浙江省杭州东方中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·西湖期末）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由集合，
根据集合交集的运算和概念，可得.
故选：B.
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．（2024高一上·西湖期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】由三角函数的诱导公式，可得：.
故选：A.
【分析】本题主要考查了三角函数的诱导公式及应用，利用诱导公式将大角变小角，结合特殊角的三角函数，即可求解.
3．（2024高一上·西湖期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由函数在区间上为单调递增函数，
当时，在上为单调递增函数，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
【分析】本题主要考查了函数的单调性的应用，根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
4．（2024高一上·西湖期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：由二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为，
则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，
所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为.
故选：C.
【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，再由从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，即可求解.
5．（2024高一上·西湖期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由函数单调递增，
，，
，，即，
综上：.
故选：A.
【分析】根据指数函数的单调性，判断得到和1的大小，将用换底公式化为以2为底的对数形式，再根据对数函数的单调性，得到的大小，进而得到答案.
6．（2024高一上·西湖期末）当时，函数和的图像只可能是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A项，由一次函数的图象可知此时函数为减函数，故A项正确；
B项，由一次函数的图象可知此时函数为增函数，故B项错误；
C项，由一次函数的图象可知，此时函数为的直线，故C项错误；
D项，由一次函数的图象可知，，此时函数为增函数，故D项错误；
故选：A.
【分析】本题主要考查了一次函数与指数函数的图象特征，由一次函数的图象判断出a、b的符号，结合指数函数的图象，逐项进行判断，即可得到答案.
7．（2024高一上·西湖期末）已知实数 ， ， ，则a+2b的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为：B
【分析】根据已知条件，将 变换为 ，利用基本不等式，即可求得其最小值.
8．（2024高一上·西湖期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，且时，，
所以当时，，
则，
当时，，则，
当时，，
则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，，恒有，必有，
即的取值范围是，
故选：B.
【分析】本题考查了函数不等式恒成立问题，以及二次函数的性质和分段函数的性质，根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用数形结合，可求得结果.
9．（2024高一上·西湖期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，均有”
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．如果，那么
【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，命题“，使得”的否定是“，
均有”，所以，A错误；
对于B，，，所以，B正确；
对于C，，所以，“”不一定能得到“”，
充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；
对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；
故答案为：BCD
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知条件求出结果由此判断出选项A错误；整理化简代数式然后由二次函数的图象和性质即可求出结果，从而即可判断出选项B正确；由一元二次方程求接触方程的解，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案从而即可平常选项C正确；由不等式的简单性质即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
10．（2024高一上·西湖期末）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角 的终边过点，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A中，由，所以与的终边相同，表示第二象限角，所以A错误；
对于B中，设扇形的所在圆的半径为 ，因为圆心角为的扇形的弧长为，
可得，解得，所以扇形的面积为，所以B正确；
对于C中，由角的终边过点，可得，
根据三角函数的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，则，所以D正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，利用终边相同角的表示，扇形的弧长、面积公式，以及三角函数的定义和三角函数的基本关系式，逐项判定，即可求解.
11．（2024高一上·西湖期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是2
B．函数在单调递减
C．函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由函数
，
对于A中，当时，函数的最大值为，所以A错误；
对于B中，当时，可得，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B正确；
对于C中，函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以C正确；
对于D中，令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以在区间上有两个实根，可得，所以 D不正确.
故选：BC.
【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简函数为，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
12．（2024高一上·西湖期末）若正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由，可得，
因为在上单调递增，所以，
则，A项错误；
，B项正确；
，C项正确；
，不一定大于0，D项错误.
故选：BC.
【分析】根据题意，观察，构造函数，利用函数的单调性，结合对数的运算法则和性质，逐项判定，即可求解.
13．（2024高一上·西湖期末）函数过定点 .
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由函数，
令，即时，解得，即函数的图象过定点.
故答案为：.
【分析】本题考查了对数型函数过定点问题，根据对数的运算性质，令，结合，即可求得函数的定点，得到答案.
14．（2024高一上·西湖期末）函数的单调增区间为 .
【答案】或二选一
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
函数在上单调递增，在单调递减，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数的单调递增区间是（或二选一）.
故答案为：或二选一
【分析】本题考查了指数型复合函数的单调的判定，根据题意，利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则——同增异减，即可求解.
15．（2024高一上·西湖期末）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为，则
【答案】
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：由题意知，，，，，
当时，，，即，
，，所以，
故答案为：
【分析】本题考查三角函数的实际应用问题，根据图象及所给条件确定振幅、周期、，结合时得出方程，求得的值，即可得解.
16．（2024高一上·西湖期末）已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数的值；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：函数图象如图所示：
因方程有四个不相等的实数根，即函数图象和直线有4个不同的交点，由图可得，又因为，所以，所以，而函数在区间上单调递减，所以即，故的范围为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件先画出函数的图象，由由四个不同的实数根转化为函数和直线四个不同的交点，得m的取值范围，再由对数函数图象和二次函数性质得，代入即可求解.
17．（2024高一上·西湖期末）已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合
集合或；
所以或.
（2）解：因为，所以，所以，即.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）当时，得到集合，再由一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合的交集运算，即可求出结果；
（2）由，得到，结合集合的包含关系，得出不等式，由此即可求出结果.
（1）解：当时，集合
集合或；
所以或.
（2）解：因为，所以，
所以，即.
18．（2024高一上·西湖期末）（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】解：（1）点到原点的距离，由三角函数定义有，
；
（2）∵，将两边平方得，
∴，可得，∴，，∴，
∵，∴，联立，
∴，，∴．
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意，由三角函数定义，得到，再利用诱导公式和基本关系式化简得到，代入即可求解；
（2）将两边平方，结合三角函数的金币恩关系式，求得，进而求得，联立方程组，即可求解.
19．（2024高一上·西湖期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并给出证明.
【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以.
（2）解：函数在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，求得，再根据奇函数的性质进行转化求解，即可得到函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义及判定方法，进行判断，即可得证.
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以；
（2）在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数在上单调递减.
20．（2024高一上·西湖期末）已知函数．
（1）求函数的周期及在上的值域；
（2）若为锐角且，求的值．
【答案】（1）解：由函数，
则函数的最小正周期为，
又由，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（2）解：由，
因为，可得，即，
又因为，可得，
又由，所以，可得，
则
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得的最小正周期，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）和，求得，根据，求得的值，结合，利用两角出的余弦公式，化简运算，即可求解
（1）由函数，
则函数的最小正周期为，
又由，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（2）由，
因为，可得，即，
又因为，可得，
又由，所以，可得，
则
.
21．（2024高一上·西湖期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少时，的值最小？
【答案】（1）解：由题意得.
要满足题意，则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2）解：由，
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，得出，结合题意，得到不等式，即可求得；
（2）由（1）知，函数，利用基本不等式，即可求解.
（1）由题意得.
要满足题意，则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
22．（2024高一上·西湖期末）已知函数且是奇函数．
（1）求的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）解：由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）解：由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数函数图象与性质的综合应用；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】（1）先根据函数为奇函数，结合求得，再根据函数的奇偶性定义，进行判定，即可求解；
（2）根据题意，不等式的恒成立转化为对任意有恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解；
（3）由，求得，得到函数，设，根据题意转化为，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
（1）解：由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）解：由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）解：由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
1 / 1浙江省杭州东方中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·西湖期末）集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·西湖期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·西湖期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·西湖期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·西湖期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·西湖期末）当时，函数和的图像只可能是 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·西湖期末）已知实数 ， ， ，则a+2b的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
8．（2024高一上·西湖期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·西湖期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，均有”
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．如果，那么
10．（2024高一上·西湖期末）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角 的终边过点，则
D．若，则
11．（2024高一上·西湖期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是2
B．函数在单调递减
C．函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
12．（2024高一上·西湖期末）若正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高一上·西湖期末）函数过定点 .
14．（2024高一上·西湖期末）函数的单调增区间为 .
15．（2024高一上·西湖期末）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为，则
16．（2024高一上·西湖期末）已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是 ．
17．（2024高一上·西湖期末）已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（2024高一上·西湖期末）（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，，求的值．
19．（2024高一上·西湖期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并给出证明.
20．（2024高一上·西湖期末）已知函数．
（1）求函数的周期及在上的值域；
（2）若为锐角且，求的值．
21．（2024高一上·西湖期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少时，的值最小？
22．（2024高一上·西湖期末）已知函数且是奇函数．
（1）求的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由集合，
根据集合交集的运算和概念，可得.
故选：B.
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】由三角函数的诱导公式，可得：.
故选：A.
【分析】本题主要考查了三角函数的诱导公式及应用，利用诱导公式将大角变小角，结合特殊角的三角函数，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由函数在区间上为单调递增函数，
当时，在上为单调递增函数，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
【分析】本题主要考查了函数的单调性的应用，根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：由二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为，
则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，
所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为.
故选：C.
【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，再由从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由函数单调递增，
，，
，，即，
综上：.
故选：A.
【分析】根据指数函数的单调性，判断得到和1的大小，将用换底公式化为以2为底的对数形式，再根据对数函数的单调性，得到的大小，进而得到答案.
6．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A项，由一次函数的图象可知此时函数为减函数，故A项正确；
B项，由一次函数的图象可知此时函数为增函数，故B项错误；
C项，由一次函数的图象可知，此时函数为的直线，故C项错误；
D项，由一次函数的图象可知，，此时函数为增函数，故D项错误；
故选：A.
【分析】本题主要考查了一次函数与指数函数的图象特征，由一次函数的图象判断出a、b的符号，结合指数函数的图象，逐项进行判断，即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为：B
【分析】根据已知条件，将 变换为 ，利用基本不等式，即可求得其最小值.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，且时，，
所以当时，，
则，
当时，，则，
当时，，
则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，，恒有，必有，
即的取值范围是，
故选：B.
【分析】本题考查了函数不等式恒成立问题，以及二次函数的性质和分段函数的性质，根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用数形结合，可求得结果.
9．【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，命题“，使得”的否定是“，
均有”，所以，A错误；
对于B，，，所以，B正确；
对于C，，所以，“”不一定能得到“”，
充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；
对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；
故答案为：BCD
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知条件求出结果由此判断出选项A错误；整理化简代数式然后由二次函数的图象和性质即可求出结果，从而即可判断出选项B正确；由一元二次方程求接触方程的解，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案从而即可平常选项C正确；由不等式的简单性质即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A中，由，所以与的终边相同，表示第二象限角，所以A错误；
对于B中，设扇形的所在圆的半径为 ，因为圆心角为的扇形的弧长为，
可得，解得，所以扇形的面积为，所以B正确；
对于C中，由角的终边过点，可得，
根据三角函数的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，则，所以D正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，利用终边相同角的表示，扇形的弧长、面积公式，以及三角函数的定义和三角函数的基本关系式，逐项判定，即可求解.
11．【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由函数
，
对于A中，当时，函数的最大值为，所以A错误；
对于B中，当时，可得，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B正确；
对于C中，函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以C正确；
对于D中，令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以在区间上有两个实根，可得，所以 D不正确.
故选：BC.
【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简函数为，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
12．【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由，可得，
因为在上单调递增，所以，
则，A项错误；
，B项正确；
，C项正确；
，不一定大于0，D项错误.
故选：BC.
【分析】根据题意，观察，构造函数，利用函数的单调性，结合对数的运算法则和性质，逐项判定，即可求解.
13．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由函数，
令，即时，解得，即函数的图象过定点.
故答案为：.
【分析】本题考查了对数型函数过定点问题，根据对数的运算性质，令，结合，即可求得函数的定点，得到答案.
14．【答案】或二选一
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
函数在上单调递增，在单调递减，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数的单调递增区间是（或二选一）.
故答案为：或二选一
【分析】本题考查了指数型复合函数的单调的判定，根据题意，利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则——同增异减，即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：由题意知，，，，，
当时，，，即，
，，所以，
故答案为：
【分析】本题考查三角函数的实际应用问题，根据图象及所给条件确定振幅、周期、，结合时得出方程，求得的值，即可得解.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数的值；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：函数图象如图所示：
因方程有四个不相等的实数根，即函数图象和直线有4个不同的交点，由图可得，又因为，所以，所以，而函数在区间上单调递减，所以即，故的范围为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件先画出函数的图象，由由四个不同的实数根转化为函数和直线四个不同的交点，得m的取值范围，再由对数函数图象和二次函数性质得，代入即可求解.
17．【答案】（1）解：当时，集合
集合或；
所以或.
（2）解：因为，所以，所以，即.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）当时，得到集合，再由一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合的交集运算，即可求出结果；
（2）由，得到，结合集合的包含关系，得出不等式，由此即可求出结果.
（1）解：当时，集合
集合或；
所以或.
（2）解：因为，所以，
所以，即.
18．【答案】解：（1）点到原点的距离，由三角函数定义有，
；
（2）∵，将两边平方得，
∴，可得，∴，，∴，
∵，∴，联立，
∴，，∴．
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意，由三角函数定义，得到，再利用诱导公式和基本关系式化简得到，代入即可求解；
（2）将两边平方，结合三角函数的金币恩关系式，求得，进而求得，联立方程组，即可求解.
19．【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以.
（2）解：函数在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，求得，再根据奇函数的性质进行转化求解，即可得到函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义及判定方法，进行判断，即可得证.
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以；
（2）在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数在上单调递减.
20．【答案】（1）解：由函数，
则函数的最小正周期为，
又由，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（2）解：由，
因为，可得，即，
又因为，可得，
又由，所以，可得，
则
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得的最小正周期，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）和，求得，根据，求得的值，结合，利用两角出的余弦公式，化简运算，即可求解
（1）由函数，
则函数的最小正周期为，
又由，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（2）由，
因为，可得，即，
又因为，可得，
又由，所以，可得，
则
.
21．【答案】（1）解：由题意得.
要满足题意，则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2）解：由，
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，得出，结合题意，得到不等式，即可求得；
（2）由（1）知，函数，利用基本不等式，即可求解.
（1）由题意得.
要满足题意，则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
22．【答案】（1）解：由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）解：由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）解：由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数函数图象与性质的综合应用；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】（1）先根据函数为奇函数，结合求得，再根据函数的奇偶性定义，进行判定，即可求解；
（2）根据题意，不等式的恒成立转化为对任意有恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解；
（3）由，求得，得到函数，设，根据题意转化为，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
（1）解：由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）解：由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）解：由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
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