新人教版七年级数学上名师点拨与训练第5章 一元一次方程专题 一元一次方程解法探究

中小学教育资源及组卷应用平台
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
专题 一元一次方程解法探究
老师告诉你
一元一次方程潜存着许多解题技巧，只要在解题过程中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则就可以达到事半功倍的效果．
类型一、一般解法
去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为一
【例1】．关于x的方程 的解与2k-4x=2x+1的解相同，求 k的值.
【变式1-1】解方程：
【变式1-2】．有三个整式，从中任选两个整式构建一个方程，并解方程．
【变式1-3】．已知的值比的值大1，求a的值．
【变式1-4】．当x为何值时，代数式 比 大1
【变式1-5】．解方程
（1）
（2）
类型二、系数化整
方程中的分子、分母系数不是整数的方程，利用分数的基本性质分子、分母同乘以一个适当的数化为整数。
【例2】解方程，
【变式2-1】 解方程：
【变式2-2】．解方程：
【变式2-3】．解方程：
【变式2-4】．解方程：
=0.5．
类型三、由外向内去括号
【例3】解方程：
【变式3-1】解方程：.
【变式3-2】解方程：．
【变式3-3】解方程：．
类型四、 去中括号
【例4】解方程：.
【变式4-1】解方程：X - =(x-9)
【变式4-2】解方程: +2=0
类型五 、步步去分母
【例5】解方程：
【变式5-1】解方程：-6=-2
类型六 、利用倒数关系去括号
【例6】解方程：.
【变式6-1】解方程：.
【变式6-2】解方程.，
类型七、整体代入解方程
当分式中式子有共同特征时，可以把这个式子看成一个整体，先求出这个整体的值，再求未知数的值。
【例7】在解方程时，可分别将、看成整体进行移项、合并同类项，得方程，继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
【变式7-1】解方程：（x﹣7）＝6（x﹣7）．
【变式7-2】解方程：．
【变式7-3】关于x的一元一次方程的解为x= -2022，则关于y的方程的解为______．
【变式7-4】，且，
解方程．
类型八、先拆分，再合并
【例8】解方程：
．
【变式8-1】解方程：+．
【变式8-2】解方程：－＝
【变式8-3】解方程：＋＋＋＝1.
类型九、换元法解方程
当分式中式子有共同特征时，可以用同一个字母表示这个共同特征，即换元。
【例9】已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣2023，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（　　）
A．y＝2022 B．y＝﹣2022 C．y＝﹣2021 D．y＝﹣2024
【变式9-1】关于x的一元一次方程的解为x= -2023，则关于y的方程的解为______．
【变式9-2】解方程
类型十、局部通分解方程
【例10】解方程：．
【变式10-1】解方程：．
【变式10-2】解方程：．
【变式10-3】解方程：．
类型十一、拆项解方程
【例11】方程：的解为　 　．
【变式11-1】．方程的解是x=（　　）．
A． B． C． D．
【变式11-2】观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：．
(1)猜想并写出：　　；
(2)解方程：．
【变式11-3】解方程：
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
专题 一元一次方程解法探究
老师告诉你
一元一次方程潜存着许多解题技巧，只要在解题过程中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则就可以达到事半功倍的效果．
类型一、一般解法
去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为一
【例1】．关于x的方程 的解与2k-4x=2x+1的解相同，求 k的值.
【答案】解：
解得：x=-1
将x=-1代入2k-4x=2x+1，
得2k-4×(-1)=2×(-1)+1
解得：
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】先解x的方程 ，可得x=-1，再代入2k-4x=2x+1，得到关于k的一元一次方程，再解方程即可求出答案.
【变式1-1】解方程：
【答案】解：由方程，
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程的求法，根据一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
【变式1-2】．有三个整式，从中任选两个整式构建一个方程，并解方程．
【答案】解：当时：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并得：，
系数化1，得：；
当时，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
当时，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先组成方程，再去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
【变式1-3】．已知的值比的值大1，求a的值．
【答案】解：根据题意，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先根据题意即可列出一元一次方程，进而解一元一次方程即可求解。
【变式1-4】．当x为何值时，代数式 比 大1
【答案】解：根据题意，得
去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)=6.
去括号、得4. x-2-15x-3=6、
移项、合并同类项，得-11. x=11，解得x=-1.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】先根据题意，列出含有分母的一元一次方程，再通过“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求得方程的解.
【变式1-5】．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴
∴
∴
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）先去分母得：，再去括号得：，合并同类项得：，最后系数化为1得：.
（2）方程去分母得到：
去括号，移项合并可得，最后系数化为1可得：．
（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
类型二、系数化整
方程中的分子、分母系数不是整数的方程，利用分数的基本性质分子、分母同乘以一个适当的数化为整数。
【例2】解方程，
【答案】解：方程 变形为 ，
去分母得 ，
去括号合并同类项得-10x+60=0，
移项得-10x=-60，
系数化为1得x=6.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】首先根据分数的性质把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可。
【变式2-1】 解方程：
【答案】解：x=
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】
解：将原方程化为：
去分母得：
去括号得：
移项、合并同类项得：170x=140，
系数化为1得： x= ，
【分析】先将小数化为整数，再根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可求解.
【变式2-2】．解方程：
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的求解步骤进行求解即可.
【变式2-3】．解方程：
【答案】解：原方程可化为：，
去分母得：3（20x-10）=70x-3，
去括号得：60x-30=70x-3，
移项得；60x-70x=-3+30，
合并同类项得：-10x=27，
系数化为1得：x=.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】由题意先将原方程中的小数化为整数，然后根据一元一次方程的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算可求解.
【变式2-4】．解方程：
=0.5．
【答案】解：将原方程化为=0.5
去分母，得.5x-(1.5-x)=1．
去括号，得5x-1.5+x=1．
移项，合并同类项，得6x=2.5．
∴x=
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算可求解.
类型三、由外向内去括号
【例3】解方程：
【答案】解：整理得：
去分母得，
去括号得：
移项，合并同类项得，
系数化为，得：；
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤，先整理方程，再去分母，去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1，解方程求解即可。
【变式3-1】解方程：.
解：去括号，得，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得.
【变式3-2】解方程：．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了一元一次方程，解题的关键是熟悉一元一次方程的解题步骤．
【变式3-3】解方程：．
【分析】根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1，求出方程的解即可．
【详解】解：
去括号得：x﹣1﹣3﹣x＝2，
合并同类项得：x＝6，
系数化为1得：x＝﹣8．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号是解题的关键．
类型四、 去中括号
【例4】解方程：.
答案：去中括号，得.
将看作一个整体，
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得.
【变式4-1】解方程：X - =(x-9)
解：原方程可化为x－x＋(x－9)－(x－9)＝0.
合并同类项，得x＝0.
系数化为1，得x＝0.
【变式4-2】解方程: +2=0
解：去中括号，得－2＋2＝0.
去小括号，得x－＝0.
移项，得x＝.
系数化为1，得x＝3.
类型五 、步步去分母
【例5】解方程：
答案：移项，得.
方程的两边都先乘2，再加上3，得.
方程的两边都先乘2，再加上3，得.
方程的两边都先乘2，再加上3，得.
方程的两边都乘2，得.
【变式5-1】解方程：-6=-2
【答案】x=180
【分析】步步去分母即可。
方程的两边都先乘3，再加上6，得（x-6）=18
方程的两边都先乘3，再加上6，得x =60
方程的两边都乘3，得：x=180
类型六 、利用倒数关系去括号
【例6】解方程：.
答案：原方程可化为.
整理，得.
方程两边都乘5，得.
方程两边都乘3，得.
解得.
【变式6-1】解方程：.
答案：去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得.
【变式6-2】解方程.，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：.
类型七、整体代入解方程
当分式中式子有共同特征时，可以把这个式子看成一个整体，先求出这个整体的值，再求未知数的值。
【例7】在解方程时，可分别将、看成整体进行移项、合并同类项，得方程，继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
.
答案：分别将、看成整体进行移项、合并同类项，
得方程，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得.
【变式7-1】解方程：（x﹣7）＝6（x﹣7）．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】解：．
+=6，
=6
∴原方程的解为．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式7-2】解方程：．
【答案】
【详解】解：．
+=1，
2=1
=
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法是解题的关键．
【变式7-3】关于x的一元一次方程的解为x= -2022，则关于y的方程的解为______．
【答案】2024
【详解】∵的解为x= -2022，
，
∴x=3-y，
∴3-y= -2022，
解得y=2025，
故答案为：2025．
【变式7-4】，且，
解方程．
【答案】解：∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据分式的性质将原方程变形为，然后用1替换第二及第三个分式中abc可得，进而根据同分母分式的加法法则计算方程的左边并约分后可得2x=1，从而此题可解了.
类型八、先拆分，再合并
【例8】解方程：
．
【答案】
解：原方程可化为．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】按照解一元一次方程的步骤，正确解答方程即可。
【变式8-1】解方程：+．
【答案】
【详解】解：+．，
方程整理得：+，
解得．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式8-2】解方程：－＝
解：拆项，得－－＋＝2－.
移项、合并同类项，得＝2.
系数化为1，得x＝4.
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式8-3】解方程：＋＋＋＝1.
解：拆项，得＋＋＋＝1.
整理得x－＝1.解得x＝.
类型九、换元法解方程
当分式中式子有共同特征时，可以用同一个字母表示这个共同特征，即换元。
【例9】已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣2023，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（　　）
A．y＝2022 B．y＝﹣2022 C．y＝﹣2021 D．y＝﹣2024
【答案】D
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣2023，
∴关于的方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y+1= -2023，
解得：y= -2024，
故选D．
【变式9-1】关于x的一元一次方程的解为x= -2023，则关于y的方程的解为______．
【答案】2022
【详解】∵的解为x=-2023，
，
∴x=3-y，
∴3-y=-2023，
解得y=2026，
故答案为：2026.
【变式9-2】解方程
【分析】先去分母，方程两端同乘各分母的最小公倍数，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【详解】解设y=2x+5.原方程化为y +y -y=0
y =0; y=0
2x+5=0 解得：x，
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
类型十、局部通分解方程
【例10】解方程：．
【答案】
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得．
化简，得．
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便.
【变式10-1】解方程：．
【答案】
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得．
化简，得．
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式10-2】解方程：．
【答案】．
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得．
化简，得．
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式10-3】解方程：．
【答案】．
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得．
化简，得．
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
类型十一、拆项解方程
【例11】方程：的解为　 　．
【答案】2022
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先逆用分配律，将放到括号外，再将括号里的分数拆项求和，最后解出方程.
【变式11-1】．方程的解是x=（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：原式=
即，
去分母得：，
解得：
故答案为：C．
【分析】由，，，可以得到，然后把方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【变式11-2】观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：．
(1)猜想并写出：　　；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）利用分母是两个连续的自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成分子是1，分母是这两个自然数的差，进而总结出规律；
（2）根据（1）的规律把原方程变形为，进一步合并得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
……，
以此类推，，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【变式11-3】解方程：
【答案】
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】
裂项，得
化简，得
通分，得
系数化为1，得
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)