南充高中 2024—2025 学年度上学期期中考试
高 2023 级数学试卷参考答案
1．【答案】A
2 2
【详解】圆C的方程可化为 x 2 y 1 16，圆心C的坐标是 2, 1 .故选：A.
2．【答案】C
r r
【详解】由已知 a 2b (1, 4,5) 2(0,1,2) (1, 6,1)，故选：C．
3．【答案】A
【详解】直线 l的斜率为 k 3，故方向向量可以取为 v 1,k 1, 3 ,故选：A
4．【答案】D
x
2 y2 1 x 0 x 1
【详解】由 2 2 ，解得 或y 1
，则 A B 0,1 ， 1，0 .故选：D.
x 1 y 1 1 y 0
5．【答案】B
【详解】复数 z a2 1 i为纯虚数，则a2 1 0，即 a 1
所以若 z为纯虚数不一定得到 a 1，但是由 a 1一定能得到 z为纯虚数，
故“ z为纯虚数”是“a 1”的必要非充分条件，故选：B
6．【答案】B
【详解】根据题意可知 h 4, r 3,R 5，根据圆台体积公式可得
V 1 1 πh r 2 R2 rR π 4 32 196π 52 3 5 205 cm3 .3 3 3
7．【答案】C
T 5
【详解】解： T 22 12 12 2
，所以 ，所以 ，则 A正确；
f x 2sin 2x ，由 f x 的图象过点 , 012 ，且在 x 附近单调递增，所以 12
2k k Z ，结合 ，可得 6 ，则 B正确；6 2
f x 2sin 2x f 2sin 6所以 3 6 ，由 6 2 2cos 2 2 5 ，得 cos 2 ，所以 C错误； 5
对于 D，作图可知 D正确.
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故选：C
8．【答案】D
1 1 cos A cosC sinC cos A sin AcosC sin(A C) sin B
【详解】因为 tan A tanC sin A sinC sin AsinC sin AsinC sin AsinC，
1 1 3 sin B 3cos B
又 ，所以
tan A tanC tan B sin AsinC sin B
，
所以 sin2 B 3sin AsinC cosB，由正弦定理可得b2 3ac cosB，
2
又余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB，即b2 a2 c2 b2，
3
2 2 2 4
2 3 2 2 2 2 2 a c ac
所以 b (a c )，则由余弦定理 cos B a c b 25
5 5 ，
2ac 2ac 2ac 5
二、多选题
9．【答案】AB
【详解】对于 A，由 0.001 0.0015 0.002 0.0005 2a 100 1，得a 0.0025，
所以数据落在区间 300,500 内的频率为 0.002 0.0025 100 0.45，A正确；
对于 B,数据落在区间 200,500 内的频率为 0.001 0.002 0.0025 100 0.55，B正确；
对于 C, n 100，年收入大于或等于 400万元的有四组，其频率和是
100 0.0025 0.0025 0.0015 0.0005 0.7，所以符合条件的民营企业有 0.7 100 70家，C错误；
对于 D,数据落在区间 200,400 内的频率为 0.001 0.002 100 0.3，数据落在区间 200,500 内的
频率为 0.001 0.002 0.0025 100 0.55，
0.5 0.3
估计中位数为 400 100 480，D错误．故选:AB．
0.25
10．【答案】BCD
【详解】对 A：连接 A1B， A1C1，则 A1B交 AB1于 E，
又 F为 BC1中点，可得EF / /A1C1，即EF / /AC ，但 AC与 AB1不垂直，故 A错误；
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对 B：由EF / /AC，EF 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，故 EF / /平面 ABCD；故 B正确
对 C：连接 AD1,CD1，则 AD1 / /BC1 ,故 CAD1就是异面直线 BC1与 AB1所成的角或其补角
由正方体可知 AC CD1 AD1，即 ACD1为等边三角形，
故 CAD1 ，即异面直线 BC1与 AB1所成的角为
，故 C正确；
3 3
对D：由于 AB1 / /C1D ,故 AB1 / /平面BC1D，所以点E到平面BC1D的距离等于点A到平面 BC1D
1
S CC 1 3
的距离，设为 d，由体积法可知， d ABD 1 2 ,故 D正确．故选：BCD．
S BC D 3 31
2
11．【答案】BCD
【详解】圆C : (x 1)2 (y 1)2 4的圆心C(1,1)，半径 r 2，连接 PC，
4
对于 A，点C到直线 l : x y 6 0的距离 d 2 2 2 r ，直线 l与圆 C相离，A错误；
2
对于 B，点Q在圆C上，则 PQ d r 2 2 2min ，B正确；
对于 C，由切线长定理知， APB 2 APC，而 sin APC | AC | 2 2 2 ，
| PC | | PC | d 2
又 APC是锐角，正弦函数 y sin x在 (0, π)上单调递增，则 APC的最大值为 ，
2 4
π
当且仅当 PC l时取等号，因此 APB的最大值为 ，C正确；
2
对于 D，设 P(t,6 t)，则以 PC为直径的圆的方程为 (x 1)(x t) (y 1)(y t 6) 0
即 x2 y2 (t 1)x (t 7)y 6 0，
与已知圆的方程相减可得直线 AB的方程为 (1 t)x (t 5)y 8 0即 (x 5y 8) t(x y) 0
x 5y 8 0 x 2
由 可得 ，直线 AB过定点 (2，2)，故 D正确；
x y 0 y 2
故选：BCD
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三、填空题
12．【答案】 2x y 1 0
【详解】根据题意，设所求的直线方程为 2x y c 0 c 2 ，令 x 0得 y c，
因为所求直线在 y轴上截距是1，所以 c 1，即c 1，
所以所求的直线方程为 2x y 1 0．故答案为：2x y 1 0．
13 8．【答案】
15
【详解】设这箱中 8罐饮料分别记为 1，2，3，4，其中编号为 1，2的为能中奖的饮料，
一罐中奖另一罐不中奖为事件 A，则
于是 n( ) 30， n(A) 16
P(A) 16 8 8故 ，故答案为： .
30 15 15
14．【答案】 13 1
【解答】在平面直角坐标系中，设OC c (1,0)，不妨设OA a (t, 3t)，则点 A在直
线 y 3x上，设OB b (x, y)，
由b b 6c 8 2可知b 2 6b c 8 0，所以 x2 y2 6x 8 0即 x 3 y2 1
所以点 B在圆 x 3 2 y2 1上，记该圆圆心为 M，
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所以 a b a c OA OB OA OC AB AC
设C 1,0 关于直线 y 3x的对称点为C ' x0 , y0 ，则有
y0 1
3 1 x x0 1
0 2 '
解得 ，即C
1
, 3
y0 x 1 3 2 2
3
0
y0
2 2 2
所以 a b a c OA OB OA OC AB AC AB AC ' C 'M r 13 1
四、解答题
15．【详解】（1）由直线 l : 2 1 x 1 y 7 4 0变形得 2x y 7 x y 4 0，
.........................................(3分)
2x y 7 0 x 3
令 x y 4 0 ，解得： y 1， ................................................................(6分)
x 3
由于不论实数 取何值， 总是方程 2 1 x 1 y 7 4 0的一个解，
y 1
所以直线 l恒过这一定点 P 3,1 . .................................................(8分)
3 a 0
2 A(a,0),B(0,b)
（ ）设 ，则由已知有 2 ，联立解得：a 6,b 2，....................(10分)
1 0 b
2
x y 1
所以直线 l的截距式方程为 1，故 l的方程为 x 3y 6 0即 y x 2
6 2 3
...................................(13分)
16．【详解】（1）因为 AC 平面 BCDE，DE 平面 BCDE，所以 AC DE，
由 BCD 90 ，DE //BC知，DE CD，
又CDI AC C ，CD,AC 平面 ACD，所以DE 平面 ACD，
因为CM 平面 ACD，所以DE CM，.........................................................................................(3分)
因为CD CA，M 是 AD的中点，所以CM AD，.......................................................................(5分)
又 AD DE D， AD,DE 平面 ADE，所以CM 平面 ADE ....................................................(6分)
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（2）以 C为坐标原点，以CD,CB,CA所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，如
图，则C(0,0,0),D(2,0,0),E(2, 2,0), A(0,0, 2),B(0, 4,0),M (1,0,1)，N (0,2,1)
故CM (1,0,1)，DE (0, 2,0)，DN ( 2,2,1)，................................................................................(8分)
设平面DEN的法向量n (x, y,z)，
则 n DE 0 2y 0
，即
，取 n (1,0,2)，............................................................................(10分)
n DN 0 2x 2y z 0
由（1）可知CM (1,0,1)为平面 ADE的法向量............................................................................(11分)
则 cos CM , n CM n 1 0 2 3 10 ，...........................................................................................(14分)
CM n 2 5 10
ADE DEN 3 10即平面 与平面 所成夹角的余弦值 . ......................(15分)
10
p1p
1
2
17. 【详解】（1）由已知由 2 ， ...................................(3分)
p (1 p ) 1 1 2 4
p
3
1 4 3 2
解得 所以 p1 ，p2 . .......................................(6分)
2 4 3
p2 3
（2）设 A1，A2分别表示甲两轮猜对 1个，2个成语的事件，B1，B2表示乙两轮猜对 1
个，2个成语的事件，则有 ...................................(8分)
P(A ) 3 1 1 3 3 3 3 91 ,P(A2 ) 4 4 4 4 8 4 4 16 ...................................................................................(11分)
P(B 2 1 1 2 4 2 2 41 ) ,P(B ) 3 3 3 3 9 2 3 3 9
“星队”在两轮活动中猜对 3个成语的概率为
P P A1B2 A2B1 P A1B2 P A
3 4 9 4 5
2B1 P(A1)P B2 P(A2 )P B1 8 9 16 9 12
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5
所以“星队”在两轮活动中猜对 3个成语的概率为 . ..................................(15分)
12
18．【详解】(1)由 2b a 2c cos A及正弦定理，可得 2sin B sin A 2sinC cos A
又因为 sin B sin(A C) sin AcosC cos AsinC .....................................................................(3分)
所以 sin A 2sin AcosC，故 cosC 1 ，由于C 0， ,所以C . ..............................(5分)
2 3
(2)由已知 c 2R sinC 2 1 sin 3，
3
由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC可得 a2 b2 ab 3………①............................................(7分)
又由 2sin A sin B可得b 2a………………………………………②
由①②可解得 a 1,b 2 ....................................................................................................................(9分)
S 1 ab sinC 1 2 1 3 3所以 ABC . .............................................................................(11分)2 2 2 2
(3) S 1 3 1因为 ABC ab sinC ab , S ABC a b c r2 4 2
3
所以 ab 1 a b c r，即 r 3 ab ..............................................................................(13分)
4 2 2 a b c
由C 可知 ab a2 1 b2 3，即 ab a b 2 3
3 3
1
3 ab 3 a b 2 3 3
从而 r
3 a b 3 ........................................................(15分)
2 a b c 2 a b 3 6
1 a b 2 a b 2 3 ab 又因为 ，所以0 a b 2 3 1，因此 r
3 2 2
从而 r 1的最大值为 ，当且仅当 a b 3，即 ABC为正三角形时等号成立。...............(17分)
2
19．【解答】(1)由已知OA 1，2 ，OB 1， 2
所以 e A,B 1 cos A,B 1 cos OA,OB 1 OA OB 3 8 1 . ..............(4分)
OA OB 5 5
(2) 3由已知有OC 4x x2 , x 2 ,OD 1，
3
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OC OD 4x x
2 3 x 2
所以 cos(C,D) cos OC,OD 32 ..................................(6分)OC OD 2
3
令 4x x2 3 x 2 t，则有 4x x2 3 x 2 t
3 3
所以问题转化为半圆 y 3 4x x2 与直线 l : y x 2 t有公共点时 t取值范围
3
2 3 4 3
当直线 l经过 4，0 时， t 当直线 l与半圆相切时，由 d r可知 t
3 3
2 3
4 3 t 2 3
4x x x 2 3 1
故 ，于是 cos(C,D) 3 2 t 1,
...................(9分)3 3 2 4 2
3
所以 e C,D 1 cos C,D 1 ,2 . ..............................................................................................(10分) 2
(3)设 P x, x 2 ,Q cos , sin ，则有
M P,Q x cos x 2 sin x cos x 2 sin 2 sin cos
2 sin cos 2 2 sin
2 2
4
......................................(15分)
P 2 , 2
2 2 2 2 2 2
又取 2 ,Q , 时，M P,Q 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
所以M P,Q 的最小值为 2 2 . ........................................................................................(17分)
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南充高中 2024—2025 学年度上学期期中考试 7．如图， 函数 f (x) 2sin( x ) 0, 的图象经过点 , 0 和 , 0 ， 则下列说 2 12 12
高 2023 级数学试卷 法错．误．的是（ ）
A． 2
（时间：120 分钟 总分：150 分 命审题人：向前君 蔡国良 李波 杨秦飞）
B．
6
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
C f 6．若
3
， 则 cos 2
符合题目要求的． 6 5 5
1．已知圆C的方程是 x2 y2 4x 2y 11 0，则圆心C的坐标是（ ） D．函数 f (x)的图象与直线8x 5y 10 0仅有三个公共点
A． 2, 1 B． 2,1 C． 4,2 D． 4, 2 8．已知 ABC 1 1 3的内角 A,B,C的对边分别为 a，b， c，若 ，则 cosB的最
tan A tanC tan B
2 小值为（ ）．已知向量 a (1, 4,5)，b (0,1, 2)，则 a 2b （ ）
1 1 3 2
A． (1, 6, 1) B． ( 1, 6,9) C． (1, 6,1) D． ( 1, 6,1) A． B． C． D．2 9 2 5
3 l 3x y 3 0 l 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目．设直线 的方程为 ，则下列向量可以作为 方向向量的是（ ）
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
A． 1，3 B． 1， 3 C． 3，1 D． 3， 1
9．民营经济是推进中国式现代化的生力军．为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分
4．已知集合 A x, y x2 y2 1 2， B x, y x 1 y 1 2 1 ，则 A B （ ） 企业的税收进行适当的减免. 某机构调查了当地的中小
型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的
A． B． 0,1 C． 1，0 D． 0，1 ， 1，0
频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
5 z a2．已知复数 1 i（ i为虚数单位，a为实数），则“ z为纯虚数”是“ a 1”的（ ） A．样本数据落在区间 300,500 内的频率为 0.45
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 B．若规定年收入在 500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 民营企业能享受到减免税政策
6．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以 C．若该调查机构调查了 100家民营企业，则年收入不少于 400万元的有 80家
近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（ ） D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 500万元
A．100cm3 B．205cm3 C．300cm3 D． 400cm3 10．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 AB1、BC1的中点，下列结论
正确的是（ ）
A． EF与 AB1垂直
B． EF / /平面 ABCD
C．异面直线 BC1与 AB1所成的角为
3
第 6题图 第 7题图 D．点 E到平面BC1D
3
的距离为
3
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11 2 2．已知动点 P在直线 l : x y 6 0上，动点Q在圆C : x y 2x 2y 2 0上，过点 P作圆 17.（满分 15分）
C的两条切线，切点分别为 A、B，则下列描述正确的有（ ） 甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮
A．直线 l与圆 C相交 B． PQ 的最小值为 2 2 2 猜对的概率为 p1，乙每轮猜对的概率为 p2，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结
C 1 1．存在 P点，使得 APB D．直线 AB过定点 (2，2) 果也互不影响。在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为 ，甲猜对且乙猜错的概率为 ．
2 2 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． （1）求 p1， p2 的值；
（2）求“星队”在两轮活动中猜对 3个成语的概率．
12．与直线 2x y 2 0平行，且在 y 轴上的截距为 1的直线的一般式方程是 ．
13．某企业为了推广一种新饮料，开展了有奖促销活动：将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放
置 2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出 2罐饮料，恰好一罐中奖另一罐不中奖的概率
为 ． 18.（满分 17分）
14 在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a，b，c，且满足 2b a 2c cos A， ABC的外．已知 a,b ,c为平面向量，如果 c 1， a,c ，b b 6c 8，则 a b a c 的
3
接圆的半径为 R=1．
最小值为 ．
（1）求角 C的值；
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（2）如果 2sin A sin B，求 ABC的面积；
15.（满分 13分）
（3）求内切圆半径 r的最大值．
已知直线 l : 2 1 x 1 y 7 4 0．
（1）求证：不论实数 取何值，直线 l恒过一定点 P；
（2）在（1）的条件下，若直线 l与 x轴相交于点 A，与 y轴相交于点 B，且 P恰为线段 AB的中
19.（满分 17分）
点，求直线 l的斜截式方程．
常用测量距离的方式有 3种，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，定义欧几里得距离
D A,B x x 2 y y 21 2 1 2 ；定义曼哈顿距离M A,B x1 x2 y1 y2 ；定义余弦距
16.（满分 15分） 离 e A,B 1 cos A,B ，其中 cos A,B cos OA,OB (O为坐标原点).
如图，在四棱锥 A BCDE中，AC 平面BCDE， BCD 90 ，DE //BC，且DE CD CA 2，
（1）若 A 1，2 ，B 1， 2 ，求 A,B之间的余弦距离 e A,B ；
BC 4，M 是 AD的中点， N是 AB的中点．
（1）求证：CM 平面 ADE ； （2）若C 4x x2 , x 3 2 ，D 1， ，求 e C,D 的取值范围；
3
（2）求平面 ADE与平面 DEN所成夹角的余弦值． （3）动点 P在直线 y x 2 2上，动点 Q在圆 x y2 1上，求M P,Q 的最小值．
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