浙江省杭十四中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·杭州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，，
所以.
故选：D.
【分析】利用一元二次不等式的解法得出集合，再结合交集的运算法则得出答案.
2．（2024高二上·杭州期末）若，则（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵，则，
则.
故选：B.
【分析】由题意结合复数的四则运算法则，从而求出复数，再结合复数求模公式得出答案.
3．（2024高二上·杭州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
故选：D.
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
4．（2024高二上·杭州期末）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵是的中点，为的中点，
∴
，
∵，∴，，
∴.
故选：D.
【分析】根据是的中点，为的中点，再结合平面向量基本定理得到，再结合，从而求出的值.
5．（2024高二上·杭州期末）中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（ ）
A．76石 B．77石 C．78石 D．79石
【答案】C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）
故答案为：C
【分析】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，得到 ，求得d=18，进而求得的值，即可求解.
6．（2024高二上·杭州期末）设函数在区间恰有三个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点，根据，图象，
可得：，解得：，即.
故选：B.
【分析】由已知条件和的取值范围得到的取值范围，再结合函数极值点的定义结合，图象，从而解不等式得出的取值范围.
7．（2024高二上·杭州期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，
容易求得，，
取的中点，连接，易得，则，
所以，多面体的体积
.
故选：B.
【分析】依据割补法和中点的性质，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式以及求和法得出该多面体的体积.
8．（2024高二上·杭州期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为，为的中点，
所以，，
所以，又因为，，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】由题意可得，再利用正切函数的定义和二倍角公式可得的值，再根据双曲线的离心率公式得出答案.
9．（2024高二上·杭州期末）某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A．招商引资后，工资净收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
【答案】A,D
【知识点】用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，
对于A，招商引资前工资性收入为，
而招商引资后的工资性收入为，所以，工资净收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，
所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以，招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
【分析】根据已知条件和扇形图统计数据的方法，从而找出结论正确的选项.
10．（2024高二上·杭州期末）如图所示，在边长1为的正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A：因为，所以A正确；
对于B：因为
所以B正确；
对于C：在正六边形中，共顶点的边和对角线夹角为，
因为，所以C正确；
对于D：在正六边形中，每个内角为，
因为，，
所以D不正确，
故选：ABC.
【分析】根据正六边形的性质结合平面向量的运算性质和平面向量基本定理，从而判断出选项A和选项B，利用正六边形的结构特征和数量积的定义，从而判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高二上·杭州期末）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A，每次取出1球，事件与事件是互斥事件且是对立事件，故A正确；
对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为5个，
则取出白球概率发生变化，事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，
则，故C错误；
对于D：因为，，，
所以
，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据题意由对立事件和相互独立事件的定义，结合古典概率和条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
12．（2024高二上·杭州期末）存在定义域为的函数满足（ ）
A．是增函数，也是增函数 B．是减函数，也是减函数
C．是奇函数，但是偶函数 D．对任意的，，但
【答案】A,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，根据复合函数的单调性可知，
因为是增函数，所以也是增函数，所以A正确；
对于B，根据复合函数的单调性可知，
因为是减函数，所以是增函数，所以B错误；
对于C，设，是奇函数，是偶函数，所以C正确；
对于D，令，其定义域为，满足，
但是，所以D正确.
故选：ACD.
【分析】根据复合函数单调性的判断方法判断选项A和选项B；举例结合函数的奇偶性，从而判断选项C；利用特殊函数的定义域和代入法，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高二上·杭州期末）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式第项通项为，
所以，当时的系数为.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出的展开式，再结合赋值法得出的展开式中的系数.
14．（2024高二上·杭州期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ．
【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由，设圆心为，半径为，
由，设圆心为，半径为1，
设直线l不存在斜率，此时直线l方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以，此时直线l的方程为，
当直线l存在斜率，此时方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以或，
所以，此时切线方程为或，
即或.
故填：；.
【分析】根据直线与圆相切的判断方法，再结合分类讨论的方法和点到直线距离公式，从而得出两条直线l的方程.
15．（2024高二上·杭州期末）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，不妨设点在第一象限，
因为点的横坐标为，联立方程组，解得，即，
又因为，可得轴，
因为，可得，
所以，直线的倾斜角为，
因为抛物线的焦点为，则，
整理得且，解得，
即，解得或（舍去）.
故填：.
【分析】根据题意，联立直线和抛物线的方法，从而解方程组得出交点M的坐标， 又由，可得轴，再根据，可得， 从而得到直线的倾斜角，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出直线的斜率，从而解不等式得出p的取值范围，再解一元二次方程得出满足p的取值范围得出p的值.
16．（2024高二上·杭州期末）设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：设函数的图象为，
对任意的，令，则在上，
因为的图象既关于点对称，又因为函数图象关于直线轴对称，
所以，点在曲线上，
可得，，都在曲线上，
而，
所以，取，此时.
故填：.
【分析】根据函数的对称性，再结合对数的运算法则得出函数的值.
17．（2024高二上·杭州期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
（1）求边b的值；
（2）若D为边BC的中点，，求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：且，
所以.
（2）解：延长AD至点E，满足，连接EB，EC，
在中，由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以，
所以，.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，从而找到边的关系，进而得出b的值.
(2)根据已知条件和余弦定理得出AD的长，再结合三角形的面积的关系式和三角形的面积公式，从而得出的面积.
（1）因为，
由正弦定理得：，且，
所以.
（2）延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，
由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以
所以.
18．（2024高二上·杭州期末）在长方体中，点，分别在，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，
设，
则，，，
则，，，
由（1）得出平面，
所以，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），
所以，当平面与平面的夹角的余弦值为时，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由长方体的性质结合线线垂直、线面垂直的推导关系，从而证出平面.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标和向量的坐标，由（1）得出平面，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出满足要求的m的值，从而得出平面与平面的夹角的余弦值为时的的长.
（1）因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设，
则，，，
则，，，
由（1）平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），
所以平面与平面的夹角的余弦值为时.
19．（2024高二上·杭州期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
（1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：因为，
所以，两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，
所有数据都扩大10倍后，则：
，
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）解：抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，
为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以
，
所以，从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：
.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出答案.
（2）利用已知条件和全概率公式、条件概率公式，从而得出该名学生来自丙校的概率.
（1）因为，
所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，
所有数据都扩大10倍后：
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，
主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：
，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以
，
所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：
.
20．（2024高二上·杭州期末）已知数列中，对任意的，都有.
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
又因为，可得：，，
所以，解得：，，
所以的通项公式为.
（2）解：由条件，可得，
两式相减得：，因为，，所以，
所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
偶数项是首项为1公差为4的等差数列.
所以，当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
综上所述：.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，设公差为d，又因为，可得，，从而可求得的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）根据，可得数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列，再对项数分奇、偶数进行分类讨论，再结合等差数列前n项和公式，从而得出数列的前n项和.
（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
又，可得：，，
所以，解得：，，
所以的通项公式为.
（2）解：由条件，可得：，
两式相减得：，因为，又，所以，
所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列.
所以当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
.
综上：.
21．（2024高二上·杭州期末）已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
【答案】（1）解：根据题意，，
解得，
椭圆的方程为：.
（2）证明：设直线的方程为：，
由，得
显然1是该方程的根，则，
，
由题可知直线的方程为，
同理可得，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，再结合代入法和椭圆中的关系建立方程组，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）设出直线方程，再与椭圆方程联立，从而求出交点、两点的坐标，再根据直线斜率的公式证出直线的斜率为定值，并求出这个定值.
（1）根据题意，，
解得，
椭圆的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：，
由，得
显然是该方程的根，因此有，
，
由题可知直线的方程为，同理可得，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为.
22．（2024高二上·杭州期末）设函数．
（1）若，函数在的值域是，求函数的表达式；
（2）令，若存在实数，使得|与|同时成立，求的取值范围
【答案】（1）解：若，则，
且，，
①当时，即，则，，
所以；
②当时，即，则，，
所以；
③当时，即，，，所以；
④当时，即，，所以，
所以，函数的表达式为.
（2）解：由题可得，
则的最小值为；
①当时，，不满足题意；
②当时，即时，
由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故与必然不能同时满足在区间上，则不满足题意；
③当，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故必然存在与同时满足在区间上，
则满足题意，即；
④当，即时，由方程，即，
由，得，，
由，得，，
则当时，，
而，有可能同时存在与满足条件，
由于，
则与若要同时满足条件，则必须满足，，
故若同时存在与满足条件，则必须要求，
而，解得，即
综上所述，.
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）若，则，再结合二次函数的图象和性质，从而求出，的表达式，进而可得函数的表达式.
（2）由结合二次函数的图象和性质进行分类讨论，从而得出t的取值范围.
（1）若，则，且，，
①当时，即，则，，所以；
②当时，即，则，，所以；
③当时，即，，，所以；
④当时，即，，，所以；
所以函数的表达式为
（2）由题可得，则的最小值为；
①当时，，不满足题意；
②当时，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故与必然不能同时满足在区间上，则不满足题意；
③当，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故必然存在与同时满足在区间上，则满足题意，即
④当，即时，由方程，即，
由，得，，
由，得，，
则当时，，而，有可能同时存在与满足条件，
由于，
则与若要同时满足条件，则必须满足，，
故若同时存在与满足条件，则必须要求，而，解得，即；
综上所述，.
1 / 1浙江省杭十四中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·杭州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二上·杭州期末）若，则（ ）
A．5 B． C． D．3
3．（2024高二上·杭州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·杭州期末）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2024高二上·杭州期末）中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（ ）
A．76石 B．77石 C．78石 D．79石
6．（2024高二上·杭州期末）设函数在区间恰有三个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·杭州期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·杭州期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2024高二上·杭州期末）某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A．招商引资后，工资净收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10．（2024高二上·杭州期末）如图所示，在边长1为的正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二上·杭州期末）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
12．（2024高二上·杭州期末）存在定义域为的函数满足（ ）
A．是增函数，也是增函数 B．是减函数，也是减函数
C．是奇函数，但是偶函数 D．对任意的，，但
13．（2024高二上·杭州期末）的展开式中的系数为 ．
14．（2024高二上·杭州期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ．
15．（2024高二上·杭州期末）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ．
16．（2024高二上·杭州期末）设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ．
17．（2024高二上·杭州期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
（1）求边b的值；
（2）若D为边BC的中点，，求的面积.
18．（2024高二上·杭州期末）在长方体中，点，分别在，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．
19．（2024高二上·杭州期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
（1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（2024高二上·杭州期末）已知数列中，对任意的，都有.
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21．（2024高二上·杭州期末）已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
22．（2024高二上·杭州期末）设函数．
（1）若，函数在的值域是，求函数的表达式；
（2）令，若存在实数，使得|与|同时成立，求的取值范围
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，，
所以.
故选：D.
【分析】利用一元二次不等式的解法得出集合，再结合交集的运算法则得出答案.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵，则，
则.
故选：B.
【分析】由题意结合复数的四则运算法则，从而求出复数，再结合复数求模公式得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
故选：D.
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵是的中点，为的中点，
∴
，
∵，∴，，
∴.
故选：D.
【分析】根据是的中点，为的中点，再结合平面向量基本定理得到，再结合，从而求出的值.
5．【答案】C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）
故答案为：C
【分析】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，得到 ，求得d=18，进而求得的值，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点，根据，图象，
可得：，解得：，即.
故选：B.
【分析】由已知条件和的取值范围得到的取值范围，再结合函数极值点的定义结合，图象，从而解不等式得出的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，
容易求得，，
取的中点，连接，易得，则，
所以，多面体的体积
.
故选：B.
【分析】依据割补法和中点的性质，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式以及求和法得出该多面体的体积.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为，为的中点，
所以，，
所以，又因为，，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】由题意可得，再利用正切函数的定义和二倍角公式可得的值，再根据双曲线的离心率公式得出答案.
9．【答案】A,D
【知识点】用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，
对于A，招商引资前工资性收入为，
而招商引资后的工资性收入为，所以，工资净收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，
所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以，招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
【分析】根据已知条件和扇形图统计数据的方法，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A：因为，所以A正确；
对于B：因为
所以B正确；
对于C：在正六边形中，共顶点的边和对角线夹角为，
因为，所以C正确；
对于D：在正六边形中，每个内角为，
因为，，
所以D不正确，
故选：ABC.
【分析】根据正六边形的性质结合平面向量的运算性质和平面向量基本定理，从而判断出选项A和选项B，利用正六边形的结构特征和数量积的定义，从而判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A，每次取出1球，事件与事件是互斥事件且是对立事件，故A正确；
对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为5个，
则取出白球概率发生变化，事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，
则，故C错误；
对于D：因为，，，
所以
，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据题意由对立事件和相互独立事件的定义，结合古典概率和条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
12．【答案】A,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，根据复合函数的单调性可知，
因为是增函数，所以也是增函数，所以A正确；
对于B，根据复合函数的单调性可知，
因为是减函数，所以是增函数，所以B错误；
对于C，设，是奇函数，是偶函数，所以C正确；
对于D，令，其定义域为，满足，
但是，所以D正确.
故选：ACD.
【分析】根据复合函数单调性的判断方法判断选项A和选项B；举例结合函数的奇偶性，从而判断选项C；利用特殊函数的定义域和代入法，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式第项通项为，
所以，当时的系数为.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出的展开式，再结合赋值法得出的展开式中的系数.
14．【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由，设圆心为，半径为，
由，设圆心为，半径为1，
设直线l不存在斜率，此时直线l方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以，此时直线l的方程为，
当直线l存在斜率，此时方程设为：，
因为直线l同时与圆和圆相切，
所以或，
所以，此时切线方程为或，
即或.
故填：；.
【分析】根据直线与圆相切的判断方法，再结合分类讨论的方法和点到直线距离公式，从而得出两条直线l的方程.
15．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，不妨设点在第一象限，
因为点的横坐标为，联立方程组，解得，即，
又因为，可得轴，
因为，可得，
所以，直线的倾斜角为，
因为抛物线的焦点为，则，
整理得且，解得，
即，解得或（舍去）.
故填：.
【分析】根据题意，联立直线和抛物线的方法，从而解方程组得出交点M的坐标， 又由，可得轴，再根据，可得， 从而得到直线的倾斜角，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出直线的斜率，从而解不等式得出p的取值范围，再解一元二次方程得出满足p的取值范围得出p的值.
16．【答案】
【知识点】函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：设函数的图象为，
对任意的，令，则在上，
因为的图象既关于点对称，又因为函数图象关于直线轴对称，
所以，点在曲线上，
可得，，都在曲线上，
而，
所以，取，此时.
故填：.
【分析】根据函数的对称性，再结合对数的运算法则得出函数的值.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：且，
所以.
（2）解：延长AD至点E，满足，连接EB，EC，
在中，由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以，
所以，.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，从而找到边的关系，进而得出b的值.
(2)根据已知条件和余弦定理得出AD的长，再结合三角形的面积的关系式和三角形的面积公式，从而得出的面积.
（1）因为，
由正弦定理得：，且，
所以.
（2）延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，
由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以
所以.
18．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，
设，
则，，，
则，，，
由（1）得出平面，
所以，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），
所以，当平面与平面的夹角的余弦值为时，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由长方体的性质结合线线垂直、线面垂直的推导关系，从而证出平面.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标和向量的坐标，由（1）得出平面，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出满足要求的m的值，从而得出平面与平面的夹角的余弦值为时的的长.
（1）因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设，
则，，，
则，，，
由（1）平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），
所以平面与平面的夹角的余弦值为时.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，
所有数据都扩大10倍后，则：
，
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）解：抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，
为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以
，
所以，从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：
.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出答案.
（2）利用已知条件和全概率公式、条件概率公式，从而得出该名学生来自丙校的概率.
（1）因为，
所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，
所有数据都扩大10倍后：
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，
主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：
，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以
，
所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：
.
20．【答案】（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
又因为，可得：，，
所以，解得：，，
所以的通项公式为.
（2）解：由条件，可得，
两式相减得：，因为，，所以，
所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
偶数项是首项为1公差为4的等差数列.
所以，当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
综上所述：.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，设公差为d，又因为，可得，，从而可求得的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）根据，可得数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列，再对项数分奇、偶数进行分类讨论，再结合等差数列前n项和公式，从而得出数列的前n项和.
（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
又，可得：，，
所以，解得：，，
所以的通项公式为.
（2）解：由条件，可得：，
两式相减得：，因为，又，所以，
所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列.
所以当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
.
综上：.
21．【答案】（1）解：根据题意，，
解得，
椭圆的方程为：.
（2）证明：设直线的方程为：，
由，得
显然1是该方程的根，则，
，
由题可知直线的方程为，
同理可得，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，再结合代入法和椭圆中的关系建立方程组，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）设出直线方程，再与椭圆方程联立，从而求出交点、两点的坐标，再根据直线斜率的公式证出直线的斜率为定值，并求出这个定值.
（1）根据题意，，
解得，
椭圆的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：，
由，得
显然是该方程的根，因此有，
，
由题可知直线的方程为，同理可得，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为.
22．【答案】（1）解：若，则，
且，，
①当时，即，则，，
所以；
②当时，即，则，，
所以；
③当时，即，，，所以；
④当时，即，，所以，
所以，函数的表达式为.
（2）解：由题可得，
则的最小值为；
①当时，，不满足题意；
②当时，即时，
由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故与必然不能同时满足在区间上，则不满足题意；
③当，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故必然存在与同时满足在区间上，
则满足题意，即；
④当，即时，由方程，即，
由，得，，
由，得，，
则当时，，
而，有可能同时存在与满足条件，
由于，
则与若要同时满足条件，则必须满足，，
故若同时存在与满足条件，则必须要求，
而，解得，即
综上所述，.
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）若，则，再结合二次函数的图象和性质，从而求出，的表达式，进而可得函数的表达式.
（2）由结合二次函数的图象和性质进行分类讨论，从而得出t的取值范围.
（1）若，则，且，，
①当时，即，则，，所以；
②当时，即，则，，所以；
③当时，即，，，所以；
④当时，即，，，所以；
所以函数的表达式为
（2）由题可得，则的最小值为；
①当时，，不满足题意；
②当时，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故与必然不能同时满足在区间上，则不满足题意；
③当，即时，由方程，即，
由，得，，
则当时，，而，
故必然存在与同时满足在区间上，则满足题意，即
④当，即时，由方程，即，
由，得，，
由，得，，
则当时，，而，有可能同时存在与满足条件，
由于，
则与若要同时满足条件，则必须满足，，
故若同时存在与满足条件，则必须要求，而，解得，即；
综上所述，.
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