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第5章 一元一次方程 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蜀山区校级期中）下列各式中，属于方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意；
、不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意；
、不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意；
、是方程，故此选项符合题意；
故选．
2．（2024秋 绿园区校级期中）将方程改写成用含的式子表示的形式，结果是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据等式的基本性质1，方程两边同时减，
得，
故选．
3．（2024秋 南岗区校级期中）下列等式变形正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】
【解析】如果，两边同时减去3得，则不符合题意；
如果，两边同时加上2得，则符合题意；
如果，两边同时减去得，则不符合题意；
如果，当时，与不一定相等，则不符合题意；
故选．
4．（2024秋 南岗区校级月考）方程去分母，得
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】漏乘了不含分母的项；
、漏掉了括号；
、正确；
、漏掉了括号．
故选．
5．（2023秋 扶沟县期末）已知是关于的一元一次方程，则
A．3或1 B．1 C．3 D．0
【答案】
【解析】根据题意得：
，
解得或，
因为，
所以，
综上可知：．
故选．
6．（2023秋 乐亭县期末）方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】将代入方程，得：★，
解得：★，
即★处的数字是1，
故选．
7．（2024秋 耒阳市校级月考）定义运算“”，其规则为，则方程的解为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解；，
，
解得，
故选．
8．（2024春 麦积区期末）已知关于的方程与的解相同，则代数式的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解方程，
得：，
把代入，
得：，
解得：，
把代入，
原式．
故选．
9．（2022秋 滕州市校级期末）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，由题意可得，
解得，即．
故选．
10．（2024秋 南昌期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是
A．77 B．84 C．90 D．105
【答案】
【解析】设这7个数中最小的数为，则另外6个数分别为，，，，，，
这7个数的和为．
．根据题意得：，
解得：，
在第四列，符合题意，
这7个数的和可以是77，选项不符合题意；
．根据题意得：，
解得：，
在第五列，符合题意，
这7个数的和可以是84，选项不符合题意；
．根据题意得：，
解得：，
不是整数，不符合题意，
这7个数的和不可能是90，选项符合题意；
．根据题意得：，
解得：，
在第一列，符合题意，
这7个数的和可以是105，选项不符合题意．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 吴忠期末）在方程：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一元一次方程的是（填序号） ③④⑥
【答案】③④⑥．
【解析】③，④，⑥，是一元一次方程；
①，含有两个未知数，不是一元一次方程；
②，含有分式，不是一元一次方程；
⑤，未知数的次数是2，不是一元一次方程，
故答案为：③④⑥．
12．（2024秋 西城区校级期中）如图的框图表示解方程的流程．第3步的依据是 等式两边同除以一个不为0的数，等式仍成立 ．
【答案】等式两边同除以一个不为0的数，等式仍成立．
【解析】由题干中解方程的步骤可得第3步的依据是等式两边同除以一个不为0的数，等式仍成立，
故答案为：等式两边同除以一个不为0的数，等式仍成立．
13．（2024秋 长沙期中）当 3 时，代数式与代数式的值相等．
【答案】3．
【解析】根据题意可得：，
移项得，，
合并同类项得，，
两边都除以得，．
故答案为：3．
14．（2023秋 乳山市期末）等式中，若是正整数，则整数的取值是 6或4 ．
【答案】6或4．
【解析】由关于的方程，得
．
是正整数，是整数，
正整数解相应为：、，
的值是：6或4．
故答案为：6或4．
15．（2024秋 南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 248 ．
【答案】248．
【解析】设这列火车的长度为 ，
根据题意得：，
解得：，
这列火车的长度为．
故答案为：248．
16．（2022春 淮滨县期末）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ．
【答案】．
【解析】，，，
由题意可知，方程的解是（由得出），
即方程的解是，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．（2024秋 建湖县期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为为常数）的形式．
（1）；
（2）．
【解析】（1），
两边同时加上3得：，
两边同时除以5得：；
（2），
，
，
，
．
18．（2024秋 镇海区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
，
，
；
（2），
方程可化为，
，
，
，
，
．
19．（2024春 永春县校级期中）已知：方程①是关于的一元一次方程．
（1）求的值；
（2）若上述方程①的解与关于的方程②的解互为相反数，求的值．
【解析】（1）方程①是关于的一元一次方程，
，且，
解得．
（2）当时，原方程变形为，解得，
方程①的解与关于的方程②的解互为相反数，
方程②的解为．
方程去分母得：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
．
20．（2022秋 道外区校级月考）是最大的负整数，且，则方程的解是多少？
【解析】是最大的负整数，
．
，
．
当，时，
原方程为：，
，
，
，
，
，
的解为．
21．（2024秋 北京期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 等式的性质2 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
【解析】任务一：（1）在解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的．
故答案为：等式的性质2；
（2）第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，与相乘，积的符号没有变号．
故答案为：二，去括号时，与相乘，积的符号没有变号；
任务二：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
22．（2024秋 北京期中）小涵在解关于的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
【解析】设□，则原方程为，
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
将的系数化为1得：，
又，均为正整数，
．
23．（2021秋 潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；
的解为，而．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于的方程为奇异方程，解关于的方程：．
【解析】（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把代入原方程解得：，
若为“奇异方程”，则，
，
不符合“奇异方程”定义，故不存在；
（2）为奇异方程，
，
，
，
，
方程可化为，
，
，
解得．
24．（2024秋 西城区校级期中）规定：用表示大于的最小整数，如，；用表示不大于的最大整数，例如：，．
① ， ；
②若，那么 ；
③如果满足方程，那么求方程的解．
【解析】（1）由题意得：；，
故答案为：；1；
（2）由可得：或，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：3或；
（3），
和都表示整数，
此方程的值也为整数，
由题意知原方程可化为：，
．
25．（2024秋 南岗区校级期中）某家电商场在双十一活动前共投入68000元，购进、两种品牌的微波炉共100台，其中品牌微波炉每台进价是500元，品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进、两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，品牌微波炉每台售价800元，品牌微波炉每台按进价加价销售，求全部售磬后，该家电商场共获利多少元？
（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批、两种品牌的微波炉进行销售，其中品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；品牌微波炉购进数量增加，进价不变，售价提高，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台品牌微波炉打九折出售？
【解析】（1）设购进台品牌微波炉，则购进台品牌微波炉，
根据题意得：，
解得：，
．
答：购进40台品牌微波炉，60台品牌微波炉；
（2）根据题意得：
（元．
答：全部售磬后，该家电商场共获利24000元；
（3）设有台品牌微波炉打九折出售，
根据题意得：，
解得：．
答：有20台品牌微波炉打九折出售．
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第5章 一元一次方程 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蜀山区校级期中）下列各式中，属于方程的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 绿园区校级期中）将方程改写成用含的式子表示的形式，结果是
A． B． C． D．
3．（2024秋 南岗区校级期中）下列等式变形正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．（2024秋 南岗区校级月考）方程去分母，得
A． B．
C． D．
5．（2023秋 扶沟县期末）已知是关于的一元一次方程，则
A．3或1 B．1 C．3 D．0
6．（2023秋 乐亭县期末）方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024秋 耒阳市校级月考）定义运算“”，其规则为，则方程的解为
A． B． C． D．
8．（2024春 麦积区期末）已知关于的方程与的解相同，则代数式的值是
A． B． C． D．
9．（2022秋 滕州市校级期末）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是
A． B． C． D．
10．（2024秋 南昌期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是
A．77 B．84 C．90 D．105
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 吴忠期末）在方程：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一元一次方程的是（填序号）
12．（2024秋 西城区校级期中）如图的框图表示解方程的流程．第3步的依据是 ．
13．（2024秋 长沙期中）当 时，代数式与代数式的值相等．
14．（2023秋 乳山市期末）等式中，若是正整数，则整数的取值是 ．
15．（2024秋 南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 ．
16．（2022春 淮滨县期末）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024秋 建湖县期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为为常数）的形式．
（1）；
（2）．
18．（2024秋 镇海区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024春 永春县校级期中）已知：方程①是关于的一元一次方程．
（1）求的值；
（2）若上述方程①的解与关于的方程②的解互为相反数，求的值．
20．（2022秋 道外区校级月考）是最大的负整数，且，则方程的解是多少？
21．（2024秋 北京期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
22．（2024秋 北京期中）小涵在解关于的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
23．（2021秋 潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；
的解为，而．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于的方程为奇异方程，解关于的方程：．
24．（2024秋 西城区校级期中）规定：用表示大于的最小整数，如，；用表示不大于的最大整数，例如：，．
① ， ；
②若，那么 ；
③如果满足方程，那么求方程的解．
25．（2024秋 南岗区校级期中）某家电商场在双十一活动前共投入68000元，购进、两种品牌的微波炉共100台，其中品牌微波炉每台进价是500元，品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进、两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，品牌微波炉每台售价800元，品牌微波炉每台按进价加价销售，求全部售磬后，该家电商场共获利多少元？
（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批、两种品牌的微波炉进行销售，其中品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；品牌微波炉购进数量增加，进价不变，售价提高，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台品牌微波炉打九折出售？
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