xy＝82，
解得xy＝12，
∴图中阴影部分的面积为：2＝xy＝12．
22．（9分）已知某工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含a代数式来表示）
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽AB＝x，试用含x的代数式表示S1和S2，并求S2﹣S1的值．
【思路点拔】（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
【解答】解：（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝（a+3）2﹣32＝（a+3﹣3）（a+3+3）＝a（a+6）＝a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3＝a，
∴长为a+6，
则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB＝x，则BC＝x+3，
∴图1中阴影部分的面积为S1＝x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），
图2中阴影部分的面积为S2＝x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），
∴S2﹣S1的值＝3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）＝3×3＝9．
23．（12分）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） .（因式分解形式）
【思路点拔】（1）根据图1大长方形面积的两种不同表示方法即可得到答案；
（2）根据题意得到，进而求出a+b＝5，再根据题意求解即可；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，由此根据两种表示方法体积相同即可得到答案．
【解答】解：（1）∵图1是一个长和宽分别为（a+2b），（2a+b）的大长方形，
∴图1中的大长方形面积为（a+2b），（2a+b）；
又∵图1中的大长方形面积等于2个边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积再加上5个长和宽分别为a、b的长方形面积，
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）由题意得，，
∴a2+b2＝17，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
∴a+b＝5（负值舍去），
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和＝2（a+2b）+2（2a+b）
＝2a+4b+4a+2b
＝6（a+b）
＝30；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），
又由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，即x3﹣x 2 2＝x3﹣x，
∴x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．
整式的乘法与因式分解 单元训练（三）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各式运算结果为a9的是（ ）
A．a6+a3 B．a3 a3 C．（a3）3 D．a18÷a2
2．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
3．（3分）计算（）2021 （）2022的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
5．（3分）已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．（3分）将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6x B．﹣6x C． D．3x
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）已知：（a﹣1）a+2＝1，则满足条件的整数a所有值为 ．
8．（3分）已知x+3y﹣2＝0，那么3x 27y的值为 ．
9．（3分）代数式（1+2x+3x2+4x3）与（4+3x+2x2+x3）乘积是一个六次多项式ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，则a﹣b+c﹣d+e﹣f+g＝ ．
10．（3分）如果二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是完全平方式，那么k的值是 ．
11．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
12．（3分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ ；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2．
14．（6分）（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym），m，n为正整数．
15．（6分）计算：
（1）2a2（a2﹣3a﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）．
16．（6分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014的值．
17．（6分）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
18．（8分）因式分解：
（1）4a4b2﹣36a2；
（2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2；
（3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2．
19．（8分）分解因式：
（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．
（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．
20．（8分）阅读：关于x，y的二次六项式x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6如果可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对x2+5xy﹣24y2进行十字相乘分解得（x+8y）（x﹣3y），则原式一定可以分解成（x+8y+a）（x﹣3y+b）的形式，然后分别对x2﹣x﹣6与﹣24y2+25y﹣6进行十字相乘分解，从而确定a＝﹣3，b＝2，所以x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6＝（x+8y﹣3）（x﹣3y+2）．
根据阅读，要求如下：
（1）因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20；
（2）若关于x，y的多项式x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值．
21．（9分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式 ；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为 （2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝40，x+y＝8，求图中阴影部分的面积．
22．（9分）已知某工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含a代数式来表示）
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽AB＝x，试用含x的代数式表示S1和S2，并求S2﹣S1的值．
23．（12分）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 ；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： .（因式分解形式）
试卷26—整式的乘法与因式分解3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各式运算结果为a9的是（ ）
A．a6+a3 B．a3 a3 C．（a3）3 D．a18÷a2
【思路点拔】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，a6+a3≠a9，那么A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，a3 a3＝a6，那么B不符合题意．
C．根据幂的乘方，（a3）3＝a9，那么C符合题意．
D．根据同底数幂的除法，a18÷a2＝a16，那么D不符合题意．
故选：C．
2．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【思路点拔】根据多项式乘多项式的法则计算出x+m与x+3的积，再令一次项的系数为0可求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，且不含有x的一次项，
∴m+3＝0，
即m＝﹣3，
故选：A．
3．（3分）计算（）2021 （）2022的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（）×（）]2021×（）
＝12021×（）
，
故选：B．
4．（3分）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【思路点拔】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，
∴a2﹣1＝35，
∴a2＝36，
∴a＝±6，
故选：A．
5．（3分）已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【思路点拔】先根据单项式乘多项式、完全平方公式计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴x（x﹣2）+（x+2）2+5
＝x2﹣2x+x2+4x+4+5
＝2x2+2x+9
＝2（x2+x）+9
＝2×3+9
＝6+9
＝15，
故选：B．
6．（3分）将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6x B．﹣6x C． D．3x
【思路点拔】根据完全平方式的特征进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、9x2+6x+1＝（3x+1）2，故A不符合题意；
B、9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2，故B不符合题意；
C、x4+9x2+1＝（x+1）2，故C不符合题意；
D、9x2+3x+1不是完全平方式，故D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）已知：（a﹣1）a+2＝1，则满足条件的整数a所有值为 ﹣2或2或0 ．
【思路点拔】分别计算当a+2＝0，且a﹣1≠0时或当a﹣1＝1时或当a﹣1＝﹣1，且a+2为偶数时对应的a的值即可．
【解答】解：当a+2＝0，且a﹣1≠0时，解得a＝﹣2；
当a﹣1＝1时，解得a＝2；
当a﹣1＝﹣1，且a+2为偶数，解得a＝0．
综上，满足条件的整数a所有值为﹣2或2或0．
故答案为：﹣2或2或0．
8．（3分）已知x+3y﹣2＝0，那么3x 27y的值为 9 ．
【思路点拔】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：∵x+3y﹣2＝0，
∴x+3y＝2，
∴3x 27y＝3x （33）y＝3x 33y＝3x+3y＝32＝9．
故答案为：9．
9．（3分）代数式（1+2x+3x2+4x3）与（4+3x+2x2+x3）乘积是一个六次多项式ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，则a﹣b+c﹣d+e﹣f+g＝ ﹣4 ．
【思路点拔】根据多项式乘多项式的运算法则计算：（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3），得出的结果
【解答】解：（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3）
＝4+3x+2x2+x3+8x+6x2+4x3+2x4+12x2+9x3+6x4+3x5+16x3+12x4+8x5+4x6
＝4x6+11x5+20x4+30x3+20x2+11x+4，
∵（1+2x+3x2+4x3）（4+3x+2x2+x3）＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g，
∴a＝4，b＝11，c＝20，d＝30，e＝20，f＝11，g＝4，
∴a﹣b+c﹣d+e﹣f+g
＝4﹣11+20﹣30+20﹣11+4
＝（4+20+20+4）+（﹣11﹣30﹣11）
＝48﹣52
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
10．（3分）如果二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是完全平方式，那么k的值是 ．
【思路点拔】利用完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
【解答】解：由条件可知：2k+3≠0且k﹣1≠0，
∴且k≠1，
∵二次三项式x2+（2k+3）x+（k﹣1）2是一个完全平方式，
∴±（2k+3）＝2（k﹣1），
当（2k+3）＝2（k﹣1）时，方程无解；
当﹣（2k+3）＝2（k﹣1）时，解得：．
故答案为：．
11．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 6 ．
【思路点拔】设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，由题意可得a+b＝5，a2+b2＝13，再用代数式表示图形中阴影部分的面积，再代入计算即可．
【解答】解：如图，设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，
∵AB＝5，两个正方形面积之和为13，
∴即a+b＝5，a2+b2＝13，
S阴影部分＝S正方形CQEP﹣S△CFQ﹣S△CPB﹣S正方形BEFM
＝（a+b）2a（a+b）a（a+b）﹣b2
＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝ab
＝6．
故答案为：6．
12．（3分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ ﹣405 ；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 ．
【思路点拔】根据“异能数”定义以及F（n）公式计算F（38）的值即可；根据题意，可得F（s）＝81（a﹣b），F（t）＝81（x﹣y），根据F（s）能被7整除，可得a﹣b＝7，可知a＝9，b＝2，再根据F（s）+F（t）﹣81y＝162可得x﹣2y＝﹣5，即可确定x＝1，y＝3或x＝3，y＝4，然后分别计算K（s，t）的值，比较即可获得答案．
【解答】解：根据题意，F（38）405；
∵s＝10a+b，
∴F（S）81（a﹣b），
同理可得F（t）＝81（x﹣y），
∵F（s）能被7整除，
∴a﹣b＝7，
又∵1＜b≤a≤9，
∴a＝9，b＝2，
∴81（a﹣b）+81（x﹣y）﹣81y＝162，
整理可得：a﹣b+x﹣2y＝2，
∴x﹣2y＝﹣5，
∵1≤x、y≤5，
∴x＝3，y＝4或x＝1，y＝3，
∵，
∴当x＝1，y＝3时，K（s，t），
当x＝3，y＝4时，K（s，t），
∵，
∴K（s，t）的最大值为：．
故答案为：﹣405；．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）计算：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2．
【思路点拔】先算积的乘方，再根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷（﹣2mn）2
＝（16m6n4﹣8m4n2+4m2n2）÷4m2n2
＝16m6n4÷4m2n2﹣8m4n2÷4m2n2+4m2m2÷4m2n2
＝4m4n2﹣2m2+1．
14．（6分）（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym），m，n为正整数．
【思路点拔】根据平方差公式以及单项式乘单项式的法则进行计算即可求解．
【解答】解：（xm+2ym）（xm﹣2ym）﹣xm（xm﹣2ym）
＝x2m﹣4y2m﹣x2m+2xmym
＝﹣4y2m+2xmym．
15．（6分）计算：
（1）2a2（a2﹣3a﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）．
【思路点拔】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）2a2 （a2﹣3a﹣2）
＝2a2 a2﹣2a2 3a﹣2a2 2
＝2a4﹣6a3﹣4a2；
（2）（x﹣2）（x﹣5）
＝x2﹣5x﹣2x+10
＝x2﹣7x+10．
16．（6分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014的值．
【思路点拔】（1）利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件从而可求解；
（2）结合（1）的结果，把所求的式子整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：（1）（x2+px）（x2﹣3x+q）
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqxx2+xq
＝x4+（﹣3+p）x3+（q﹣3p）x2+（pq+1）xq，
∵积中不含x项与x3项，
∴﹣3+p＝0，pq+1＝0，
解得：p＝3，q；
（2）由（1）得：pq＝﹣1，
（﹣2p2q）2+（3pq）10+p2012q2014
＝4p2（pq）2+（3pq）10+（pq）2012 q2
＝4×32×（﹣1）2+（﹣1×3）10+（﹣1）2012×（）2
＝36+310
＝310+36．
17．（6分）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
【思路点拔】（1）先把原式变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先把原式变形，再根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1）
＝20242﹣（20242﹣12）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（2）原式＝22+2×2×2×98+982
＝22+2×2×98+982+2×2×98
＝（2+98）2+2×2×98
＝1002+4×（100﹣2）
＝10000+400﹣8
＝10392．
18．（8分）因式分解：
（1）4a4b2﹣36a2；
（2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2；
（3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2．
【思路点拔】（1）先提取公因式，然后用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提取公因式法进行因式分解；
（3）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解；
（4）先用完全平方公式，再提取公因式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝4a2（a2b2﹣9）
＝4a2（ab+3）（ab﹣3）；
（2）原式＝5（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
＝（x﹣y）（5x+5y﹣x+y）
＝（x﹣y）（4x+6y）
＝2（x﹣y）（2x+3y）；
（3）原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（4）原式＝（2x﹣y）2﹣10y（2x﹣y）+25y2
＝（2x﹣y﹣5y）2
＝（2x﹣6y）2
＝4（x﹣3y）2．
19．（8分）分解因式：
（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．
（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．
【思路点拔】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
（2）利用完全平方公式分解因式；
（3）利用提公因式法分解因式；
（4）利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：（1）4ab﹣16ab3
＝4ab（1﹣4b2）
＝4ab（1+2b）（1﹣2b）；
（2）2x2﹣2y（2x﹣y）
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2；
（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）
＝a（a﹣3）﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣2）；
（4）4x2﹣5x﹣6
＝（4x+3）（x﹣2）．
20．（8分）阅读：关于x，y的二次六项式x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6如果可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对x2+5xy﹣24y2进行十字相乘分解得（x+8y）（x﹣3y），则原式一定可以分解成（x+8y+a）（x﹣3y+b）的形式，然后分别对x2﹣x﹣6与﹣24y2+25y﹣6进行十字相乘分解，从而确定a＝﹣3，b＝2，所以x2+5xy﹣24y2﹣x+25y﹣6＝（x+8y﹣3）（x﹣3y+2）．
根据阅读，要求如下：
（1）因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20；
（2）若关于x，y的多项式x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值．
【思路点拔】（1）根据示例，对x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20中的x2+xy﹣2y2十字相乘分解因式，再对x2+x﹣20和﹣2y2+14y﹣20进行十字相乘分解，即可得到结果；
（2）由x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），可设x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝（x+my+1）（x+ny﹣3），从而得到方程组，解方程组，得到结果．
【解答】解：（1）依题意，因式分解：x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20，
先对x2+xy﹣2y2十字相乘分解得（x﹣y）（x+2y），
∴原式可分解为（x﹣y+a）（x+2y+b）的形式，
分别对x2+x﹣20和﹣2y2+14y﹣20进行十字相乘分解，
∴a＝5，b＝﹣4，
∴x2+xy﹣2y2+x+14y﹣20＝（x﹣y+5）（x+2y﹣4）；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），
∴可设x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝（x+my+1）（x+ny﹣3），
即：x2+2xy+ky2﹣2x+10y﹣3＝x2+（m+n）xy+mny2﹣2x+（﹣3m+n）y﹣3，
∴，
解得：，
∴k＝mn＝﹣8．
21．（9分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为 （2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝40，x+y＝8，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图2的面积进行求解；
（2）通过计算（2a+b）（3a+2b）的结果为6a2+7ab+2b2可求解此题；
（3）根据x2+y2＝40，x+y＝8，运用完全平方公式可求得xy＝12，即可求得此题结果．
【解答】解：（1）∵图2的面积为a2+2ab+b2或（a+b）2，
∴由图2可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A，B，C三种纸片各6张、2张、7张；
（3）由题意得x2+y2＝40，x+y＝8，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴40+2xy＝82，
解得xy＝12，
∴图中阴影部分的面积为：2＝xy＝12．
22．（9分）已知某工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）．
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含a代数式来表示）
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽AB＝x，试用含x的代数式表示S1和S2，并求S2﹣S1的值．
【思路点拔】（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
【解答】解：（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝（a+3）2﹣32＝（a+3﹣3）（a+3+3）＝a（a+6）＝a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3＝a，
∴长为a+6，
则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB＝x，则BC＝x+3，
∴图1中阴影部分的面积为S1＝x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），
图2中阴影部分的面积为S2＝x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），
∴S2﹣S1的值＝3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）＝3×3＝9．
23．（12分）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） .（因式分解形式）
【思路点拔】（1）根据图1大长方形面积的两种不同表示方法即可得到答案；
（2）根据题意得到，进而求出a+b＝5，再根据题意求解即可；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，由此根据两种表示方法体积相同即可得到答案．
【解答】解：（1）∵图1是一个长和宽分别为（a+2b），（2a+b）的大长方形，
∴图1中的大长方形面积为（a+2b），（2a+b）；
又∵图1中的大长方形面积等于2个边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积再加上5个长和宽分别为a、b的长方形面积，
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）由题意得，，
∴a2+b2＝17，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
∴a+b＝5（负值舍去），
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和＝2（a+2b）+2（2a+b）
＝2a+4b+4a+2b
＝6（a+b）
＝30；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），
又由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，即x3﹣x 2 2＝x3﹣x，
∴x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．