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专题07 一元二次方程及其应用
熟悉一元二次方程的定义，能够准确的判断是否为一元二次方程，并用一元二次方程的定义求方程中的参数。
牢记一元二次方程的一般式，清楚一元二次方程各项系数的定义以及其在方程中的作用。
熟练掌握一元二次方程的四种解法，分别为直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，根据方程的特点选择适合的方法进行求解。
深入理解根的判别式，能利用判别式判断方程根的个数以及根的性质（实数根、相等实数根、无实数根）
掌握一元二次方程根与系数的关系，并运用这些关系解决相关问题，比如已知方程的根求方程中的参数。
熟悉一元二次方程在实际应用中的常见模型，例如增长率问题、传播问题、营销问题、行程问题以及几何问题等等。
通过 后，只含有 未知数（一元），并且未知数的 （二次）的 方程，叫做一元二次方程
一元二次方程的一般式为（其中、、为常数，），其中为 ，为 ，为 ，为 ，为 。
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 。
：一般的对于方程形式
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，.
（2）当时，方程有两个相等的实数根.
（3）当时，方程无实数根.
：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成形式
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，.
（2）当时，方程有两个相等的实数根.
（3）当时，方程无实数根.
：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，方程的根：.
：如果一元二次方程存在两个实根、，那么它可以因式分解为.
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即.
当 时，方程有 的实数根；
当 时，方程有 的实数根；
当 时，方程 实数根；
若一元二次方程有两个实数根、，
则，
注意：使用根与系数的关系公式的前提是 .
一元二次方程增长率问题：（其中表示增长前的基数，表示增长后的基数，表示增长率）
一元二次方程利润问题： = ×销售量=（ - ）×销售量.
一元二次方程中比赛问题：比赛场数=（其中表示参加比赛的队伍个数）
一元二次方程在实际应用中的解题步骤主要包括以下几个步骤 ：
（1） ：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。
（2） ：根据题目的需求，选择合适的未知数。有时可以直接设未知数，有时需要通过间接设元来简化问题 。
（3） ：根据题目中的等量关系，列出包含未知数的方程。这一步是解题的关键，需要找到题目中的等量关系，并将其转化为数学表达式。
（4） ：求解列出的方程，得到未知数的值。解方程时需要注意解的合理性，必要时进行检验。
（5） ：对求得的解进行检验，确保其满足题目的实际条件。一元二次方程的解可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等。
（6） ：将求解过程和结果清晰地写在答案中，注意答案的表述要准确无误.
【经典例题1】（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（2024·河南安阳·一模）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
【变式训练1-4】（2023·江苏徐州·模拟预测）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．（a，b，c为常数） D．
【经典例题2】（2024·天津·模拟预测）关于的方程是一元二次方程，则的值为 .
【变式训练2-1】（2024·新疆和田·模拟预测）方程是关于的一元二次方程，则 ．
【变式训练2-2】（2024·上海浦东新·模拟预测）若方程是关于x的一元二次方程，则m倒数的值为 ．
【变式训练2-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【变式训练2-4】（2024·湖南郴州·模拟预测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【经典例题3】（2024·湖南常德·一模）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．3 D．6
【变式训练3-1】（2023·广东东莞·模拟预测）将方程化成的形式，则的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
【变式训练3-2】（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
【变式训练3-3】（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ．
【变式训练3-4】（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
【经典例题4】（2024·江苏·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则 ．
【变式训练4-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ．
【变式训练4-2】（2024·四川眉山·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ．
【变式训练4-3】（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式训练4-4】（2024·山东青岛·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【经典例题5】（2024·贵州贵阳·模拟预测）根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（ ）
x 1 1.1 1.2 1.3
x +bx+c -2 -0.59 0.84 2.29
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（ ）
…… ……
…… ……
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（2024·浙江温州·模拟预测）下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 －0.08 －027 －0.44 …
那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
【变式训练5-3】（2024·河北保定·模拟预测）下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 8 3 0 0 …
A． B． C．， D．，
【变式训练5-4】（2024·山东烟台·模拟预测）观察下表，一元二次方程 的解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题6】（2024·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2028
【变式训练6-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【变式训练6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ．
【变式训练6-3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ．
【变式训练6-4】（2024·江苏南京·一模）已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ．
【经典例题7】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ．
【变式训练7-1】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为
【变式训练7-2】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ．
【变式训练7-3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
【变式训练7-4】（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【经典例题8】（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式训练8-1】（2024·辽宁抚顺·二模）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】（2023·天津西青·二模）方程的两个根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练8-3】（2024·江西南昌模拟预测）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9】（2024·广西崇左·模拟预测）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】（2024·江苏镇江·模拟预测）若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练9-2】（2024·福建龙岩·模拟预测）关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练9-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
【经典例题10】（2024·海南海口·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练10-1】（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-2】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练10-3】（2024·浙江温州·模拟预测）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练10-4】（2024·新疆伊犁·一模）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-5】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题11】（2024·湖南常德·一模）若将一元二次方程化成的形式，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练11-1】（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式训练11-2】（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【变式训练11-3】（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【变式训练11-4】（2024·四川眉山·模拟预测）将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【经典例题12】（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
【变式训练12-1】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【变式训练12-2】（2023·浙江嘉兴·一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当，时，，，．
②当，时，，，．
③当，时，，，．
④当，时，，，________2xy．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式的最小值．
【变式训练12-3】（2024·北京·模拟预测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：；
不论取何值，总是非负数，即，
；即当时，有最小值，
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的最小值；
(2)若，，比较、的大小（写出比较过程）；
(3)若三角形中某两边、满足，求．
【变式训练12-4】已知，其中．
(1)求证：；
(2)比较M和Q的大小．
【经典例题13】（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ．
【变式训练13-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ．
【变式训练13-2】（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ．
【变式训练13-3】（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式训练13-4】（2023·江苏扬州·一模）已知，则的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
【经典例题14】（2024·湖南郴州·模拟预测）方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【变式训练14-1】（2024·江苏扬州·三模）一元二次方程两根是等腰三角形两边长，则等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．17或16 C．18或16 D．18
【变式训练14-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）在数、、和中，是方程的根的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练14-3】（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练14-4】（2024·山东·模拟预测）已知实数、均不为，，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练14-5】（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1 B．11和13 C．11或8 D．13
【经典例题15】（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【变式训练15-1】（2024·山东滨州·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式训练15-2】（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练15-3】（2024·全国·模拟预测）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【变式训练15-4】（2023·河南信阳·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【经典例题16】（2024·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．根的情况不确定
【变式训练16-1】（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定
【变式训练16-2】（2024·河南新乡·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【变式训练16-3】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（ ）
A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式训练16-4】（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【经典例题17】（2024·甘肃定西·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D． 且
【变式训练17-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练17-2】（2024·广东深圳·模拟预测）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式训练17-3】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【变式训练17-4】（2023·山东济宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【经典例题18】（2024·辽宁·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练18-1】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练18-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练18-3】（2024·贵州安顺·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以取（ ）
A． B． C． D．0
【变式训练18-4】（2023·河南新乡·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．
【经典例题19】（2024·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
【变式训练19-1】（2024·北京西城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围．
【变式训练19-2】（2023·北京东城·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)利用判别式判断方程实数根的情况；
(2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围．
【变式训练19-3】（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【变式训练19-4】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
【变式训练19-5】（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
【经典例题20】（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．18 B． C． D．12
【变式训练20-1】（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．1 B．11 C． D．
【变式训练20-2】（2024·贵州铜仁·三模）如果方程的两个实数根分别是，那么 ．
【变式训练20-3】（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练20-4】（2024·湖南娄底·模拟预测）若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ．
【变式训练20-5】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）设，为一元二次方程的两个实数根，则 ．
【经典例题21】（2023·广东阳江·一模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【变式训练21-1】（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【变式训练21-2】（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练21-3】（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练21-4】（2024·山东日照·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ；
【经典例题22】（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【变式训练22-1】（2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练22-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【变式训练22-3】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围，
(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
【经典例题23】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练23-1】（2024·贵州毕节·三模）已知实数a，b，c满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为 ．
【变式训练23-2】（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【经典例题24】（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练24-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练24-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练24-3】（2024·四川内江·二模）已知不相等实数，满足，，则 ．
【变式训练24-4】（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【变式训练24-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ．
【经典例题25】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ．
【变式训练25-1】（2024·江西抚州·模拟预测）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
【变式训练25-2】（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．5
【变式训练25-3】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【变式训练25-4】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
【经典例题26】（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围．
【变式训练26-1】（2024·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值．
【变式训练26-2】（2023·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
【变式训练26-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【变式训练26-4】（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【经典例题27】（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值．
【变式训练27-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求a的值；
(2)已知等腰 ABC的一边长为7，若m，n恰好是 ABC另外两边的边长，求 ABC的周长．
【变式训练27-2】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)已知 ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若 ABC的周长为偶数，求m的值．
【变式训练27-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的方程
(1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【变式训练27-4】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形是菱形；
(3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积．
【经典例题28】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
【变式训练28-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”
(1)当这个常数为时，下列函数存在“晨点”的请划“”，不存在的请划“”．
①（ ）
②（ ）
③（ ）
(2)若二次函数有且只有一个“晨点”，且点关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；
(3)已知，，其中，“晨点”在轴上，直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，若四边形能组成平行四边形，且有四边形面积不超过，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由．
【变式训练28-2】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
【变式训练28-3】（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【变式训练28-4】（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
【经典例题29】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
【变式训练29-1】（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【变式训练29-2】（2024·上海嘉定·二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
【变式训练29-3】（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【变式训练29-4】（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题30】（2024·四川成都·模拟预测）根据福建省统计局数据，福建省年的出生人数为万人，年的出生人数为万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练30-1】（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
【变式训练30-2】（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．
(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．
(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？
【变式训练30-3】（2024·山西长治·模拟预测）2023年11月28日，2023龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产300万个，第三季度生产432万个．试回答下列问题：
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【经典例题31】（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练31-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式训练31-2】（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
【变式训练31-3】（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【变式训练31-4】（2023·陕西西安·三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
【经典例题32】（2024·山西晋城·三模）如图所示，吉林某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练32-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
【变式训练32-2】（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为，宽为，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为，宽为，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为，请计算裁出的每个小矩形的周长．
【变式训练32-3】（2023·辽宁大连·一模）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
【经典例题33】（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练33-1】（2023·广东肇庆·一模）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【变式训练33-2】（2022·重庆沙坪坝·三模）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练33-3】（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【经典例题34】（2024·上海·模拟预测）已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元/件） 12 13 14 15 16
（件） 1200 1100 1000 900 800
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)已知线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.如果线上和线下月利润总和达到6900元，求此时的线下售价.
【变式训练34-1】（2024·四川南充·模拟预测）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【变式训练34-2】（2024·重庆·模拟预测）2023年，马面裙作为汉服品类下热度最高的单品，在2024年春节里成为了火爆的“新年战袍”．在2024年1月份，某店销量最高的A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙的总销量为900件，销售总额为159000元．
(1)求1月份该店两款马面裙的销量分别为多少？
(2)该店决定从2月1日起推出“喜迎佳节”优惠活动．2月份，每件A款马面裙的售价与1月份相同，销量在1月份基础上增加了件；每件B款马面裙的售价在1月份的基础上降价元，销量比1月份增加了件．据统计，该店在2月份的销售总额比1月份的销售总额增加190a元，求a的值
【变式训练34-3】（2024·辽宁·模拟预测）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？
【经典例题35】（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？
(2)点移动多少秒时，的面积为？
(3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？
【变式训练35-1】（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？
【变式训练35-2】（2024·海南省·模拟预测）如图， ABC中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．
(1)经过后（），的面积等于，求t的值；
(2)经过后，（），的长度为，求t的值；
(3)的面积能否等于？
【变式训练35-3】（2024·江西九江·模拟预测）如图，在 ABC中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
【经典例题36】（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？
【变式训练36-1】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式训练36-2】（2024·重庆渝中·模拟预测）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【变式训练36-3】（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【经典例题37】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【变式训练37-1】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【变式训练37-2】（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【变式训练37-3】（2023·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
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专题07 一元二次方程及其应用
熟悉一元二次方程的定义，能够准确的判断是否为一元二次方程，并用一元二次方程的定义求方程中的参数。
牢记一元二次方程的一般式，清楚一元二次方程各项系数的定义以及其在方程中的作用。
熟练掌握一元二次方程的四种解法，分别为直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，根据方程的特点选择适合的方法进行求解。
深入理解根的判别式，能利用判别式判断方程根的个数以及根的性质（实数根、相等实数根、无实数根）
掌握一元二次方程根与系数的关系，并运用这些关系解决相关问题，比如已知方程的根求方程中的参数。
熟悉一元二次方程在实际应用中的常见模型，例如增长率问题、传播问题、营销问题、行程问题以及几何问题等等。
通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程
一元二次方程的一般式为（其中、、为常数，），其中为二次项，为二次项系数，为一次项，为一次项系数，为常数项。
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
直接开方法：一般的对于方程形式
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，.
（2）当时，方程有两个相等的实数根.
（3）当时，方程无实数根.
配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成形式
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，.
（2）当时，方程有两个相等的实数根.
（3）当时，方程无实数根.
公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，方程的根：.
因式分解法：如果一元二次方程存在两个实根、，那么它可以因式分解为.
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即.
当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 =0时，方程有两个相等的实数根；
当 ＜0时，方程没有实数根；
若一元二次方程有两个实数根、，
则，
注意：使用根与系数的关系公式的前提是 ＞0.
一元二次方程增长率问题：（其中表示增长前的基数，表示增长后的基数，表示增长率）
一元二次方程利润问题：总利润=一件的利润×销售量=（一件的售价-一件的成本）×销售量.
一元二次方程中比赛问题：比赛场数=（其中表示参加比赛的队伍个数）
一元二次方程在实际应用中的解题步骤主要包括以下几个步骤 ：
（1） 审题 ：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。
（2） 设未知数 ：根据题目的需求，选择合适的未知数。有时可以直接设未知数，有时需要通过间接设元来简化问题 。
（3） 列方程 ：根据题目中的等量关系，列出包含未知数的方程。这一步是解题的关键，需要找到题目中的等量关系，并将其转化为数学表达式。
（4） 解方程 ：求解列出的方程，得到未知数的值。解方程时需要注意解的合理性，必要时进行检验。 （5） 检验 ：对求得的解进行检验，确保其满足题目的实际条件。一元二次方程的解可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等。
（6） 写出答案 ：将求解过程和结果清晰地写在答案中，注意答案的表述要准确无误.
【经典例题1】（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-1】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此解答即可．
【详解】解：A、该方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程中未知数的个数是2，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：B．
【变式训练1-2】（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
根据一元二次方程的定义进行判断即可
【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确；
故选：D．
【变式训练1-3】（2024·河南安阳·一模）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
【答案】A
【分析】只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、化简后不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
D、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
【变式训练1-4】（2023·江苏徐州·模拟预测）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．（a，b，c为常数） D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. （a，b，c为常数），当时不是一元二次方程，不符合题意；
D. ，不是整式方程，不符合题意；
故选B．
【经典例题2】（2024·天津·模拟预测）关于的方程是一元二次方程，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得；
故答案为：．
【变式训练2-1】（2024·新疆和田·模拟预测）方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：．
【变式训练2-2】（2024·上海浦东新·模拟预测）若方程是关于x的一元二次方程，则m倒数的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0），以及倒数的定义，根据一元二次方程的定义，建立等式求出m的值，再根据倒数的定义求解，即可解题．
【详解】解：方程是关于x的一元二次方程，
，，
整理得，或，
解得，
m倒数的值为1，
故答案为：1．
【变式训练2-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，且．
解得．
故答案为：．
【变式训练2-4】（2024·湖南郴州·模拟预测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且
解得；
故答案为：．
【经典例题3】（2024·湖南常德·一模）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴其一次项系数为；
故选B
【变式训练3-1】（2023·广东东莞·模拟预测）将方程化成的形式，则的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
【答案】C
【分析】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
【变式训练3-2】（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解：，
去括号，得，
合并，得，
所以常数项是．
故答案为：．
【变式训练3-3】（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为．
故答案为：．
【变式训练3-4】（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等，
，
解得：，
故答案为：1．
【经典例题4】（2024·江苏·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
【变式训练4-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式训练4-2】（2024·四川眉山·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，再结合，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为，
∴，，
解得：．
故答案为：
【变式训练4-3】（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：C．
【变式训练4-4】（2024·山东青岛·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值．
【详解】解：根据题意得，
解得；
故选：B．
【经典例题5】（2024·贵州贵阳·模拟预测）根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（ ）
x 1 1.1 1.2 1.3
x +bx+c -2 -0.59 0.84 2.29
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用时，，而时，可判断当时，其中有一个x的值满足，即可得答案．
【详解】解：∵时， ，
时，，
∴当时，其中有一个x的值满足，
即一元二次方程其中一个解的取值范围是．
故选：B．
【变式训练5-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（ ）
…… ……
…… ……
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的的解的概念是解题的关键．由时，，时，，可知在和之间有一个值能使的值为0，于是判断方程的一个解x的范围为．
【详解】时，，时，，
方程的一个解x的范围为．
故选C．
【变式训练5-2】（2024·浙江温州·模拟预测）下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 －0.08 －027 －0.44 …
那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
【答案】B
【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【详解】解：观察表格得：方程x2-5x+c=0的一个近似根为1.5，故B正确．
故选：Ｂ．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
【变式训练5-3】（2024·河北保定·模拟预测）下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 8 3 0 0 …
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟记能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；根据一元二次方程的解的定义在表格找出能使成立的x的值即为所求．
【详解】解：由表格知，当和时，成立，
该方程的根是，，
故选：D．
【变式训练5-4】（2024·山东烟台·模拟预测）观察下表，一元二次方程 的解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据图表数据找出一元二次方程等于时，未知数的值的范围，即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据图表可知：当时，，
当时，，
∴的解的范围是，
故选：．
【经典例题6】（2024·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2028
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：依题意得：，
即：，
，
故选：D．
【变式训练6-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到，再整体代入即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
则，
∴
故答案为：
【变式训练6-3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．把代入方程得出，把化成，代入求出即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
∴
，
故答案为：．
【变式训练6-4】（2024·江苏南京·一模）已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，根据m是方程（n为常数）的一个根，得，可得，即可得，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程（n为常数）的一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【经典例题7】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
把代入得，，
∴，，即，，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-1】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】∵为方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
【变式训练7-2】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：把代入，得，即，
，
故答案为6．
【变式训练7-3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】2020
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得，则，然后整体代入化简求值即可．
【详解】解：由题意得，
则，
∴，
∴
故答案为：2020．
【变式训练7-4】（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解：是方程的一个实数根，
，
即，
．
故选：A．
【经典例题8】（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．根据题意，易得，，首先利用直接开平方法求得方程的根为；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得，解方程即可求出的值；将的值代入、，即可得到方程的根，由即可求解．
【详解】解：由题意得，．
两边同时除以得，
直接开平方得．
方程的两个根互为相反数，
，
．
将代入与中，可得的两个根分别是2与．
又，
，
．
故选：A．
【变式训练8-1】（2024·辽宁抚顺·二模）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法解一元二次方程，熟记直接开平方法解一元二次是解决问题的关键．
【详解】解：，
，解得，
故选：D．
【变式训练8-2】（2023·天津西青·二模）方程的两个根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
【变式训练8-3】（2024·江西南昌模拟预测）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用平方根定义，用开平方法即可解方程．
【详解】解：，
∴，
∴，，
故选：D
【经典例题9】（2024·广西崇左·模拟预测）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先运用得出，同理，得的解为，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴则方程的解是
故选：D
【变式训练9-1】（2024·江苏镇江·模拟预测）若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，．
【详解】解：解方程（，，均为常数，），
得：，
关于的方程（，，均为常数，）的解是，，
，，
方程的解为，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的解，直接开平方法解一元二次方程，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解是解答本题的关键．
【变式训练9-2】（2024·福建龙岩·模拟预测）关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案．
【详解】解：（m，h，k均为常数，m≠0），
解得，
而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，
所以，
方程的解为，
所以 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确解出一元二次方程的解．
【变式训练9-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，然后解两个一次方程即可．
【详解】把方程看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程的解是，，
所以，，
所以，．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【经典例题10】（2024·海南海口·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【变式训练10-1】（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练10-2】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：D．
【变式训练10-3】（2024·浙江温州·模拟预测）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．先根据等式的性质移项，再方程两边都加9，即可得出答案．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
．
故选：D
【变式训练10-4】（2024·新疆伊犁·一模）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练10-5】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案．
【详解】解：，
，
配方得，即，
故选：A．
【经典例题11】（2024·湖南常德·一模）若将一元二次方程化成的形式，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是能够利用完全平方公式将方程进行变形．据此将方程整理后即可求出与的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴可化为，
∴和的值分别为a和b的值分别为，．
故选：C．
【变式训练11-1】（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练11-2】（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．
【详解】解：
．
故选：C．
【变式训练11-3】（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练11-4】（2024·四川眉山·模拟预测）将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式配方，求出n，p的值，即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
整理，得，
配方，得，
即，
，，
，
故选C．
【经典例题12】（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键．
根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【详解】
，
∵，
∴，
∴大于0，
故选：C．
【变式训练12-1】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3）
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有；
（3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断．
【详解】解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，判断与有，
理由如下：
，
无论取什么值，总有；
（3）拓展：
，
故．
【变式训练12-2】（2023·浙江嘉兴·一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当，时，，，．
②当，时，，，．
③当，时，，，．
④当，时，，，________2xy．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析；
(3)代数式的最小值为8．
【分析】（1）求得，，得到；
（2）结合完全平方的非负性即可解答；
（3）利用归纳的结论即可求解．
【详解】（1）解：当，时，，，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴代数式的最小值为8．
【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
【变式训练12-3】（2024·北京·模拟预测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：；
不论取何值，总是非负数，即，
；即当时，有最小值，
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的最小值；
(2)若，，比较、的大小（写出比较过程）；
(3)若三角形中某两边、满足，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算．
（1）利用完全平方式的非负性求解即可；
（2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解；
（3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可．
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最小值．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
故．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵．
【变式训练12-4】已知，其中．
(1)求证：；
(2)比较M和Q的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了配方法的应用、整式的大小比较等知识点，利用非负数的性质比较整式的大小是解题的关键．
（1）利用两式相减，再运用配方法求出的正负即可解答；
（2）可以利用两式相减，再结合配方法得出的式子，利用配方法后，再进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
（2）解：∵．
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
【经典例题13】（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
当时，原式取最小值2，
故答案为：2．
【变式训练13-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则
，
∵，
∴，
即代数式的最小值等于4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键．
【变式训练13-2】（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点在一次函数图象上，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练13-3】（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解．
【详解】解：点是反比例函数图象上一点，
，，
，
，
当，时，有最小值为，
故选：A．
【变式训练13-4】（2023·江苏扬州·一模）已知，则的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
【经典例题14】（2024·湖南郴州·模拟预测）方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
利用因式分解法求出解即可．
【详解】解： ，
或，
解得：，，
故选：C．
【变式训练14-1】（2024·江苏扬州·三模）一元二次方程两根是等腰三角形两边长，则等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．17或16 C．18或16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长．
【详解】解：
因式分解得，，
∴当时，；当时，；
当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：；
当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：；
故选B．
【变式训练14-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）在数、、和中，是方程的根的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或，
故选：B．
【变式训练14-3】（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故选：B．
【变式训练14-4】（2024·山东·模拟预测）已知实数、均不为，，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程以及求代数式的值，由，解得或，从而求得的值，代入即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
经检验或都是的解，
当时，，，
当时，，，
∴的值为，
故选D．
【变式训练14-5】（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1 B．11和13 C．11或8 D．13
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．
【详解】解方程得或，
当时，，不能构成三角形；
当时，这个三角形的周长是，
故选D．
【经典例题15】（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【变式训练15-1】（2024·山东滨州·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选D．
【变式训练15-2】（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键．
直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解．
【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意；
B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意；
C、 ，故选项C没有实数根，符合题意；
D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意．
故选C．
【变式训练15-3】（2024·全国·模拟预测）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式训练15-4】（2023·河南信阳·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而即可得出方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【经典例题16】（2024·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．根的情况不确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的情况与判别式的关系．
判断方程的根的情况，只有看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】根据题意，得，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【变式训练16-1】（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A．
【变式训练16-2】（2024·河南新乡·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【变式训练16-3】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（ ）
A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式训练16-4】（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：根据题意，得，
，即，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【经典例题17】（2024·甘肃定西·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D． 且
【答案】A
【分析】根据根的判别式，即可求出答案．本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，属于基础题型．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
且，
故选：A．
【变式训练17-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆与方程根的关系是解题关键．
利用一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个实数根，，进而求出即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：．
故选：D．
【变式训练17-2】（2024·广东深圳·模拟预测）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．由两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．
【详解】由题意得：且
解得：且
故选：C．
【变式训练17-3】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
【变式训练17-4】（2023·山东济宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故选：B
【经典例题18】（2024·辽宁·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，掌握当一元二次方程有两个不相等的实数根时，其判别式是解答本题的关键．利用一元二次方程根的判别式，解出的取值范围即可．
【详解】解析：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
．
解得．
故选：B．
【变式训练18-1】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
或．
故选：C．
【变式训练18-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故选：D．
【变式训练18-3】（2024·贵州安顺·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以取（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意可知，，解出k的取值范围选取合适的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，，
解得：且，
∴的值可以取，
故选：C．
【变式训练18-4】（2023·河南新乡·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到并且，即可求出m的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴并且，
解得或，
∵，
∴．
故选：B．
【经典例题19】（2024·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元二次方程：
（1）求出方程的判别式，再根据一元二次方程的根与判别式的关系即可做出判断；
（2）将代入原方程中可求得m值，再将m值代入原方程，解一元二次方程即可求得方程的另一个根．
【详解】（1）证明：
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入中，得，
解得，
原方程为：，
即，
解得，，
方程的另一个根为．
【变式训练19-1】（2024·北京西城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵此方程恰有一个根小于1，
∴，
解得：．
【变式训练19-2】（2023·北京东城·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)利用判别式判断方程实数根的情况；
(2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围．
【答案】(1)方程有两个实数根
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式．
（1）根据根的判别式可得出， 利用偶次方的非负性即可判断；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程只有一个根小于 2可得出，解之即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：，
故，
，
解得，或，
∵方程只有一个根小于2 ，
，
解得：．
【变式训练19-3】（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：
（1）求出判别式的符号，判断即可；
（2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴或，
解得或（舍去），
∴a的值为4．
【变式训练19-4】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，原方程可化为，
配方，得，
解得；
（2）解：∵该方程有实数根，
∴，
解得，
即若该方程有实数根，的取值范围是．
【变式训练19-5】（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
；
（2）解：由（1）可知：，
此时方程为：，
，
，．
【经典例题20】（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．18 B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解决问题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得，把变形后代入计算即得．
【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练20-1】（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．1 B．11 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，．根据一元二次方程根与系数的关系先求出和的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，，
∴，
故选：B．
【变式训练20-2】（2024·贵州铜仁·三模）如果方程的两个实数根分别是，那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴．
故答案为：3．
【变式训练20-3】（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练20-4】（2024·湖南娄底·模拟预测）若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个的实数根，
∴，
故答案为：2．
【变式训练20-5】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）设，为一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程中两根之和等于直接进行解答即可
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实根，
∴，
故答案为：．
【经典例题21】（2023·广东阳江·一模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
故答案为．
【变式训练21-1】（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【变式训练21-2】（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后整体代入计算即可．
【详解】解∶∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式训练21-3】（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：、是方程的两个实数根，
，，，
．
故答案为：4．
【变式训练21-4】（2024·山东日照·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ；
【答案】9
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，，根据计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，
且，
，
，
故原式，
故答案为：．
【经典例题22】（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】4049
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．
根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得．
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：4049．
【变式训练22-1】（2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
，即，
∴．
故答案为：
【变式训练22-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系．
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
【变式训练22-3】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围，
(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：时，方程变为，
设方程的两个实数根分别为，，
，，
．
【经典例题23】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．
先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
，
，
故选：A．
【变式训练23-1】（2024·贵州毕节·三模）已知实数a，b，c满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．根据非负性求得a、b、c的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得、，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴方程为，
∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练23-2】（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，，然后代入计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∴，
故答案为：．
【经典例题24】（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，易得，方程两侧同除得：
，
又∵，且，
∴，为方程 的两个实数根，
∴，，整理得，，
∴，
故选：．
【变式训练24-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
【变式训练24-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵，，且，
∴为方程的两个不同的根，
∴，，
∴，
故选：．
【变式训练24-3】（2024·四川内江·二模）已知不相等实数，满足，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键．
由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴是的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练24-4】（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【详解】解：、为实数，且满足，，
，，
、是方程，即的两个根，
或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；
故答案为：13．
【变式训练24-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ．
【答案】65
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵满足，，
∴是方程的两个根，
∴，
∴
故答案为：65．
【经典例题25】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，，
当时，，，故不符合题意舍去，
当时，，，符合题意，
故答案为：．
【变式训练25-1】（2024·江西抚州·模拟预测）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键．
【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为∶．
【变式训练25-2】（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可．
【详解】解：关于的方程的两实数根为，，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【变式训练25-3】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；
（2）解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．
【变式训练25-4】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
（2）解：是方程的两个根，
则，，
∵，
∴，
∴，
解得．
【经典例题26】（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式：
（1）只需要证明即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，．
∴该方程总有实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴a的取值范围为．
【变式训练26-1】（2024·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值．
【答案】(1)见解析
(2)或4或6
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根；④．
（1）根据根的判别式，即可证明出方程总有实数根；
（2）利用根与系数关系求出，从而列出关于的式子，根据为整数即得出结果．
【详解】（1）证明：．
无论为何实数，总有；即：，
一元二次方程总有实数根．
（2）解：据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
为整数，且为整数．
，，
或2或6或0．
又，
或4或6．
【变式训练26-2】（2023·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）当时，其方程为，利用方程根的定义可求得，，代入求值即可．
【详解】（1），
，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当时，其方程为，
α、β为方程的两个根，
，，
．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
【变式训练26-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
【变式训练26-4】（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：．
（1）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①当时，
方程变形为，方程有实数根；
②当时，
，
∵，
∴，
∴当时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：存在，
设方程两根为、，
则，，
∵，
∴
解得：．
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．
【经典例题27】（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可得，，，，即可算出，化简得，根据非负数的性质即可得出答案；
（2）记直角三角形的两直角边为、，由、的长是该方程的两个实数根，可得，，再由 ABC是直角三角形，可得，即，再列出方程并解一元二次方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
，
即，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：记直角三角形的两直角边为、
、的长是该方程的两个实数根，
，，
ABC是直角三角形，
，
，
即，
整理，得，
解得，（舍去）
的值是
【变式训练27-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求a的值；
(2)已知等腰 ABC的一边长为7，若m，n恰好是 ABC另外两边的边长，求 ABC的周长．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）根据已知和根与系数的关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以；
（2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去．
此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）．
【详解】（1）解：由根与系数关系得：，
依题意得：，
，
，
，
解得：，，
由得：，
，
；
（2）解：分两种情况：
①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：，
整理得，解得，，
当时，，解得,，由，则此情况不存在；
当时，，解得，则三角形周长为；
②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去，
∴这个三角形的周长为17．
【变式训练27-2】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)已知 ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若 ABC的周长为偶数，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴此一元二次方程总有实数根；
（2）解：由题意得：，
∴的周长为，
设，则，
解得，，
此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去；
设，则：，
由三角形三边关系得，，，即，，
解得：，
∵周长m为偶数，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键．
【变式训练27-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的方程
(1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
【详解】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
【变式训练27-4】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形是菱形；
(3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形的周长是4，面积是．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用；
（1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可；
（2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可；
（3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．
【详解】（1）解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴且，，
解得：，
即k的取值范围是；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
经检验符合题意；
（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，
即，
∵，，
∴，
解得：，（舍去），
把代入方程得：，
解方程得：，或，，
∴矩形的周长是，面积是．
即此时四边形的周长是4，面积是．
【经典例题28】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
【答案】(1)
(2)或
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
【变式训练28-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”
(1)当这个常数为时，下列函数存在“晨点”的请划“”，不存在的请划“”．
①（ ）
②（ ）
③（ ）
(2)若二次函数有且只有一个“晨点”，且点关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；
(3)已知，，其中，“晨点”在轴上，直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，若四边形能组成平行四边形，且有四边形面积不超过，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)
(3)四边形的周长最大值为8
【分析】（）根据定义列式：，逐一代入判断，即可求解，
（2）设常数为，则：，整理得：，根据二次函数有且只有一个“晨点”，得到方程只有一个实根，当，且时，，该二次函数的“晨点”坐标为，设点关于该二次函数的“晨点”的对称点坐标为，根据中点公式得到，即：，根据也是“晨点”，得到，将代入，即可求解，
（3）设，由是“晨点”，得到常数为：，代入法求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，设，，结合直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，得到：，，进而得到，，代入得，，由四边形能组成平行四边形，根据中点公式得到，解得：，，得到：，，，，是矩形，得到，，由，解得：，代入，即可求解，
【点睛】本题考查了根的判别式，反比例函数的增减性，二次函数的增减性，平行四边形的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系．
【详解】（1）解：①，即：，
∵，
∴无实根，
∴不存在常数为1的“晨点”，
②，即：，
当时，函数随增大而减小，随增大而增大，必然存在交点，
∴存在常数为1的“晨点”，
③，即：，
∵，
∴无实根，
∴不存在常数为1的“晨点”，
故答案为：；；，
（2）解：设常数为，则：，即：，整理得：，
∵二次函数有且只有一个“晨点”，
∴方程只有一个实根，
当，且时，，
∴该二次函数的“晨点”坐标为，
设点关于该二次函数的“晨点”的对称点坐标为，
则：，即：，
∵也是“晨点”，
∴，代入得：，
∴，解得：，
故答案为：，
（3）解：设，
∵是“晨点”，
∴常数为：，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，
∴设，，则：，，
整理得：，，
∵，，
∴，，
∴，，
当四边形能组成平行四边形时，，整理得：，
∵，
∴，且，
∴，，
则：，，，，
∴是矩形，
∴，，
∴，解得：，
边形的周长为：，
故答案为：四边形的周长最大值为8．
【变式训练28-2】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．
（1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）当时，即：时，，
解得：
；
当时，即：时，
即，
解得：，
∵，
∴．
所以x的值是或
【变式训练28-3】（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
【变式训练28-4】（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)当时，有最大值；当时，t没有最大值
【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解；
依据题意，可以列方程，进而可以得解；
由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解；
依据题意列出关系式，通过法变化即可得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，，
正比例函数的“单位铅直高”
故答案为：
（2）解：由题意得，，
或
经检验，或是方程的解．
或
（3）解：由题意得，
，
又，，
的最小值为
（4）解：由题意，，
，且对于关于m的一元二次方程有解，
或
当时，有最大值；当时，t没有最大值．
【点睛】本题主要考查了新定义问题的应用，解题时要能读懂题意，学会转化．
【经典例题29】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
【变式训练29-1】（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可；
【详解】方程，如果设，
则，
，
故答案为：；
【变式训练29-2】（2024·上海嘉定·二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设，则方程可转化为：，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
【详解】解：设，
则方程可转化为：，
去分母，方程两边同时乘以得：，
故答案为：．
【变式训练29-3】（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．根据换元法即可求解．
【详解】解：方程，如果设，
∴
即，
故答案为：．
【变式训练29-4】（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可．
【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是，
∴方程的解是或，
解得：．
故选：A．
【经典例题30】（2024·四川成都·模拟预测）根据福建省统计局数据，福建省年的出生人数为万人，年的出生人数为万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年的出生人数及年的出生人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，
故选：B．
【变式训练30-1】（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则2026年的全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，2027年的全省城镇再生水利用量达到亿立方米/年，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【变式训练30-2】（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．
(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．
(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？
【答案】(1)平均每次降价的百分率为
(2)每件应降价元
【分析】此题主要考查了一元二次方程应用，
（1）设每次降价的百分率为x，根据“售价40元/件进行了两次降价后的售价为32.4元/件”列出方程求解即可．
（2）设每天要想获得504元的利润，每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为，
，
解得：，（舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
（2）解：设每天要想获得元的利润，，则每件商品应降价y元，由题意，得，
解得：，，
又∵商场为尽快减少该商品的库存，
∴，
答：每件应降价元．
【变式训练30-3】（2024·山西长治·模拟预测）2023年11月28日，2023龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产300万个，第三季度生产432万个．试回答下列问题：
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【答案】(1)前三季度生产量的平均增长率为；
(2)应该再增加4条生产线．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量前三季度生产量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线．
【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为．
（2）解：设应该再增加m条生产线，
则每条生产线的最大产能为万个/季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵在增加产能同时又要节省投入成本，
∴．
答：应该再增加4条生产线．
【经典例题31】（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程
