新人教版七年级数学上名师点拨与训练第5章 一元一次方程一元一次方程小结与复习

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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程
一元一次方程小结与复习
知识点一：方程
1、含有未知数的等式叫做方程.
【注意】判断方程的条件：1、有未知数；2、是等式.
【例1】．下列各式是方程的有( )
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【变式1-1】下列各式中，属于方程的是( )
A. B. C. D.
【变式1-2】在下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是方程的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
知识点二：方程的解
1、使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解.
2、解方程就是求出方程的解的过程.
所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式.
【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤：
（1）将数值代入方程左边进行计算；
（2）将数值代入方程右边进行计算；
（3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是.
【例2】．，，分别是下列哪个方程的解？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式1-1】．已知a，b为定值，关于x的方程无论k为何值，它的解总是1，则______.
【变式1-2】若关于x的一元一次方程的解为，则的值为______.
知识点三：一元一次方程
1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.
2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且）
【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程
（1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1；
（3）整式方程； （4）看化简后的方程
注：未知数的系数不能是0.
【例3】．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为_______.
【变式1-1】下列各式是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
【变式1-2】下列等式中,是一元一次方程的有( )
①；②；③；④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点四：等式的基本性质
等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立.
等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立.
【注意】等式的基本性质注意事项：
（1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　
（2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
【要点诠释】
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变.
即： (其中)
如，解方程.
先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 .
【例4】．下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【变式4-1】已知，利用等式性质可求得的值是_______________.
【变式4-2】利用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
知识点五：解一元一次方程
1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并.
一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边.
【注意】
（1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号.
（2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉；
（3）去括号时不要漏项.
【例5-1】解方程
【归纳】去分母时的注意事项：
（1）方程两边的每一项，都要乘以各分母的最小公倍数；
（2）去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；
（3）如果分子是多项式，去分母后，应将该分子添上括号（分数线起到括号的作用）.【例5-2】解方程
【归纳】解一元一次方程的一般步骤：
步骤 具体做法 依据
去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 等式的基本性质2.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 去括号法则
移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边.“过桥变号”. 等式的基本性质1
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 合并同类项法则
系数化为1 在方程的两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2
【温馨提醒】求出方程的解后，养成检验的习惯.
【变式5-1】1．解方程：.
【变式5-2】解方程：.
【变式5-3】解方程：.
知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤
1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决.
关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来.
【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性.
【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系；
（2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数；
（3）列方程，借助等量关系，列出方程；
（4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）答，写出结果.
【例6】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【变式6-1】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【变式6-2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，则可列方程为( )
A. B. C. D.
知识点七：常见列一元一次方程解应用题的类型
1、日历问题
日历中每一竖列相邻两个数字之间相差7；
日历中每一横行相邻两个数字之间相差1.
日历中，一般设中间数字为，可得下图
1．如图所示的是某月的日历表,在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数x与最小数的积为225,那么根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数(如3，9，10，11，17).按此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为___________.
2、数字问题
（1）如果个位数字是，十位数字是，百位数字是
则，两位数表示为；三位数表示为.
（2）一般情况下，
三个连续的自然数表示为 ，，；
三个连续的偶数表示为 ，，；
三个连续的奇数表示为，，.
3．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数.
4 .一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数.
3、和、差、倍、分问题
增长量原有量增长率
现有量原有量增长量原有量增长率
5 .某班学生分组,若每组7人,则有2人分不到组里；若每组8人,则最后一组差4人,若设计划分x组,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6 .某书架第一层书的数量是第二层的2倍，现从第一层抽8本放到第二层，这时第一层书的数量恰比第二层的一半多3本，则第二层原有图书多少本？
4、等积变形问题
“等积变形”即形状发生改变而体积不变.
常用的等量关系是（1）形状变了，周长没变；（2）原料体积=成品体积.
常见体积公式（1）圆柱体体积 底面积高
(2)长方体体积 长宽高.
7 .如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A.
B.
C.
D.
8 .根据图中给出的信息，回答下列问题.
（1）若在左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是_______.
（2）若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是_______.
5、利润率问题
进价：购进商品时的价格，也称成本价
售价：在销售商品时的售出价
标价：在销售商品时标出的价格，也称原价
利润：在销售商品过程中的纯收入.
利润率：利润占成本的百分比.
利润=售价-成本 利润率=
销售总额=售价销量 售价=(1+利润率)成本
售价=原价折扣率
(折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，)
9 .某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为( )
A. B.
C. D.
10 .某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同.
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获礼20元.若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？
(3)在(2)的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？
6、银行储蓄问题
【知识点】
本息和本金利息 利息本金利率期数
本息和本金
11．某开发商按照分期付款的形式售房.张明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款的利息之和,已知剩余欠款的年利率为,第( )年张明家需要交房款5200元.
12．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，则该银行2年期定期储蓄的年利率是________.（结果用百分数表示）
7、行程问题
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
(1)相遇问题（相向而行）两人的路程之和等于总路程；
(2)追及问题（同向而行）两人的路程差等于追及的路程；
(3)环形跑道的相遇和追及问题：
①同地反向而行：两人的路程之和等于一圈的路程；
②同地同向而行：两人所走的路程之差等于一圈的路程.
(4)航行问题：
③顺水速度船在静水中的速度水流的速度；
④逆水速度船在静水中的速度水流的速度
(5)飞行问题：
⑤顺风速度无风速度风速；
⑥逆风速度无风速度风速
13 .一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是.
（1）设火车长，用含x的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
（2）设火车长，用含x的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
（3）求这列火车的长度.
14．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息.甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍.
(1)甲车的行驶速度是________千米/时，乙车的行驶速度是________千米/时；
(2)求乙车出发后几小时两车相遇；(列方程解答此问).
8、工程问题
工作总量工作时间工作效率
合作的效率各单独做的效率之和
当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.
15 ．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件.若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程( )
A. B.
C. D.
9、劳动调配问题
【常见类型】
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变.
17．服装厂要生产一批某型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，共能生产________套.
18．某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务.每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个.
(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？
(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？
10、鸡兔同笼类问题
19．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
11、年龄问题
问题关键：两人年龄差始终不变.
21 .父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的.求女儿现在的年龄.
22 .已知今年桐桐爸爸的年龄是37岁,桐桐的年龄是12岁,那么再过 年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍.
12、分段收费问题
问题关键：确定被求解的量，处于哪一个范围内.
23 .某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20，每立方米收费2元；若用水超过20，超过部分每立方米加收1元.孔明家5月份交水费64元，求孔明家5月份用水多少立方米.
24．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量不超过8吨按2元/吨收费，超过8吨的部分按a元/吨收费.根据下表小明家4个月的用水量和缴纳水费的情况，解答下列问题：
月份 1 2 3 4
用水量/吨 6 7 10 12
水费/元 12 14 22 28
（1）__________.
（2）若小明家11月份用水20吨，则应缴纳水费多少元？
（3）若小明家10月份应缴纳水费49元，则10月份他家的用水量是多少吨？
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第5章 一元一次方程
一元一次方程小结与复习
知识点一：方程
1、含有未知数的等式叫做方程.
【注意】判断方程的条件：1、有未知数；2、是等式.
【例1】．下列各式是方程的有( )
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
解析：含有未知数的表示量相等的等式称为方程.强调两点：1.含有未知数；2.是等式.（2）不含未知数，（4）（5）不是等式.符合条件的是（1）（3）.
【变式1-1】下列各式中，属于方程的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、不是等式，故不是方程，不符合题意；
B、是方程，符合题意；
C、不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意.
故选：B.
【变式1-2】在下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是方程的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案：B
解析：根据方程的定义可知①②⑤⑦是方程共4个，
故选B.
知识点二：方程的解
1、使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解.
2、解方程就是求出方程的解的过程.
所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式.
【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤：
（1）将数值代入方程左边进行计算；
（2）将数值代入方程右边进行计算；
（3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是.
【例2】．，，分别是下列哪个方程的解？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：是方程的解，
是方程的解，
是方程的解，
，，都不是方程的解
解析：把，，分别代入方程，，，的左边和右边，能使方程的左边和右边相等的，便是方程的解.
是方程的解，
是方程的解，
是方程的解，
，，都不是方程的解
【变式1-1】．已知a，b为定值，关于x的方程无论k为何值，它的解总是1，则______.
答案：0
解析：把代入方程，得：
，即，
整理得：，
无论k为何值，它的解总是1，
，，
解得：，，
则，
故答案为：0.
【变式1-2】若关于x的一元一次方程的解为，则的值为______.
答案：5
知识点三：一元一次方程
1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.
2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且）
【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程
（1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1；
（3）整式方程； （4）看化简后的方程
注：未知数的系数不能是0.
【例3】．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为_______.
答案：/
解析：由题意，得，
∴.
故答案为：.
【变式1-1】下列各式是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A、是一元一次方程、故正确；
B、含两个未知数，故错误．
C、不是整式方程，故错误；
D、含两个未知数，故错误．
故选A．
【变式1-2】下列等式中,是一元一次方程的有( )
①；②；③；④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：是一元一次方程的有①②共2个
故选:B.
知识点四：等式的基本性质
等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立.
等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立.
【注意】等式的基本性质注意事项：
（1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　
（2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
【要点诠释】
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变.
即： (其中)
如，解方程.
先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 .
【例4】．下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案：B
解析：A.，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.，
（等式两边都除以6），故本选项不符合题意；
故选：B.
【变式4-1】已知，利用等式性质可求得的值是_______________.
答案：2
解析：
故答案为:2.
【变式4-2】利用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）两边加4，得.所以.
（2）两边减2，得.
化简，得.
两边乘2，得.
（3）两边减1，得.
化简，得.
两边除以3，得.
（4）两边加2，得.
化简，得.
两边除以4，得.
知识点五：解一元一次方程
1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并.
一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边.
【注意】
（1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号.
（2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉；
（3）去括号时不要漏项.
【例5-1】解方程
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
【归纳】去分母时的注意事项：
（1）方程两边的每一项，都要乘以各分母的最小公倍数；
（2）去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；
（3）如果分子是多项式，去分母后，应将该分子添上括号（分数线起到括号的作用）.
【例5-2】解方程
解：原方程可变形为
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
【归纳】解一元一次方程的一般步骤：
步骤 具体做法 依据
去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 等式的基本性质2.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 去括号法则
移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边.“过桥变号”. 等式的基本性质1
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 合并同类项法则
系数化为1 在方程的两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2
【温馨提醒】求出方程的解后，养成检验的习惯.
【变式5-1】1．解方程：.
答案：1.5
解析：方程整理得.
去分母，得.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
方程两边同除以2，得.
【变式5-2】解方程：.
答案：
解析：移项，得.
两边分别通分，得.
去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
方程两边同除以-20，得.
【变式5-3】解方程：.
答案：
解析：方程可化为.整理，得.方程两边都乘5，得.方程两边都乘3，得，解得.
知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤
1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决.
关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来.
【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性.
【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系；
（2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数；
（3）列方程，借助等量关系，列出方程；
（4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）答，写出结果.
【例6】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
答案：计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿
解析：设计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿才能制作尽可能多的桌子.
根据题意，得.
解得，.
答：计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿才能制作尽可能多的桌子.
【变式6-1】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
答案：（1）2100元
（2）元
解析：（1）设这台M型平板电脑价值x元.根据题意，得，解得，所以这台M型平板电脑价值2100元.
（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，所以工作一个月，她应获得的报酬为（元），所以若工作m天，她应获得的报酬为（元）.
【变式6-2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，则可列方程为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：有x辆车，则可列方程为.
故选：A.
知识点七：常见列一元一次方程解应用题的类型
1、日历问题
日历中每一竖列相邻两个数字之间相差7；
日历中每一横行相邻两个数字之间相差1.
日历中，一般设中间数字为，可得下图
1．如图所示的是某月的日历表,在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数x与最小数的积为225,那么根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
答案：C
2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数(如3，9，10，11，17).按此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为___________.
答案：27
解析：设这5个数中的最大数为x，则最小数为，
根据题意，可得，
解得.
故答案为：27.
2、数字问题
（1）如果个位数字是，十位数字是，百位数字是
则，两位数表示为；三位数表示为.
（2）一般情况下，
三个连续的自然数表示为 ，，；
三个连续的偶数表示为 ，，；
三个连续的奇数表示为，，.
3．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数.
答案：设原来两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为2x，
由题意得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以.
答：原来的两位数为36.
4 .一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数.
答案：设原来的两位数的十位上的数字为x，则原来的两位数的个位上的数字为.
依题意得，解得，
则.
答：原来的两位数是48.
3、和、差、倍、分问题
增长量原有量增长率
现有量原有量增长量原有量增长率
5 .某班学生分组,若每组7人,则有2人分不到组里；若每组8人,则最后一组差4人,若设计划分x组,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：若每组有7人,实际人数为人；
若每组有8人,实际人数为人,
故可列方程为.
故选：A.
6 .某书架第一层书的数量是第二层的2倍，现从第一层抽8本放到第二层，这时第一层书的数量恰比第二层的一半多3本，则第二层原有图书多少本？
答案：10
解析：设第二层原有图书x本，则第一层原有图书本，由题意，得，解得.
答：第二层原有图书10本.
4、等积变形问题
“等积变形”即形状发生改变而体积不变.
常用的等量关系是（1）形状变了，周长没变；（2）原料体积=成品体积.
常见体积公式（1）圆柱体体积 底面积高
(2)长方体体积 长宽高.
7 .如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
8 .根据图中给出的信息，回答下列问题.
（1）若在左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是_______.
（2）若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是_______.
答案：（1）
（2）4
解析：（1）由题图得，在左边水桶中放入一个小球，水桶中的水位高度上升；放入一个大球，水桶中的水位高度上升，所以在左边水桶中放入一个小球和一个大球，水桶中的水位高度是.
（2）设放入大球x个，则放入小球个.根据题意得，解得.故放入大球的个数是4.
5、利润率问题
进价：购进商品时的价格，也称成本价
售价：在销售商品时的售出价
标价：在销售商品时标出的价格，也称原价
利润：在销售商品过程中的纯收入.
利润率：利润占成本的百分比.
利润=售价-成本 利润率=
销售总额=售价销量 售价=(1+利润率)成本
售价=原价折扣率
(折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，)
9 .某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：x支铅笔的售价支圆珠笔的售价,据此列出方程：
.
故选B.
10 .某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同.
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获礼20元.若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？
(3)在(2)的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？
答案：(1)A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元
(2)全部售完共可获利1300元
(3)B商品按标价售出10件
解析：(1)设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，
由题意得，
解得：，
(元).
答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；
(2)设购买A种商品a件，则购买B商品件，
由题意得，
解得，.
(元).
答：全部售完共可获利1300元；
(3)设B商品按标价售出m件，
由题意得：，
解得
答：B商品按标价售出10件.
6、银行储蓄问题
【知识点】
本息和本金利息 利息本金利率期数
本息和本金
11．某开发商按照分期付款的形式售房.张明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款的利息之和,已知剩余欠款的年利率为,第( )年张明家需要交房款5200元.
答案：10
解析：设第x年,张明家需交房款5200元,由题意得：
解得：
故：第10年张明家需要交房款5200元.
故答案为：10.
12．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，则该银行2年期定期储蓄的年利率是________.（结果用百分数表示）
答案：
解析：设银行2年期定期储蓄的年利率是x.根据题意得，解得，所以银行2年期定期储蓄的年利率是.故答案为.
7、行程问题
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
(1)相遇问题（相向而行）两人的路程之和等于总路程；
(2)追及问题（同向而行）两人的路程差等于追及的路程；
(3)环形跑道的相遇和追及问题：
①同地反向而行：两人的路程之和等于一圈的路程；
②同地同向而行：两人所走的路程之差等于一圈的路程.
(4)航行问题：
③顺水速度船在静水中的速度水流的速度；
④逆水速度船在静水中的速度水流的速度
(5)飞行问题：
⑤顺风速度无风速度风速；
⑥逆风速度无风速度风速
13 .一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是.
（1）设火车长，用含x的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
（2）设火车长，用含x的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
（3）求这列火车的长度.
答案：（1）路程为，速度为
（2）路程为，速度为
（3）
解析：（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为.
这段时间内火车的速度为.
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为，
这段时间内火车的速度为.
（3）根据题意，得.
解得.
答：这列火车的长度是.
14．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息.甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍.
(1)甲车的行驶速度是________千米/时，乙车的行驶速度是________千米/时；
(2)求乙车出发后几小时两车相遇；(列方程解答此问).
答案：(1)80，60
(2)小时
解析：(1)乙车的行驶速度是千米/时，
甲车的行驶速度是千米/时，
故答案为：80，60；
(2)设乙车出发后x小时两车相遇，
，
解得，
答：乙车出发后小时两车相遇.
8、工程问题
工作总量工作时间工作效率
合作的效率各单独做的效率之和
当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.
15 ．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件.若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：根据题意得.故选A.
16 .某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若先由乙独作10天，剩下的由甲、乙合作完成.设甲、乙合作x天正好完成任务，则根据题意可得方程_____.
答案：
解析：根据题意得，总的工作量为单位“1”，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为，
先由乙独作10天，剩下的由甲、乙合作完成，
设甲、乙合作x天正好完成任务，
根据题意得，
故答案为：.
9、劳动调配问题
【常见类型】
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变.
17．服装厂要生产一批某型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，共能生产________套.
答案：240
解析：设用x米长的布料生产上衣，那么用米长的布料生产裤子，使之恰好配套.根据题意，得，解得（套），故共能生产240套.
18．某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务.每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个.
(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？
(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？
答案：(1)应安排个工人加工甲种零件
(2)一天这名工人所得加工费一共是元
解析：(1)设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得，
，
解得：，
答：应安排个工人加工甲种零件；
(2)，设有y个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得，
，
解得：，
∴，
∴总费用为：，
答：一天这名工人所得加工费一共是元.
10、鸡兔同笼类问题
19．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因为上有三十五头，且鸡有x只，所以兔有只.依题意得.
20．鸡兔同笼,共有25个头,70只脚,鸡有( )只,兔有( )只.
答案：15；10
解析：设鸡有x只,则免有只,由题意
,
解得,,.
故答案为：15,10.
11、年龄问题
问题关键：两人年龄差始终不变.
21 .父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的.求女儿现在的年龄.
答案：28岁
解析：设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄为岁.
根据题意，得，
解得.
答：女儿现在的年龄是28岁.
22 .已知今年桐桐爸爸的年龄是37岁,桐桐的年龄是12岁,那么再过 年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍.
答案：13
解析：设再过x年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍,根据题意,有.解得.
12、分段收费问题
问题关键：确定被求解的量，处于哪一个范围内.
23 .某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20，每立方米收费2元；若用水超过20，超过部分每立方米加收1元.孔明家5月份交水费64元，求孔明家5月份用水多少立方米.
答案：解：设孔明家5月份用水x，
当用水量为20时，应交水费为（元）.
因为，所以.
根据题意，得，解得.
答：孔明家5月份用水28.
24．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量不超过8吨按2元/吨收费，超过8吨的部分按a元/吨收费.根据下表小明家4个月的用水量和缴纳水费的情况，解答下列问题：
月份 1 2 3 4
用水量/吨 6 7 10 12
水费/元 12 14 22 28
（1）__________.
（2）若小明家11月份用水20吨，则应缴纳水费多少元？
（3）若小明家10月份应缴纳水费49元，则10月份他家的用水量是多少吨？
答案：（1）
（2）应缴纳水费52元
（3）10月份他家的用水量是19吨
解析：（1）根据题意，得，
解得.
（2）（元）.
答：应缴纳水费52元.
（3），
月份他家的用水量超过8吨.
设10月份他家的用水量是x吨.
根据题意，得，
解得.
答：10月份他家的用水量是19吨.
等号左边的分数，分子、分母均含有小数，为了简化运算，根据分数的基本性质，分子、分母同时扩大10倍，把它们化成了整数，这种变形是单一分数的变形，与右边无关.
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