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专题07 一元二次方程及其应用
1．（2023·贵州黔东南·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意；
B．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意；
C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意；
D．是分式方程，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2023·广东佛山·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、有2个未知数，不符合题意；
B、原方程可化为：，化简后不含项，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选C．
3．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
．
解得，
故选：C．
4．（2024·福建福州·模拟预测）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
【详解】解：化为一元二次方程的一般形式，
其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10，
故选：D．
5．（2024·江苏无锡·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
6．（2024·河北唐山·模拟预测）若是方程的根，则的值为（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2029
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入一元二次方程得到，得
解得，．
故选：D．
8．（2024·浙江湖州·模拟预测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 3 …
… 10 4 0 0 …
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求．
【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或．
故选：C．
9．（2024·安徽滁州·模拟预测）若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足，
也是关于的方程（其中）的解，
或，解得或（负值舍去），
，
故选：C．
10．（2024·天津红桥·模拟预测）解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴，
∴或
故选：A．
12．（2024·北京·模拟预测）如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据一元二次方程的根的定义将代入方程解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可．
【详解】解：将代入方程，
可得，
解得，
将代入关于的方程，
可得，
解得．
故选：B．
13．（2024·安徽·模拟预测）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】B
【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与，
且，
∴，
解得：，
即方程的根是：，，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键．
14．（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的根，
∴，得，
，
或或或，
解得或．
故选：A．
15．（2024·山西吕梁·一模）用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程．
【详解】解：
，
，
故选：．
16．（2024·河南安阳·一模）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
17．（2023·江苏南通·一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．
【详解】解：，
，
，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
18．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【答案】B
【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【分析】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选B．
19．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程．
【详解】
故选：A．
20．（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：
∵，
∴小明的结论是的最小值为，
小林做了如下探索：
∵，
小林的结论是的最小值为2；则（ ）
A．小明正确 B．小林正确
C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
【详解】解：小明的探究：，
则当，即时，有最小值为，
而无解，
小明的探究是错误的，
小林的探究：，
则当，即时，有最小值为2，
小林的探究是正确的，
故选：B．
21．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
22．（2023·河南·模拟预测）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，方程有两个相等的实数根
B．当 时，方程没有实数根
C．当 时，
D．当方程有两个不相等的实数根时，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先求出，再根据当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根，逐项判断即可．
【详解】该方程的判别式为 ．
当 时，解得 ，所以A正确；
当 时，，方程有两个不相等的实数根，所以B不正确；
当 时，方程为 ，解得 或 ，所以C不正确；
当方程有两个不相等的实数根时，，解得或，所以D不正确．
故选：A．
23．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选C．
24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
是方程的一个实数根，
，
，
，
，
，
故选：A．
25．（2024·湖南株洲·模拟预测）2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次，设清明节假期三天国内旅游出游的年平均增长率为，根据题意可列列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次即可得到结论．
【详解】解：根据题意得：，
故选：A
26．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可．
【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，
根据题意可得：，
整理得：，
故选：D．
27．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由小路的宽为，可得出种草的部分可合成长为，宽为的长方形，结合草坪部分的总面积为，可得出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．
【详解】解：∵小路的宽为，
∴种草的部分可合成长为，宽为的长方形．
根据题意得：，
整理得：．
故选：C．
28．（2024·云南大理·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
29．（2024·福建福州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解答时注意方程有两个相等的实数根．
由一元二次方程有两个相等的实数根，则可以知道一元二次方程根的判别式值为零，解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程可化为：，
由题意得，
解得：，
故选：B．
30．（2024·湖北·模拟预测）若是方程的两根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得：，整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选A．
31．（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零．
由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
32．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可．
【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是，
∴方程的解是或，
解得：．
故选：A．
33．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
34．（2023·河南·模拟预测）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，方程有两个相等的实数根
B．当 时，方程没有实数根
C．当 时，
D．当方程有两个不相等的实数根时，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先求出，再根据当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根，逐项判断即可．
【详解】该方程的判别式为 ．
当 时，解得 ，所以A正确；
当 时，，方程有两个不相等的实数根，所以B不正确；
当 时，方程为 ，解得 或 ，所以C不正确；
当方程有两个不相等的实数根时，，解得或，所以D不正确．
故选：A．
35．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选C．
36．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
是方程的一个实数根，
，
，
，
，
，
故选：A．
37．（2024·云南大理·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
38．（2024·福建福州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解答时注意方程有两个相等的实数根．
由一元二次方程有两个相等的实数根，则可以知道一元二次方程根的判别式值为零，解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程可化为：，
由题意得，
解得：，
故选：B．
39．（2024·湖北·模拟预测）若是方程的两根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得：，整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选A．
40．（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零．
由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
41．（2024·湖北省·模拟预测）若关于x的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，且二次项系数不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵，
∴
∴，
故答案为．
42．（2023·贵州黔东南·一模）关于x的一元二次方程化成一般形式为 。
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式． 直接去括号，然后移项，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
故答案为：
43．（2024·山东济南·模拟预测）已知是方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把代入得，解得．
故答案为：．
44．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵a是方程的根，
，
当时，不成立，
，
，即，
∴，
故答案为：2023．
45．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
【答案】36
【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
将代入求出，再代入化简即可得即可求解；
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴
，
∴代数式的最小值为36．
故答案为：36．
46．（2024·贵州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，若，则a的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则．由、是关于的一元二次方程的两个解，得出，，整理，整体代入求得的数值即可．
【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
，
即，
解得：，
故答案为：2024
47．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是，
那么，，
，
．
故答案为：．
48．（2024·四川泸州·三模）若，且有，及，则的值是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和解的定义，方程两边同时除以，等式仍成立，和可看作方程的两根，由此可解答．
【详解】
解：，
，即，
和可看作方程的两根，
，即．
故答案为：．
49．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键．
先说明a、b是方程的解，然后根据根与系数的关系可得，然后再对变形后代入计算即可．
【详解】解：∵a、b满足，，，且，
∴a、b是方程的解，
∴，
∴．
故答案为：．
50．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，
，
，
，
、可看作方程的两根，
，，
，
．
故答案为：．
51．（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，再根据，求出的值即可得到答案．
【详解】解：由根与系数的关系得到，
，
，
，
，
故答案为：．
52．（2023·浙江宁波·一模）已知，求的值为 ．
【答案】3
【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可．
【详解】解：设，
据题意，得，
解得，
∵，
∴不符合题意舍去，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将看作一个整体，熟练应用换元法．
53．（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
54．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【答案】1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
55．（2024·江苏·模拟预测）解关于的方程： ．
【答案】，
【分析】变形后利用直接开方法解方程即可．
【详解】整理得：，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可．
56．（2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，方程的另一个根是
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：（1）牢记“当时，方程两个实数根”；（2）掌握解一元二次方程的方法．
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程，解得，将代入方程得到然后解方程即可求出另一根．
【详解】（1）证明：
，
，
，
方程总有两个不相等实数根．
（2）解：将代入方程，解得
将代入方程得到
解得，
所以方程的另一个根是
57．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键．
（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，，
∴，
∴，整理得，，
∴，
故实数的取值范围为．
（2）解：∵方程的两个根分别为，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
解得，，
∵，
∴．
58．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
整理得：，
解得：．
（2）解：∵、是一元二次方程的解，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：（不符合题意舍弃），
故的值为．
59．（2024·江西吉安·模拟预测）已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根．
(1)求m的值；
(2)求菱形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式及解一元二次方程．
（1）根据菱形的性质得到，由一元二次方程根与系数的关系及根的判别式即可解答；
（2）由（1）知m的值，代入方程，解一元二次方程，求出的值，即可解答．
【详解】（1）解：菱形中，，
由直角三角形的三边关系可得：，
的长分别是关于x的方程的两根
，，
∴，
整理得：，
解得：或5．
又∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将m的值代入方程得：．
解得，．
∴菱形的面积．
60．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
【答案】该酒店入住人次的日平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该酒店入住人次的日平均增长率为，则5月2日入住人次，5月3日入住人次，根据该酒店1日、2日、3日这三天累计入住608人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】设日平均增长率为．
根据题意，得：
解得：，（不合题意，舍去）
答：该酒店入住人次的日平均增长率为．
61．（2024·山西·模拟预测）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得：
，
解得：（不合题意，舍去)，
答：小路的宽为2米．
62．（2023·山西临汾·一模）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）
【答案】周瑜去世时是36岁．
【分析】设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是．
根据题意可知，
解得或，∴或．
∵三十而立，四十而不惑，
∴不合题意，舍去，
综上，周瑜去世时是36岁．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
63．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元．
【答案】(1)
(2)40元或者60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程．
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）由题意可得，， 再求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为，
根据图象可知，点在上，代入可得，
∴ ，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，，
解得，，
答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元．
64．（2024·云南文山·模拟预测）如图， ABC中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．
(1)若的面积是 ABC面积的，求t的值？
(2)的面积能否为 ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不可能，见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∴，，
∴，
整理得，解得，
答：当时的面积为面积的；
（2）不能，理由如下：
当时，
，
整理得，
∵△，
∴此方程没有实数根，
∴的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
65．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
66．（2024·重庆丰都·模拟预测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，
依据题意列方程得，，
，
，
经检验，是原式方程的解．
．
小红的速度为，小明的速度为．
故答案为：；．
（2）解：小明的速度为，
小明从A地道B地需要的时间为：．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或（舍去）．
A地到C地所需要时间为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
67．（2023·湖北黄石·模拟预测）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若关于x的一元二次方程为．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围．
(2)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)存在，，
【分析】（1）①计算判别式，得到该方程总有两个不等的实数根，再通过因式分解法解一元二次方程得到其两根，从而得到该方程衍生点M的坐标；
②由，令，，知点M在上直线，由直线与的边交于点，交于点得到，从而得到m的范围；
（2）分析出不论为何值，直线过定点，即为关于x的方程的衍生点M，再根据根于系数的关系得到b，c的值．
【详解】（1）①，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
解得：，，
方程的衍生点为．
②∵直线与x轴交于点A，
∴，
由①得，，
令，，
∴，
∴点M在直线上，刚好和的边交于点，
令，则，
∴，
∴；
∴；
（2）存在．
直线，过定点，
∴两个根为，，
∴，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题．
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专题07 一元二次方程及其应用
1．（2023·贵州黔东南·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东佛山·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．（2024·福建福州·模拟预测）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
5．（2024·江苏无锡·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024·河北唐山·模拟预测）若是方程的根，则的值为（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2029
7．（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2024·浙江湖州·模拟预测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 3 …
… 10 4 0 0 …
A． B． C．或 D．或
9．（2024·安徽滁州·模拟预测）若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．
10．（2024·天津红桥·模拟预测）解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·北京·模拟预测）如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·安徽·模拟预测）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
14．（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·山西吕梁·一模）用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·河南安阳·一模）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·江苏南通·一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
19．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：
∵，
∴小明的结论是的最小值为，
小林做了如下探索：
∵，
小林的结论是的最小值为2；则（ ）
A．小明正确 B．小林正确
C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确
21．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
22．（2023·河南·模拟预测）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，方程有两个相等的实数根
B．当 时，方程没有实数根
C．当 时，
D．当方程有两个不相等的实数根时，
23．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·湖南株洲·模拟预测）2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次，设清明节假期三天国内旅游出游的年平均增长率为，根据题意可列列方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ）
A．B． C． D．
28．（2024·云南大理·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
29．（2024·福建福州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ( )
A． B． C． D．
30．（2024·湖北·模拟预测）若是方程的两根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
31．（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
32．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
34．（2023·河南·模拟预测）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，方程有两个相等的实数根
B．当 时，方程没有实数根
C．当 时，
D．当方程有两个不相等的实数根时，
35．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
36．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
37．（2024·云南大理·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
38．（2024·福建福州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ( )
A． B． C． D．
39．（2024·湖北·模拟预测）若是方程的两根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
40．（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
41．（2024·湖北省·模拟预测）若关于x的方程是一元二次方程，则 ．
42．（2023·贵州黔东南·一模）关于x的一元二次方程化成一般形式为 。
43．（2024·山东济南·模拟预测）已知是方程的一个根，则 ．
44．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ．
45．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
46．（2024·贵州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，若，则a的值为 ．
47．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 .
48．（2024·四川泸州·三模）若，且有，及，则的值是 ．
49．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ．
50．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
51．（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ．
52．（2023·浙江宁波·一模）已知，求的值为 ．
53．（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
54．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
55．（2024·江苏·模拟预测）解关于的方程： ．
56．（2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根．
57．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
58．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
59．（2024·江西吉安·模拟预测）已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根．
(1)求m的值；
(2)求菱形的面积．
60．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
61．（2024·山西·模拟预测）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽．
62．（2023·山西临汾·一模）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）
63．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元．
64．（2024·云南文山·模拟预测）如图， ABC中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．
(1)若的面积是 ABC面积的，求t的值？
(2)的面积能否为 ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
65．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
66．（2024·重庆丰都·模拟预测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
67．（2023·湖北黄石·模拟预测）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若关于x的一元二次方程为．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围．
(2)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
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