【基础卷】第四章 相交线与平行线 单元测试 ——华师大版（2024）数学七年级上册
一、选择题：每题4分，共48分
1．（2022七下·易县期中）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·临海期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·汕尾期末）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是( )
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象用垂线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象用垂线段最短来解释，现象用两点之间线段最短来解释
D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用垂线段最短来解释
4．（初中数学北师大版七年级上册4.6垂直（旧）练习题）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·义乌期末）如图，和是一对（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
6．（2024七下·潮安期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·博白期中）有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③等角的补角相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下图给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
9．如图所示， ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·番禺期末）如图所示，下列条件中能说明的是( )
A． B．
C． D．
11．（2024七下·乐平期中）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024七下·花都期末） 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每题4分，共24分
13．（2024七下·重庆市期末）如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．
14．（2024七下·宁河期中）如图，已知直线与直线相交于点，，，则
15．（2024七下·景泰期中）已知两个角与，的两边分别平行于的两边，若，则 ．
16．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 .
17．（2024七下·永寿期中）如图，在三角形ABC中，F为AC延长线上一点，直线HG经过点B，写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可）
18．（2024七下·于都期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ．
三、解答题：共8题，共78分
19．（2023七下·朝阳期末）在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
20．（2022七下·袁州月考）如图，，点E在AC上，连接DE，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出一个与互补的角．
（2）在图2中，在CD的上方，作出一个与相等的角．
21．（2024七下·绥江月考）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且．求证：．
证明：平分，
（ ）
平分（已知），
▲ （ ）．
（ ）．
即．
（已知），
▲ （ ）．
▲ （ ）．
22．（2024七下·仙桃期中）如图，直线AB、CD相交于点O，，垂足为点O.
（1） 若，则 °；
（2）若与的度数比为，求的度数.
23．（2024七下·遵义期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程．
条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素
如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以 ， 因为， 所以 ， 又因为平分， 所以 因为， 所以， 则 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质
24．（2024七下·赣县区期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
（1）如图①，若直角三角尺的角的顶点放在上，，求的度数；
（2）如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由．
25．（2023七下·万源月考）如图，AB∥CD，试探讨四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系.
（1）图①中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系是 ；
（2）图②中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系是 ；
（3）请你在图③和图④中任选一个，说出∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并说明理由.
26．（2024七上·衡阳期末）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和角度不同，不是对顶角；
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和是对顶角；
故答案为：．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据垂直得到，进而根据补角结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质、两点之间线段最短的性质进行求解即可.
4．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选D．
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度．
5．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同旁内角的定义可得和是一对同旁内角．
故答案为：B．
【分析】根据两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角、两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做内错角、两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做同旁内角、有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】同旁内角的概念；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A．字母A中含有4对同旁内角；
B．字母F中含有1对同旁内角；
C．字母M中含有0对同旁内角；
D．字母Z中含有0对同旁内角；
∴字母A的同旁内角个数最多，
故答案为：A
【分析】根据同旁内角的边构成“U”形结合题意对选项逐一判断即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；补角
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，①错误；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，②错误；
③等角的邻补角相等，③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，④正确．
∴ 真命题有2个．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角的定义可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据补角的定义可判断③；根据平行线的判定方法可判断④．
8．【答案】A
【知识点】三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：平移过程中，已知保持同位角相等，故依据为同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据画图过程中两角的位置关系，即可确定判断依据.
9．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AD∥EF.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
11．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵平分，
∴∠BEG=70°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEG=70°。
故答案为：A。
【分析】首先根据邻补角定义得出∠BEF=140°，再根据角平分线的定义求得∠BEG=70°，然后根据平行线的性质，即可得出∠2的度数。
12．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
13．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 已知 ，根据对顶角相等可知，再由即，求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数．本题考查了角的概念、对顶角、邻补角，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解是解题的关键．
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，
∴∠COE=30°
．
故答案为：．
【分析】先根据得到，再根据，求出，最后根据求出答案即可．
15．【答案】或
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
16．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，
∴ 过直线EF外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴A，B，C三点一定在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据平行公理直接得到即可.
17．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠HBA=∠A，
∴ HG∥AF.
故答案为：∠HBA=∠A.
【分析】根据平行线的判定写条件即可.
18．【答案】20
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，∠1=135°，
∴∠4=∠1=135°，
∴∠2+∠3=180°-135°=45°，
∵∠2=25°，
∴∠3=20°.
故答案为：20.
【分析】首先根据平行线的性质得出∠4=135°，再根据邻补角定义得出∠2+∠3的度数，进一步即可得出∠3的度数.
19．【答案】解：①如图所示，
，；
②如图所示，
，；
③如图所示，
，．
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【分析】熟悉同一平面内直线的位置关系及交点数。
20．【答案】（1）解：如图，沿线段CD作射线CF，则∠EDF是与∠CDE互补的角，
（2）解：如图，延长线段DE，交BA延长线于点G，
∵ABCD，
∴∠G=∠CDE，
即∠G是与∠CDE相等的角。
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质作出图形即可；
（2）利用平行线的性质求解即可。
21．【答案】证明：平分（已知），
（角平分线的定义）．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
（等式性质）．
即．
（已知），
（等量代换）．
（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义和等量关系求出，再根据平行线的判定证出即可.
22．【答案】（1）
（2），
，
∴
，
设，，
则，
解得：，
故，
则，
的度数为．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由，得出，进而求出∠2，根据对顶角相等求出∠BOD，最后根据，求出即可．
（2）先根据垂直的定义得出，再利用，列出一元一串，得出，进而求出即可.
23．【答案】；；；；；；；
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴ 90°，
∵
∴∠EOF=∠EOC-COF=90°-38°=52°，
∵平分，
∴∠AOF=∠EOF=52°，
∵，
∴，
∴∠BOD=∠AOC=14°.
故答案为： 90°，52°，AOF，EOF，52°，BOD，AOC，14°.
【分析】由垂直的定义可得 90°，从而求出∠EOF=∠EOC-COF=52°，由角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF=52°，利用角的计算求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等即可求解.
24．【答案】（1）解：∵，
∴
又∵
∴
∵，
∴
∴，
解得．
（2）证明：，理由如下：
∵，∠FEG=30°
∴∠AEG=∠EGD=∠AEF+30°
又∵∠FGC+∠FGE+∠EGF=180°，∠FGE=60°
∴∠FGC+60°+∠AEF+30°=180°
∴
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解析】（1）先由平行推出，结合题目所给条件，再由，即可求出∠1的度数；
（2）先利用平行推出∠AEG=∠EGD，再利用∠FEG=30°把∠AEG进行拆分，再根据∠FGC+∠FGE+∠EGF=180°及∠FGE=60°，即可推出.
25．【答案】（1）∠APC=∠PAB+∠PCD
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°
（3）解：图③，∠APC=∠PAB-∠PCD ，理由如下：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠APE-∠PCD-∠CPE=0，
∴∠PAB-∠PCD=∠CPE-∠APE，
又∵∠APC=∠CPE-∠APE，
∴∠APC=∠PAB-∠PCD；
同理图④∠APC=∠PCD-∠PAB.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1） ∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下： 如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠PAB+∠PCD；
故答案为：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°，理由如下：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=180°；
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=180°；
【分析】（1）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥PE，进而根据二直线平行，内错角相等，得∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，然后根据角的和差及等量代换即可得出结论；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PE，由二直线平行，同旁内角互补得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，将两个等式相加再结合角的和差即可得出结论；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PE，由二直线平行，同旁内角互补得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，将两个等式相减再结合角的和差即可得出结论；同理图④∠APC=∠PCD-∠PAB.
26．【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）解：不变，．
，
，，
平分，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角的运算求出即可；
（3）利用平行线的性质可得 ，， 再利用角平分线的定义可得，最后求出即可.
1 / 1【基础卷】第四章 相交线与平行线 单元测试 ——华师大版（2024）数学七年级上册
一、选择题：每题4分，共48分
1．（2022七下·易县期中）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和角度不同，不是对顶角；
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和是对顶角；
故答案为：．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
2．（2024七下·临海期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据垂直得到，进而根据补角结合题意即可求解。
3．（2024七下·汕尾期末）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是( )
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象用垂线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象用垂线段最短来解释，现象用两点之间线段最短来解释
D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用垂线段最短来解释
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质、两点之间线段最短的性质进行求解即可.
4．（初中数学北师大版七年级上册4.6垂直（旧）练习题）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选D．
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度．
5．（2024七下·义乌期末）如图，和是一对（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同旁内角的定义可得和是一对同旁内角．
故答案为：B．
【分析】根据两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角、两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做内错角、两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做同旁内角、有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，即可求解.
6．（2024七下·潮安期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同旁内角的概念；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A．字母A中含有4对同旁内角；
B．字母F中含有1对同旁内角；
C．字母M中含有0对同旁内角；
D．字母Z中含有0对同旁内角；
∴字母A的同旁内角个数最多，
故答案为：A
【分析】根据同旁内角的边构成“U”形结合题意对选项逐一判断即可求解.
7．（2024七下·博白期中）有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③等角的补角相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；补角
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，①错误；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，②错误；
③等角的邻补角相等，③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，④正确．
∴ 真命题有2个．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角的定义可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据补角的定义可判断③；根据平行线的判定方法可判断④．
8．下图给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【知识点】三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：平移过程中，已知保持同位角相等，故依据为同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据画图过程中两角的位置关系，即可确定判断依据.
9．如图所示， ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AD∥EF.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解.
10．（2024七下·番禺期末）如图所示，下列条件中能说明的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
11．（2024七下·乐平期中）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵平分，
∴∠BEG=70°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEG=70°。
故答案为：A。
【分析】首先根据邻补角定义得出∠BEF=140°，再根据角平分线的定义求得∠BEG=70°，然后根据平行线的性质，即可得出∠2的度数。
12．（2024七下·花都期末） 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
二、填空题：每题4分，共24分
13．（2024七下·重庆市期末）如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 已知 ，根据对顶角相等可知，再由即，求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数．本题考查了角的概念、对顶角、邻补角，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解是解题的关键．
14．（2024七下·宁河期中）如图，已知直线与直线相交于点，，，则
【答案】
【知识点】垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，
∴∠COE=30°
．
故答案为：．
【分析】先根据得到，再根据，求出，最后根据求出答案即可．
15．（2024七下·景泰期中）已知两个角与，的两边分别平行于的两边，若，则 ．
【答案】或
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
16．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 .
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，
∴ 过直线EF外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴A，B，C三点一定在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据平行公理直接得到即可.
17．（2024七下·永寿期中）如图，在三角形ABC中，F为AC延长线上一点，直线HG经过点B，写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠HBA=∠A，
∴ HG∥AF.
故答案为：∠HBA=∠A.
【分析】根据平行线的判定写条件即可.
18．（2024七下·于都期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ．
【答案】20
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，∠1=135°，
∴∠4=∠1=135°，
∴∠2+∠3=180°-135°=45°，
∵∠2=25°，
∴∠3=20°.
故答案为：20.
【分析】首先根据平行线的性质得出∠4=135°，再根据邻补角定义得出∠2+∠3的度数，进一步即可得出∠3的度数.
三、解答题：共8题，共78分
19．（2023七下·朝阳期末）在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
【答案】解：①如图所示，
，；
②如图所示，
，；
③如图所示，
，．
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【分析】熟悉同一平面内直线的位置关系及交点数。
20．（2022七下·袁州月考）如图，，点E在AC上，连接DE，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出一个与互补的角．
（2）在图2中，在CD的上方，作出一个与相等的角．
【答案】（1）解：如图，沿线段CD作射线CF，则∠EDF是与∠CDE互补的角，
（2）解：如图，延长线段DE，交BA延长线于点G，
∵ABCD，
∴∠G=∠CDE，
即∠G是与∠CDE相等的角。
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质作出图形即可；
（2）利用平行线的性质求解即可。
21．（2024七下·绥江月考）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且．求证：．
证明：平分，
（ ）
平分（已知），
▲ （ ）．
（ ）．
即．
（已知），
▲ （ ）．
▲ （ ）．
【答案】证明：平分（已知），
（角平分线的定义）．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
（等式性质）．
即．
（已知），
（等量代换）．
（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义和等量关系求出，再根据平行线的判定证出即可.
22．（2024七下·仙桃期中）如图，直线AB、CD相交于点O，，垂足为点O.
（1） 若，则 °；
（2）若与的度数比为，求的度数.
【答案】（1）
（2），
，
∴
，
设，，
则，
解得：，
故，
则，
的度数为．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由，得出，进而求出∠2，根据对顶角相等求出∠BOD，最后根据，求出即可．
（2）先根据垂直的定义得出，再利用，列出一元一串，得出，进而求出即可.
23．（2024七下·遵义期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程．
条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素
如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以 ， 因为， 所以 ， 又因为平分， 所以 因为， 所以， 则 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质
【答案】；；；；；；；
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴ 90°，
∵
∴∠EOF=∠EOC-COF=90°-38°=52°，
∵平分，
∴∠AOF=∠EOF=52°，
∵，
∴，
∴∠BOD=∠AOC=14°.
故答案为： 90°，52°，AOF，EOF，52°，BOD，AOC，14°.
【分析】由垂直的定义可得 90°，从而求出∠EOF=∠EOC-COF=52°，由角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF=52°，利用角的计算求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等即可求解.
24．（2024七下·赣县区期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
（1）如图①，若直角三角尺的角的顶点放在上，，求的度数；
（2）如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴
又∵
∴
∵，
∴
∴，
解得．
（2）证明：，理由如下：
∵，∠FEG=30°
∴∠AEG=∠EGD=∠AEF+30°
又∵∠FGC+∠FGE+∠EGF=180°，∠FGE=60°
∴∠FGC+60°+∠AEF+30°=180°
∴
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解析】（1）先由平行推出，结合题目所给条件，再由，即可求出∠1的度数；
（2）先利用平行推出∠AEG=∠EGD，再利用∠FEG=30°把∠AEG进行拆分，再根据∠FGC+∠FGE+∠EGF=180°及∠FGE=60°，即可推出.
25．（2023七下·万源月考）如图，AB∥CD，试探讨四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系.
（1）图①中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系是 ；
（2）图②中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系是 ；
（3）请你在图③和图④中任选一个，说出∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）∠APC=∠PAB+∠PCD
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°
（3）解：图③，∠APC=∠PAB-∠PCD ，理由如下：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠APE-∠PCD-∠CPE=0，
∴∠PAB-∠PCD=∠CPE-∠APE，
又∵∠APC=∠CPE-∠APE，
∴∠APC=∠PAB-∠PCD；
同理图④∠APC=∠PCD-∠PAB.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1） ∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下： 如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠PAB+∠PCD；
故答案为：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°，理由如下：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=180°；
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=180°；
【分析】（1）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥PE，进而根据二直线平行，内错角相等，得∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，然后根据角的和差及等量代换即可得出结论；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PE，由二直线平行，同旁内角互补得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，将两个等式相加再结合角的和差即可得出结论；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD，理由如下：过点P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PE，由二直线平行，同旁内角互补得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，将两个等式相减再结合角的和差即可得出结论；同理图④∠APC=∠PCD-∠PAB.
26．（2024七上·衡阳期末）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）解：不变，．
，
，，
平分，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角的运算求出即可；
（3）利用平行线的性质可得 ，， 再利用角平分线的定义可得，最后求出即可.
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