新人教版七年级数学上名师点拨与训练第5章一元一次方程5.3实际问题与一元一次方程（3）
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| 名称 | 新人教版七年级数学上名师点拨与训练第5章一元一次方程5.3实际问题与一元一次方程（3） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-18 12:28:38 | ||
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文档简介
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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程（3）
学习目标：
1. 通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息 传递形式的多样性.
2. 会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：列一元一次方程解决球赛积分问题.
难点：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.
老师告诉你
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积
积分多少与胜负场数有关，也与比赛积分规则有关，需要先弄清楚胜负场的积分分别是多少，有时需要通过积分表来表示。
知识点拨
知识点1 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【新知导学】
例1 .某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场
A．1 B．2 C．3 D．5
【对应导练】
1.一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.爸爸和儿子共下12盘棋（未出现和棋）后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了（ ）
A．9盘 B．8盘 C．4盘 D．3盘
3 .甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，甲队胜了 场．
知识点2 积分问题中可能性探究
①阅读表格，从表格中获取关键信息；②从表格中确定胜负一场得分；③列出方程
【新知导学】
例2 .某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
20 0 100
19 1 94
18 2 88
14 6 64
10 10 40
(1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由．
【对应导练】
1.某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（ ）
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
甲 20 0 100
乙 18 2 88
丙 14 6 64
A．32 B．42 C．52 D．62
2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
如下表记录了3个参赛者的得分情况．
(1)由表可知：
参赛者 答对题数 答错题数 总得分
甲 20 0 100
乙 19 1 94
丙 14 6 64
答对1题得 分，答错1题得 分；
(2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？
(3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？
知识点3 相遇问题
速度x时间=路程，符号语言：
速度=路程÷时间，符号语言：
时间=路程÷速度，符号语言：
相遇问题：
总路程=速度和x时间
相遇时间=总路程÷速度和
列车过桥问题：
列车速度x过桥时间=车长+桥长
【新知导学】
例3．已知甲、乙两地相距，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为.快车开出后，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为.设慢车行驶的时间为，快车到达乙地后停止行驶.
根据题意解答下列问题：
(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
(2)当两车之间的距离为时，求快车行驶的路程.
【对应导练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行.M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒.
（1）运动__________秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是__________；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）.
2．由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是120km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h；B车在高速公路上的行驶速度是100km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h，A，B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶.在高速公路上距离丙地40km处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
3 .《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过x日相逢，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
知识点4 追及问题：
追及时间x速度差=追及路程
追及时间=追及路程÷速度差
【新知导学】
例4．A、B两地相距200km，大客车以每小时50km的速度从A地驶向B地，1小时后，小汽车以每小时70km的速度沿着相同的道路同向行驶，设小汽车出发x小时后追上大客车，根据题意可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【对应导练】
1．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. B.
C. D.
2．某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以的速度从学校出发，后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用才能追上队伍，那么可列出的方程是_____.
二、题型训练
1.积分问题
1.一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场．
2.某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小颖一共得82分，则小颖答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2.比赛积分可能性探究
3 .为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
4 .下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
··· ···
（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？
（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
3.相遇问题
5 .“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
6 .已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
4.追及问题
7 .甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是（ ）
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
8 .从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．
（1）求泰州至南京的铁路里程；
（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了( )
A. 7场 B. 6场 C. 5场 D. 4场
2．小偷偷走李力的钱包后以6米/秒的速度逃跑,李力发现时,小偷已逃到24米外,他立即以8米/秒的速度追赶,经过 秒后,他能追上小偷( )
A.4 B.6 C.12 D.24
3．小明和小刚从相距25.2km的两地相向而行,小明每小时走4km,3h后两人相遇;设小刚的速度为x km/h,列方程得( )
A.4+3x=25.2 B.3×4+x=25.2 C.3(4+x)=25.2 D.3(x-4)=25.2
4．某公路的干线上有相距108公里的A,B两个车站，某日16点整，甲，乙两车分别A,B两个车站出发，相向而行，已知甲车的速度为45公里/时，乙车的速度为36公里/时，则相遇的时刻是( )
A. 16时20分 B. 17时20分
C. 17时40分 D. 16时40分
5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设x秒后甲追上乙，则下列四个方程中不正确的是( )
A. B.
C. D.
6．某篮球俱乐部组织的比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,今年某队在全部38场比赛中得到70分,那么这个队今年胜的场次是( )
A.6场 B.31场 C.32场 D.35场
7．小明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分(没有罚球得分)，如果他投进的2分球比3分球多3个，那么他投进的2分球的个数为( ).
A.2 B.3 C.6 D.7
8．如图，甲、乙两人同时沿着边长为的正方形广场，按的顺序跑，甲从出发，速度为，乙从出发，速度为，则当乙第一次追到甲时，他在正方形广场( )
A.边 B.边 C.边 D.边
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ．
10. .长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒，则往返共用的时间为（ ）
A． B． C． D．
11 .某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
12 .一次数学竞赛出了15个选择题，选对一题得4分，选错或不答一题倒扣2分，小明同学做了15题，得42分．设他做对了x道题，则可列方程为_____．
13 .我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14 .某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由．
15 .为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
(1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分；
(2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次．
16 .运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑．
(1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？
(2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？
17 .某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？
18 .A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
(1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？
(2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
19 .双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
（2）求甲车的速度．
（3）乙车出发多长时间，两车相距65km．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程（3）
学习目标：
1. 通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息 传递形式的多样性.
2. 会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：列一元一次方程解决球赛积分问题.
难点：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.
老师告诉你
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
积分多少与胜负场数有关，也与比赛积分规则有关，需要先弄清楚胜负场的积分分别是多少，有时需要通过积分表来表示。
知识点拨
知识点1 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【新知导学】
例1 .某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用：设负场数为，则平场数是，胜场数为，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设负场数为，
则平场数是，胜场数为，
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分，
∴，
∴，
则（场），
故选：D．
【对应导练】
1.一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设小丽做对了道题，则不选或答错了道题，根据小丽得了90分，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，列出一元一次方程即可．
【详解】解：设小丽做对了道题，则不选或答错了道题，
由题意得：，
即，
故选：A．
2.爸爸和儿子共下12盘棋（未出现和棋）后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了（ ）
A．9盘 B．8盘 C．4盘 D．3盘
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，设爸爸赢了x盘棋，根据两人得分相同列方程解答，正确理解题意列得方程是解题的关键．
【详解】解：设爸爸赢了x盘棋，根据题意得
解得，
故选：B．
3 .甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，甲队胜了 场．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程求解．
设甲队胜了场，则甲队平了场，根据相对应的得分及总比赛得分列出方程求解即可得出结论．
【详解】解：设甲队胜了场，则甲队平了场，
由题意得：，
化简得，，
系数化为1得，
答：甲队胜了6场．
故答案为：6．
知识点2 积分问题中可能性探究
①阅读表格，从表格中获取关键信息；②从表格中确定胜负一场得分；③列出方程
【新知导学】
例2 .某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
20 0 100
19 1 94
18 2 88
14 6 64
10 10 40
(1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)5，1；
(2)3道题；
(3)不可能．理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格列出等式是解题关键．
（1）由A参赛者知（分），得这次竞赛中答对一题得5分，由B参赛者知（分），得答错一题扣1分，据此求解即可；
（2）设参赛者答对了x道题，则答错了道题．由题意得：，再计算即可；
（3）不可能．理由如下：设答对了y道题，答错了道题，由题意得，解得：，因为y为正整数，故是不可能的．
【详解】（1）由A参赛者知（分），
∴这次竞赛中答对一题得5分，
由B参赛者知（分）
∴答错一题扣1分；
故答案为：5，1．
（2）设参赛者答对了道题，则答错了道题．
由题意得：，
解得：，
，
答：参赛者得70分，他答错了3道题；
（3）不可能．理由如下：
设答对了道题，答错了道题，
由题意得解得：，
为正整数，
参赛者说他得85分，是不可能的．
【对应导练】
1.某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（ ）
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
甲 20 0 100
乙 18 2 88
丙 14 6 64
A．32 B．42 C．52 D．62
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．由记录表格可知，答对一道题得分，答错一道题扣分，设答对道题，则得分，逐一对选项求解，根据为正整数，即可得到答案．
【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分，
由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分，
丙同学得分也符合；
设答对道题，则答错道题，
得分，且为正整数，
A、，解得：，不符合题意；
B、，解得：，不符合题意；
C、，解得：，符合题意；
D、，解得：，不符合题意；
故选：C．
2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
如下表记录了3个参赛者的得分情况．
(1)由表可知：
参赛者 答对题数 答错题数 总得分
甲 20 0 100
乙 19 1 94
丙 14 6 64
答对1题得 分，答错1题得 分；
(2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？
(3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)，
(2)她答对了道题
(3)参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
（1）根据表格列式计算即可得出答案；
（2）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（3）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分），
答错1题得：（分），
故答案为：，；
（2）解：设她答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得：，
她答对了道题；
（3）解：参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由如下：
设她答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得：，不符合题意，
参赛者戊说他得了80分，是不可能的．
知识点3 相遇问题
速度x时间=路程，符号语言：
速度=路程÷时间，符号语言：
时间=路程÷速度，符号语言：
相遇问题：
总路程=速度和x时间
相遇时间=总路程÷速度和
列车过桥问题：
列车速度x过桥时间=车长+桥长
【新知导学】
例3．已知甲、乙两地相距，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为.快车开出后，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为.设慢车行驶的时间为，快车到达乙地后停止行驶.
根据题意解答下列问题：
(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
(2)当两车之间的距离为时，求快车行驶的路程.
答案：(1)慢车行驶的时间为
(2)快车行驶的路程为或
解析：(1)设慢车行驶的时间为.
由题意，得，
解得.
答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶的时间为.
(2)当两车之间的距离为时，设慢车行驶的时间为.
①若两车相遇前相距，
则，解得，
快车行驶的路程为；
②若两车相遇后相距，
则，
解得，
快车行驶的路程为；
③当快车到达乙地时，快车行驶了，慢车行驶了，，此种情况不存在.
综上所述，当两车之间的距离为时，快车行驶的路程为或.
【对应导练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行.M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒.
（1）运动__________秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是__________；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）.
答案：（1）4，-4
（2）t的值为2或6
解析：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：
，解得：，
.
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：-4.
故答案为：4；-4.
（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了，
若在相遇之前距离为10，则有，
解得：.
若在相遇之后距离为10，则有，
解得：.
综上所述：t的值为2或6.
2．由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是120km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h；B车在高速公路上的行驶速度是100km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h，A，B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶.在高速公路上距离丙地40km处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
答案：528km
解析：如图，设甲乙丙地之间的距离是.
列方程，得，
解这个方程，得.
经检验，是原方程的解，
答：甲、乙两地之间的距离是528千米.
3 .《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过x日相逢，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：
故选：C.
知识点4 追及问题：
追及时间x速度差=追及路程
追及时间=追及路程÷速度差
【新知导学】
例4．A、B两地相距200km，大客车以每小时50km的速度从A地驶向B地，1小时后，小汽车以每小时70km的速度沿着相同的道路同向行驶，设小汽车出发x小时后追上大客车，根据题意可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：设小汽车出发x小时后追上大客车，
则追上大客车时，大客车走过的路程为：，
此时，小客车走过的路程为：，
则：.
故选：B.
【对应导练】
1．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设快马x天可追上慢马，因为慢马先行12天，所以快马追上慢马时，慢马行了天.利用路程=速度×时间，结合快马追上慢马时，快马和慢马行过的路程相等，可得.
2．某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以的速度从学校出发，后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用才能追上队伍，那么可列出的方程是_____.
答案：
解析：小王比队伍晚出发，且小王要用才能追上队伍，
小王追上队伍时，队伍出发了，
依题意得：，
故答案为：.
二、题型训练
1.积分问题
1.一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该队胜了x场，则败了场，根据开局9场保持不败，共积21分列出方程求解即可．
【详解】解：设该队胜了x场，则败了场，
由题意得，，
解得，
∴该队胜了6场，
故答案为：6．
2.某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小颖一共得82分，则小颖答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
设小颖答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小颖答对的个数为x个，
由题意得，
解得，
2.比赛积分可能性探究
3 .为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)计算对了道题
(2)不能，理由见详解
【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题，
（1）设计算对了道题，则不答或错了道题，由此列式求解即可；
（2）由（1）的数量关系列式得，可得，不符合题意，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题，
∴，
解得，，
∴计算对了道题；
（2）解：不能，理由如下，
由（1）可得，，
解得，，
∵为正整数，
∴小明的最后得分不能为，
∴不能．
4 .下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
··· ···
（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？
（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）2,1；（2）E队胜2场，负9场；（3）不可能实现，理由见解析．
【分析】（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．观察积分榜由C球队和D球队即可列出方程组，求出x、y即可．（2）设E队胜a场，则负（11﹣a）场，根据等量关系：E队积分是13分列出方程求解即可；
（3）设后7场胜m场，根据等量关系：D队积分是32分列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．
根据球队C和球队D的数据，可列方程组：，解得：．
故球队胜一场积2分，负一场积1分．
（2）设E队胜a场，则负（11-a）场，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E队胜2场，负9场．
（3）∵D队前11场得17分，∴设后18-11=7场胜m场，
∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能实现．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和．
3.相遇问题
5 .“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
【分析】（1）小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出t；（2）设小张的车速为x，则根据两人相遇时所走的路程相等，可列出等式，即可求得小张的车速．
【详解】(1)设经过t小时相遇，
20t=15t+10，
解方程得：t=2，
所以两人经过两个小时后相遇；
(2)设小张的车速为x千米，则相遇时小张所走的路程为x+x千米，
小李走的路程为：10×=5千米，
所以有：x +x=5+10，
解得x=18千米．
故小张的车速为18千米每小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，难度一般，关键要根据题意找出等量关系，根据等量关系列出等式．
6 .已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.追及问题
7 .甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是（ ）
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
【答案】C
【解答】解：设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，
根据题意得：7x﹣5x＝12，
解得x＝6，
答：甲从出发到刚好追上乙所需要时间是6小时．
故选：C．
8 .从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．
（1）求泰州至南京的铁路里程；
（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？
【解答】解：（1）设泰州至南京的铁路里程是xkm，则，
解得：x＝160．
答：泰州至南京的铁路里程是160 km；
（2）设经过th两车相距40 km．
①当相遇前两车相距40 km时，80t+1.5×80t+40＝160，
解得t＝0.6；
②当相遇后两车相距40 km时，
80t+1.5×80t﹣40＝160．
解得t＝1．
综上所述，经过0.6h或1h两车相距40km．
答：经过0.6h或1h两车相距40km．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了( )
A. 7场 B. 6场 C. 5场 D. 4场
答案：C
解析：设七年级一班胜了x场，那么负了场，
根据题意，得.
解得.
故选C
2．小偷偷走李力的钱包后以6米/秒的速度逃跑,李力发现时,小偷已逃到24米外,他立即以8米/秒的速度追赶,经过 秒后,他能追上小偷( )
A.4 B.6 C.12 D.24
答案：C
解析：设经过x秒后,能追上小偷6x=8x-24,
x=12.
故选C
3．小明和小刚从相距25.2km的两地相向而行,小明每小时走4km,3h后两人相遇;设小刚的速度为x km/h,列方程得( )
A.4+3x=25.2 B.3×4+x=25.2 C.3(4+x)=25.2 D.3(x-4)=25.2
答案：C
解析：要列方程,首先找出题中存在的等量关系:三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米,再根据此等量关系列方程就不难了.
解:设小刚的速度为x千米/时,则3小时两人走的路程为3(4+x),
根据三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米的等量关系
可得到方程:3(4+x)=25.2.
故选C.
4．某公路的干线上有相距108公里的A,B两个车站，某日16点整，甲，乙两车分别A,B两个车站出发，相向而行，已知甲车的速度为45公里/时，乙车的速度为36公里/时，则相遇的时刻是( )
A. 16时20分 B. 17时20分
C. 17时40分 D. 16时40分
答案：B
解析：设经过x小时两车相遇，则.
解得，小时=1小时20分钟.
故相遇的时刻是17时20分.
故选B
5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设x秒后甲追上乙，则下列四个方程中不正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：本题相等关系为“追上乙时甲跑的路程等于乙跑的路程”，甲跑的路程为m，乙跑的路程为m，
故可列方程为，
通过恒等变形又可得到C,D两种形式.
故错误的是B.
6．某篮球俱乐部组织的比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,今年某队在全部38场比赛中得到70分,那么这个队今年胜的场次是( )
A.6场 B.31场 C.32场 D.35场
答案：C
解析：设胜了x场,则负了场,由题意,
得.
解得.
故选C
7．小明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分(没有罚球得分)，如果他投进的2分球比3分球多3个，那么他投进的2分球的个数为( ).
A.2 B.3 C.6 D.7
答案：C
解析：设进2分的球x个，根据题意知，进3分的球为（x-3）个，
2x+3(x-3)=21
解得：x=6
故选C
8．如图，甲、乙两人同时沿着边长为的正方形广场，按的顺序跑，甲从出发，速度为，乙从出发，速度为，则当乙第一次追到甲时，他在正方形广场( )
A.边 B.边 C.边 D.边
答案：C
解析：设当乙第一次追到甲时乙用了分钟，由题意，得
，
解得.
所以乙行驶的路程为米.
所以乙行驶的边数为边.
因为余2.所以乙走了8圈多两边追到甲，
所以乙第一次追到甲时，他在正方形广场的边上.
故选C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ．
【答案】17
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设答对的题数为，根据小明的总分为82分列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：17．
10. .长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒，则往返共用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当甲从排尾到排头和通讯员再从排头返回排尾这两类，分别建立一元一次方程计算得结论．
【详解】解：设甲从排尾到排头用了x(s)，再从排头到排尾用了y(s)．
∵队伍长300米，以2m/s的速度前进，而通讯员以4m/s的速度前进，
∴当甲从排尾到排头时，4x=300+2x，解得x=150(s)．
当甲再从排头返回排尾时，4y=300 2y，解得y=50(s)．
因此甲往返共用的时间为200s．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分类讨论思想．
11 .某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
【答案】140.
【分析】由参赛者A与B可知：答错一题需要扣去8分，设答对一题可得x分，根据题意列出方程即可求出x的值．
【详解】由参赛者A与B可知：答错一题需要扣去8分，
设答对一题可得x分，
由参赛者E可知：10x﹣10×8＝40，
解得：x＝12，
∴答对15道题，答错5道题可得分数为：15×12﹣5×8＝140，
故答案为：140.
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
12 .一次数学竞赛出了15个选择题，选对一题得4分，选错或不答一题倒扣2分，小明同学做了15题，得42分．设他做对了x道题，则可列方程为_____．
【答案】4x﹣2（15﹣x）＝42．
【详解】
解：设他做对了x道题，则做错或不答（15﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（15﹣x）＝42．
故答案为4x﹣2（15﹣x）＝42．
13 .我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
【答案】（240-150）x=150×12
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14 .某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)参赛者答错了3道题
(3)不可能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分答错题所扣分总得分”是关键．
（1）先由选手算出答对一题所得分数，再由选手算出答错一题扣分即可；
（2）设答对了道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可；
（3）设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分答错的得分分”列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
答对一题的得分是：（分），
答错一题的得分是：（分），
故答案为：，；
（2）设参赛者答对了道题，答错了道题，由题意得：
参赛者答错了3道题；
（3）不可能，理由如下：
假设参赛者得分，设答对了道题，答错了道题，由题意得：
，
，
，
为整数，
参赛者说他的得分为分，是不可能的．
15 .为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
(1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分；
(2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次．
【答案】(1)；；
(2)F代表队胜出的场数为7场
【分析】本题考查比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键．
（1）根据代表队的积分情况解出胜一场、平一场、负一场的积分情况；
（2）根据题意，列一元一次方程求解即可.
【详解】（1）解：根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：分；
根据A代表队的积分情况可得平一场的积分情况：分；
根据C代表队的积分情况可得负一场的积分情况：分；
故答案为：；；；
（2）设F代表队胜出的场数为x，则平场为场，
列方程得：，
解方程得：，
答：F代表队胜出的场数为7场．
16 .运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑．
(1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？
(2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？
【答案】(1)两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇．
(2)经过分钟首次相遇
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键；
（1）设经过分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：小明练习骑自行车的路程＋小军练习跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间．
（2）设分钟后首次相遇，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设两人从同一处同时反向出发，经分钟时间首次相遇，
，
解这个方程，得．
答：两人经过分钟首次相遇．
因为第二次两人还是从同一处同时反向出发，
所以又经过分钟再次相遇．
（2）解：设分钟后首次相遇，依题意，
秒分钟
解得：
答： 经过分钟首次相遇．
17 .某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？
【答案】(1)2小时
(2)20千米
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及求代数式的值．
（1）设后队追上前队需要小时，根据题意列出方程，解出即可得出时间；
（2）由（1）得出时间，再由路程等于速度乘以时间即可得出联络员走的路程．
【详解】（1）解：设后队追上前队需要小时，
由题意得∶，
解得∶．
故后队追上前队需要2小时；
（2）由（1）知后队追上前队的时间为2个小时，
∴联络员骑车的路程：．
故后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米．
18 .A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
(1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？
(2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
【答案】(1)两人相遇时离B地有36千米；
(2)小时后乙超过甲10千米．
【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找出等量关系．
（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；
（2）设y小时后乙追上甲，那么y小时甲走了千米，乙走了千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
【详解】（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，
根据题意得：，
解方程得：，
∴千米，
答：两人相遇时离B地有36千米；
（2）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则y小时后乙超过甲10千米，
根据题意得：，
解方程得：，
答：小时后乙超过甲10千米．
19 .双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
（2）求甲车的速度．
（3）乙车出发多长时间，两车相距65km．
【思路点拨】
（1）根据距离=速度×时间即可得答案；
（2）根据BC的距离及AB的距离，可得AC的距离，根据距离=速度×时间即可得答案；
（3）分两车相遇前相距65km和相遇后相距65km两种情况，根据距离=速度×时间即可得答案．
【解题过程】
（1）∵甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，乙车继续行驶0.5h也到C地，
∴乙车的速度是35÷0.5=70(km/h)，
∵乙车从B地到达C地共用2.5h，
∴B、C两地的距离是70×2.5=175(km)，
故答案为：70，175
（2）∵AB两地相距335km，B、C两地的距离是175km，
∴A、C两地的距离是335-175=160(km)，
∵行驶2h时，甲车先到达配货站C地，
∴160÷2=80（km/h）．
答：甲车的速度是80km/h．
（3）设乙车出发xh两车相距65km．
①两车相遇前相距65km时，
∴70x+80x+65=335，
解得：x=1.8，
②两车相遇后相距65km时，
∵甲车在C地用1h配货，
∴甲车行驶（x-1）h，
∴70x+80(x-1)-65=335，
解得：x=3.2，
答：乙车出发1.8h或3.2h时，两车相距65km．
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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程（3）
学习目标：
1. 通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息 传递形式的多样性.
2. 会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：列一元一次方程解决球赛积分问题.
难点：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.
老师告诉你
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积
积分多少与胜负场数有关，也与比赛积分规则有关，需要先弄清楚胜负场的积分分别是多少，有时需要通过积分表来表示。
知识点拨
知识点1 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【新知导学】
例1 .某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场
A．1 B．2 C．3 D．5
【对应导练】
1.一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.爸爸和儿子共下12盘棋（未出现和棋）后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了（ ）
A．9盘 B．8盘 C．4盘 D．3盘
3 .甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，甲队胜了 场．
知识点2 积分问题中可能性探究
①阅读表格，从表格中获取关键信息；②从表格中确定胜负一场得分；③列出方程
【新知导学】
例2 .某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
20 0 100
19 1 94
18 2 88
14 6 64
10 10 40
(1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由．
【对应导练】
1.某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（ ）
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
甲 20 0 100
乙 18 2 88
丙 14 6 64
A．32 B．42 C．52 D．62
2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
如下表记录了3个参赛者的得分情况．
(1)由表可知：
参赛者 答对题数 答错题数 总得分
甲 20 0 100
乙 19 1 94
丙 14 6 64
答对1题得 分，答错1题得 分；
(2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？
(3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？
知识点3 相遇问题
速度x时间=路程，符号语言：
速度=路程÷时间，符号语言：
时间=路程÷速度，符号语言：
相遇问题：
总路程=速度和x时间
相遇时间=总路程÷速度和
列车过桥问题：
列车速度x过桥时间=车长+桥长
【新知导学】
例3．已知甲、乙两地相距，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为.快车开出后，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为.设慢车行驶的时间为，快车到达乙地后停止行驶.
根据题意解答下列问题：
(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
(2)当两车之间的距离为时，求快车行驶的路程.
【对应导练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行.M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒.
（1）运动__________秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是__________；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）.
2．由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是120km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h；B车在高速公路上的行驶速度是100km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h，A，B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶.在高速公路上距离丙地40km处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
3 .《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过x日相逢，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
知识点4 追及问题：
追及时间x速度差=追及路程
追及时间=追及路程÷速度差
【新知导学】
例4．A、B两地相距200km，大客车以每小时50km的速度从A地驶向B地，1小时后，小汽车以每小时70km的速度沿着相同的道路同向行驶，设小汽车出发x小时后追上大客车，根据题意可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【对应导练】
1．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. B.
C. D.
2．某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以的速度从学校出发，后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用才能追上队伍，那么可列出的方程是_____.
二、题型训练
1.积分问题
1.一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场．
2.某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小颖一共得82分，则小颖答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2.比赛积分可能性探究
3 .为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
4 .下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
··· ···
（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？
（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
3.相遇问题
5 .“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
6 .已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
4.追及问题
7 .甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是（ ）
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
8 .从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．
（1）求泰州至南京的铁路里程；
（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了( )
A. 7场 B. 6场 C. 5场 D. 4场
2．小偷偷走李力的钱包后以6米/秒的速度逃跑,李力发现时,小偷已逃到24米外,他立即以8米/秒的速度追赶,经过 秒后,他能追上小偷( )
A.4 B.6 C.12 D.24
3．小明和小刚从相距25.2km的两地相向而行,小明每小时走4km,3h后两人相遇;设小刚的速度为x km/h,列方程得( )
A.4+3x=25.2 B.3×4+x=25.2 C.3(4+x)=25.2 D.3(x-4)=25.2
4．某公路的干线上有相距108公里的A,B两个车站，某日16点整，甲，乙两车分别A,B两个车站出发，相向而行，已知甲车的速度为45公里/时，乙车的速度为36公里/时，则相遇的时刻是( )
A. 16时20分 B. 17时20分
C. 17时40分 D. 16时40分
5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设x秒后甲追上乙，则下列四个方程中不正确的是( )
A. B.
C. D.
6．某篮球俱乐部组织的比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,今年某队在全部38场比赛中得到70分,那么这个队今年胜的场次是( )
A.6场 B.31场 C.32场 D.35场
7．小明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分(没有罚球得分)，如果他投进的2分球比3分球多3个，那么他投进的2分球的个数为( ).
A.2 B.3 C.6 D.7
8．如图，甲、乙两人同时沿着边长为的正方形广场，按的顺序跑，甲从出发，速度为，乙从出发，速度为，则当乙第一次追到甲时，他在正方形广场( )
A.边 B.边 C.边 D.边
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ．
10. .长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒，则往返共用的时间为（ ）
A． B． C． D．
11 .某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
12 .一次数学竞赛出了15个选择题，选对一题得4分，选错或不答一题倒扣2分，小明同学做了15题，得42分．设他做对了x道题，则可列方程为_____．
13 .我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14 .某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由．
15 .为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
(1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分；
(2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次．
16 .运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑．
(1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？
(2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？
17 .某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？
18 .A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
(1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？
(2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
19 .双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
（2）求甲车的速度．
（3）乙车出发多长时间，两车相距65km．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程（3）
学习目标：
1. 通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息 传递形式的多样性.
2. 会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：列一元一次方程解决球赛积分问题.
难点：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.
老师告诉你
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
积分多少与胜负场数有关，也与比赛积分规则有关，需要先弄清楚胜负场的积分分别是多少，有时需要通过积分表来表示。
知识点拨
知识点1 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【新知导学】
例1 .某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用：设负场数为，则平场数是，胜场数为，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设负场数为，
则平场数是，胜场数为，
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分，
∴，
∴，
则（场），
故选：D．
【对应导练】
1.一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设小丽做对了道题，则不选或答错了道题，根据小丽得了90分，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，列出一元一次方程即可．
【详解】解：设小丽做对了道题，则不选或答错了道题，
由题意得：，
即，
故选：A．
2.爸爸和儿子共下12盘棋（未出现和棋）后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了（ ）
A．9盘 B．8盘 C．4盘 D．3盘
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，设爸爸赢了x盘棋，根据两人得分相同列方程解答，正确理解题意列得方程是解题的关键．
【详解】解：设爸爸赢了x盘棋，根据题意得
解得，
故选：B．
3 .甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，甲队胜了 场．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程求解．
设甲队胜了场，则甲队平了场，根据相对应的得分及总比赛得分列出方程求解即可得出结论．
【详解】解：设甲队胜了场，则甲队平了场，
由题意得：，
化简得，，
系数化为1得，
答：甲队胜了6场．
故答案为：6．
知识点2 积分问题中可能性探究
①阅读表格，从表格中获取关键信息；②从表格中确定胜负一场得分；③列出方程
【新知导学】
例2 .某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
20 0 100
19 1 94
18 2 88
14 6 64
10 10 40
(1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)5，1；
(2)3道题；
(3)不可能．理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格列出等式是解题关键．
（1）由A参赛者知（分），得这次竞赛中答对一题得5分，由B参赛者知（分），得答错一题扣1分，据此求解即可；
（2）设参赛者答对了x道题，则答错了道题．由题意得：，再计算即可；
（3）不可能．理由如下：设答对了y道题，答错了道题，由题意得，解得：，因为y为正整数，故是不可能的．
【详解】（1）由A参赛者知（分），
∴这次竞赛中答对一题得5分，
由B参赛者知（分）
∴答错一题扣1分；
故答案为：5，1．
（2）设参赛者答对了道题，则答错了道题．
由题意得：，
解得：，
，
答：参赛者得70分，他答错了3道题；
（3）不可能．理由如下：
设答对了道题，答错了道题，
由题意得解得：，
为正整数，
参赛者说他得85分，是不可能的．
【对应导练】
1.某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（ ）
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
甲 20 0 100
乙 18 2 88
丙 14 6 64
A．32 B．42 C．52 D．62
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．由记录表格可知，答对一道题得分，答错一道题扣分，设答对道题，则得分，逐一对选项求解，根据为正整数，即可得到答案．
【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分，
由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分，
丙同学得分也符合；
设答对道题，则答错道题，
得分，且为正整数，
A、，解得：，不符合题意；
B、，解得：，不符合题意；
C、，解得：，符合题意；
D、，解得：，不符合题意；
故选：C．
2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
如下表记录了3个参赛者的得分情况．
(1)由表可知：
参赛者 答对题数 答错题数 总得分
甲 20 0 100
乙 19 1 94
丙 14 6 64
答对1题得 分，答错1题得 分；
(2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？
(3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)，
(2)她答对了道题
(3)参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
（1）根据表格列式计算即可得出答案；
（2）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（3）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分），
答错1题得：（分），
故答案为：，；
（2）解：设她答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得：，
她答对了道题；
（3）解：参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由如下：
设她答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得：，不符合题意，
参赛者戊说他得了80分，是不可能的．
知识点3 相遇问题
速度x时间=路程，符号语言：
速度=路程÷时间，符号语言：
时间=路程÷速度，符号语言：
相遇问题：
总路程=速度和x时间
相遇时间=总路程÷速度和
列车过桥问题：
列车速度x过桥时间=车长+桥长
【新知导学】
例3．已知甲、乙两地相距，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为.快车开出后，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为.设慢车行驶的时间为，快车到达乙地后停止行驶.
根据题意解答下列问题：
(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
(2)当两车之间的距离为时，求快车行驶的路程.
答案：(1)慢车行驶的时间为
(2)快车行驶的路程为或
解析：(1)设慢车行驶的时间为.
由题意，得，
解得.
答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶的时间为.
(2)当两车之间的距离为时，设慢车行驶的时间为.
①若两车相遇前相距，
则，解得，
快车行驶的路程为；
②若两车相遇后相距，
则，
解得，
快车行驶的路程为；
③当快车到达乙地时，快车行驶了，慢车行驶了，，此种情况不存在.
综上所述，当两车之间的距离为时，快车行驶的路程为或.
【对应导练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行.M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒.
（1）运动__________秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是__________；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）.
答案：（1）4，-4
（2）t的值为2或6
解析：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：
，解得：，
.
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：-4.
故答案为：4；-4.
（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了，
若在相遇之前距离为10，则有，
解得：.
若在相遇之后距离为10，则有，
解得：.
综上所述：t的值为2或6.
2．由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是120km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h；B车在高速公路上的行驶速度是100km/h，在普通公路上的行驶速度是80km/h，A，B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶.在高速公路上距离丙地40km处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
答案：528km
解析：如图，设甲乙丙地之间的距离是.
列方程，得，
解这个方程，得.
经检验，是原方程的解，
答：甲、乙两地之间的距离是528千米.
3 .《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安.问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过x日相逢，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：
故选：C.
知识点4 追及问题：
追及时间x速度差=追及路程
追及时间=追及路程÷速度差
【新知导学】
例4．A、B两地相距200km，大客车以每小时50km的速度从A地驶向B地，1小时后，小汽车以每小时70km的速度沿着相同的道路同向行驶，设小汽车出发x小时后追上大客车，根据题意可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：设小汽车出发x小时后追上大客车，
则追上大客车时，大客车走过的路程为：，
此时，小客车走过的路程为：，
则：.
故选：B.
【对应导练】
1．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设快马x天可追上慢马，因为慢马先行12天，所以快马追上慢马时，慢马行了天.利用路程=速度×时间，结合快马追上慢马时，快马和慢马行过的路程相等，可得.
2．某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以的速度从学校出发，后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用才能追上队伍，那么可列出的方程是_____.
答案：
解析：小王比队伍晚出发，且小王要用才能追上队伍，
小王追上队伍时，队伍出发了，
依题意得：，
故答案为：.
二、题型训练
1.积分问题
1.一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该队胜了x场，则败了场，根据开局9场保持不败，共积21分列出方程求解即可．
【详解】解：设该队胜了x场，则败了场，
由题意得，，
解得，
∴该队胜了6场，
故答案为：6．
2.某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小颖一共得82分，则小颖答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
设小颖答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小颖答对的个数为x个，
由题意得，
解得，
2.比赛积分可能性探究
3 .为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)计算对了道题
(2)不能，理由见详解
【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题，
（1）设计算对了道题，则不答或错了道题，由此列式求解即可；
（2）由（1）的数量关系列式得，可得，不符合题意，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题，
∴，
解得，，
∴计算对了道题；
（2）解：不能，理由如下，
由（1）可得，，
解得，，
∵为正整数，
∴小明的最后得分不能为，
∴不能．
4 .下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
··· ···
（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？
（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）2,1；（2）E队胜2场，负9场；（3）不可能实现，理由见解析．
【分析】（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．观察积分榜由C球队和D球队即可列出方程组，求出x、y即可．（2）设E队胜a场，则负（11﹣a）场，根据等量关系：E队积分是13分列出方程求解即可；
（3）设后7场胜m场，根据等量关系：D队积分是32分列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．
根据球队C和球队D的数据，可列方程组：，解得：．
故球队胜一场积2分，负一场积1分．
（2）设E队胜a场，则负（11-a）场，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E队胜2场，负9场．
（3）∵D队前11场得17分，∴设后18-11=7场胜m场，
∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能实现．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和．
3.相遇问题
5 .“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
【分析】（1）小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出t；（2）设小张的车速为x，则根据两人相遇时所走的路程相等，可列出等式，即可求得小张的车速．
【详解】(1)设经过t小时相遇，
20t=15t+10，
解方程得：t=2，
所以两人经过两个小时后相遇；
(2)设小张的车速为x千米，则相遇时小张所走的路程为x+x千米，
小李走的路程为：10×=5千米，
所以有：x +x=5+10，
解得x=18千米．
故小张的车速为18千米每小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，难度一般，关键要根据题意找出等量关系，根据等量关系列出等式．
6 .已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.追及问题
7 .甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是（ ）
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
【答案】C
【解答】解：设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，
根据题意得：7x﹣5x＝12，
解得x＝6，
答：甲从出发到刚好追上乙所需要时间是6小时．
故选：C．
8 .从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．
（1）求泰州至南京的铁路里程；
（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？
【解答】解：（1）设泰州至南京的铁路里程是xkm，则，
解得：x＝160．
答：泰州至南京的铁路里程是160 km；
（2）设经过th两车相距40 km．
①当相遇前两车相距40 km时，80t+1.5×80t+40＝160，
解得t＝0.6；
②当相遇后两车相距40 km时，
80t+1.5×80t﹣40＝160．
解得t＝1．
综上所述，经过0.6h或1h两车相距40km．
答：经过0.6h或1h两车相距40km．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了( )
A. 7场 B. 6场 C. 5场 D. 4场
答案：C
解析：设七年级一班胜了x场，那么负了场，
根据题意，得.
解得.
故选C
2．小偷偷走李力的钱包后以6米/秒的速度逃跑,李力发现时,小偷已逃到24米外,他立即以8米/秒的速度追赶,经过 秒后,他能追上小偷( )
A.4 B.6 C.12 D.24
答案：C
解析：设经过x秒后,能追上小偷6x=8x-24,
x=12.
故选C
3．小明和小刚从相距25.2km的两地相向而行,小明每小时走4km,3h后两人相遇;设小刚的速度为x km/h,列方程得( )
A.4+3x=25.2 B.3×4+x=25.2 C.3(4+x)=25.2 D.3(x-4)=25.2
答案：C
解析：要列方程,首先找出题中存在的等量关系:三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米,再根据此等量关系列方程就不难了.
解:设小刚的速度为x千米/时,则3小时两人走的路程为3(4+x),
根据三小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米的等量关系
可得到方程:3(4+x)=25.2.
故选C.
4．某公路的干线上有相距108公里的A,B两个车站，某日16点整，甲，乙两车分别A,B两个车站出发，相向而行，已知甲车的速度为45公里/时，乙车的速度为36公里/时，则相遇的时刻是( )
A. 16时20分 B. 17时20分
C. 17时40分 D. 16时40分
答案：B
解析：设经过x小时两车相遇，则.
解得，小时=1小时20分钟.
故相遇的时刻是17时20分.
故选B
5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设x秒后甲追上乙，则下列四个方程中不正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：本题相等关系为“追上乙时甲跑的路程等于乙跑的路程”，甲跑的路程为m，乙跑的路程为m，
故可列方程为，
通过恒等变形又可得到C,D两种形式.
故错误的是B.
6．某篮球俱乐部组织的比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,今年某队在全部38场比赛中得到70分,那么这个队今年胜的场次是( )
A.6场 B.31场 C.32场 D.35场
答案：C
解析：设胜了x场,则负了场,由题意,
得.
解得.
故选C
7．小明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分(没有罚球得分)，如果他投进的2分球比3分球多3个，那么他投进的2分球的个数为( ).
A.2 B.3 C.6 D.7
答案：C
解析：设进2分的球x个，根据题意知，进3分的球为（x-3）个，
2x+3(x-3)=21
解得：x=6
故选C
8．如图，甲、乙两人同时沿着边长为的正方形广场，按的顺序跑，甲从出发，速度为，乙从出发，速度为，则当乙第一次追到甲时，他在正方形广场( )
A.边 B.边 C.边 D.边
答案：C
解析：设当乙第一次追到甲时乙用了分钟，由题意，得
，
解得.
所以乙行驶的路程为米.
所以乙行驶的边数为边.
因为余2.所以乙走了8圈多两边追到甲，
所以乙第一次追到甲时，他在正方形广场的边上.
故选C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ．
【答案】17
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设答对的题数为，根据小明的总分为82分列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：17．
10. .长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒，则往返共用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当甲从排尾到排头和通讯员再从排头返回排尾这两类，分别建立一元一次方程计算得结论．
【详解】解：设甲从排尾到排头用了x(s)，再从排头到排尾用了y(s)．
∵队伍长300米，以2m/s的速度前进，而通讯员以4m/s的速度前进，
∴当甲从排尾到排头时，4x=300+2x，解得x=150(s)．
当甲再从排头返回排尾时，4y=300 2y，解得y=50(s)．
因此甲往返共用的时间为200s．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分类讨论思想．
11 .某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
【答案】140.
【分析】由参赛者A与B可知：答错一题需要扣去8分，设答对一题可得x分，根据题意列出方程即可求出x的值．
【详解】由参赛者A与B可知：答错一题需要扣去8分，
设答对一题可得x分，
由参赛者E可知：10x﹣10×8＝40，
解得：x＝12，
∴答对15道题，答错5道题可得分数为：15×12﹣5×8＝140，
故答案为：140.
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
12 .一次数学竞赛出了15个选择题，选对一题得4分，选错或不答一题倒扣2分，小明同学做了15题，得42分．设他做对了x道题，则可列方程为_____．
【答案】4x﹣2（15﹣x）＝42．
【详解】
解：设他做对了x道题，则做错或不答（15﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（15﹣x）＝42．
故答案为4x﹣2（15﹣x）＝42．
13 .我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
【答案】（240-150）x=150×12
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14 .某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
100
(1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？
(3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)参赛者答错了3道题
(3)不可能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分答错题所扣分总得分”是关键．
（1）先由选手算出答对一题所得分数，再由选手算出答错一题扣分即可；
（2）设答对了道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可；
（3）设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分答错的得分分”列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
答对一题的得分是：（分），
答错一题的得分是：（分），
故答案为：，；
（2）设参赛者答对了道题，答错了道题，由题意得：
参赛者答错了3道题；
（3）不可能，理由如下：
假设参赛者得分，设答对了道题，答错了道题，由题意得：
，
，
，
为整数，
参赛者说他的得分为分，是不可能的．
15 .为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
(1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分；
(2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次．
【答案】(1)；；
(2)F代表队胜出的场数为7场
【分析】本题考查比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键．
（1）根据代表队的积分情况解出胜一场、平一场、负一场的积分情况；
（2）根据题意，列一元一次方程求解即可.
【详解】（1）解：根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：分；
根据A代表队的积分情况可得平一场的积分情况：分；
根据C代表队的积分情况可得负一场的积分情况：分；
故答案为：；；；
（2）设F代表队胜出的场数为x，则平场为场，
列方程得：，
解方程得：，
答：F代表队胜出的场数为7场．
16 .运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑．
(1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？
(2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？
【答案】(1)两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇．
(2)经过分钟首次相遇
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键；
（1）设经过分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：小明练习骑自行车的路程＋小军练习跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间．
（2）设分钟后首次相遇，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设两人从同一处同时反向出发，经分钟时间首次相遇，
，
解这个方程，得．
答：两人经过分钟首次相遇．
因为第二次两人还是从同一处同时反向出发，
所以又经过分钟再次相遇．
（2）解：设分钟后首次相遇，依题意，
秒分钟
解得：
答： 经过分钟首次相遇．
17 .某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？
【答案】(1)2小时
(2)20千米
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及求代数式的值．
（1）设后队追上前队需要小时，根据题意列出方程，解出即可得出时间；
（2）由（1）得出时间，再由路程等于速度乘以时间即可得出联络员走的路程．
【详解】（1）解：设后队追上前队需要小时，
由题意得∶，
解得∶．
故后队追上前队需要2小时；
（2）由（1）知后队追上前队的时间为2个小时，
∴联络员骑车的路程：．
故后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米．
18 .A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
(1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？
(2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
【答案】(1)两人相遇时离B地有36千米；
(2)小时后乙超过甲10千米．
【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找出等量关系．
（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；
（2）设y小时后乙追上甲，那么y小时甲走了千米，乙走了千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
【详解】（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，
根据题意得：，
解方程得：，
∴千米，
答：两人相遇时离B地有36千米；
（2）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则y小时后乙超过甲10千米，
根据题意得：，
解方程得：，
答：小时后乙超过甲10千米．
19 .双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
（2）求甲车的速度．
（3）乙车出发多长时间，两车相距65km．
【思路点拨】
（1）根据距离=速度×时间即可得答案；
（2）根据BC的距离及AB的距离，可得AC的距离，根据距离=速度×时间即可得答案；
（3）分两车相遇前相距65km和相遇后相距65km两种情况，根据距离=速度×时间即可得答案．
【解题过程】
（1）∵甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，乙车继续行驶0.5h也到C地，
∴乙车的速度是35÷0.5=70(km/h)，
∵乙车从B地到达C地共用2.5h，
∴B、C两地的距离是70×2.5=175(km)，
故答案为：70，175
（2）∵AB两地相距335km，B、C两地的距离是175km，
∴A、C两地的距离是335-175=160(km)，
∵行驶2h时，甲车先到达配货站C地，
∴160÷2=80（km/h）．
答：甲车的速度是80km/h．
（3）设乙车出发xh两车相距65km．
①两车相遇前相距65km时，
∴70x+80x+65=335，
解得：x=1.8，
②两车相遇后相距65km时，
∵甲车在C地用1h配货，
∴甲车行驶（x-1）h，
∴70x+80(x-1)-65=335，
解得：x=3.2，
答：乙车出发1.8h或3.2h时，两车相距65km．
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