课件14张PPT。2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？情境:一个物体在力 的作用下发生了位移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？二、数量积的概念 （1）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量.注意(B1)如图，作出│ │cosθ，并说出它的几何意义；││cosθ的几何意义又是什么？三、平面向量数量积几何意义当?为锐角时
投影为正值; 当?为钝角时
投影为负值;当?为直角时
投影为0;│ │cosθ叫做向量 在向量 方向上的投影，
│ │cosθ叫做向量 在向量 方向上的投影. 的几何意义：
向量 与 的数量积 等于 的长度│ │与 在 的方向上的投影││cosθ的积.投影也是一个数量，不是向量.例题讲解-1－10300×××例2：判断正误，说明理由×四、平面向量数量积的性质:特别地(交换律)(数乘结合律)(分配律)五、平面向量数量积的运算律:ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.平面向量数量积的常用公式例4、的夹角为变式１：求变式２：当且仅当k为何值时，
垂直2、平面向量数量积的几何意义（数形结合的思想）3、平面向量数量积的重要性质及运算律课堂小结2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
龙港二高 陈中叶
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积；
2.掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点，教学难点
教学重点 ?平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律
教学难点? 平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.
三、教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.
五、教学过程
（一）设置情境
首先让学生们看第二章平面向量的章头言“如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。”再作相应的解释！
意图：让学生知道向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。进而为接下来要学习向量的一种运算做铺垫。
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
情境2:在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝｜F｜｜S｜cos （其中是F与S的夹角.)
问：力F和位移S分别是什么量？功W呢?
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
设计意图：在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
（二）讲授新课
1、探究数量积的概念
师：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即：
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：
注意：
（1）表示数量而不表示向量；
（2）符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替
（3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是：
问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
角的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
设计意图：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。
2、平面向量数量积的几何意义：
问：你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？
如图①，过的终点B作=的垂线段BB1，垂足为B1，则由直角三角形的性质得：|OB1|=；同理：(为钝角或直角也可作（如图②，③ ）。
所以叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影.
师：因此我们得到的几何意义：向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积.
注意：1°投影也是一个数量，可正，可负，可为0； 2° 当(为锐角时投影为正值；3°当(为钝角时投影为负值； 4° 当(为直角时投影为0；
3、例题讲解
例1：已知=5， =4，当与的夹角为时，求与的数量积
例2：判断正误，说明理由
4、若≠，则对任一非零向量有·≠0；
5、若，则。
设计意图：巩固向量数量积和投影概念，同时如何求夹角进而引出平面向量数量积的重要性质
4、平面向量数量积的重要性质：
设向量,都是非零向量,向量与向量和夹角为，则
(1) （判定两向量垂直的充要条件）
(2)当,方向相同时， 当,方向相反时，
特别的：或 （用于计算向量的模）
（用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状 ）
(4)
5、平面向量数量积的运算律:
问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。
学生可能会提出以下猜测： ①·= · ②（·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：
（1）
（2）数乘向量的结合律：()( =(() = (()
（3）分配律：( + )( = ( + (
学生独立证明运算律（2）
我把运算运算律（2）的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<0时，向量与λ，与λ的方向 的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。
6、例题讲解
例3：求证：
（1）
（2）
例4、已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求
（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种运算？
变式１：求
变式２：当且仅当k为何值时，垂直
设计意图：例3给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例4是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法.例4的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。
（三）归纳小结：
1、平面向量的数量积定义（由特殊到一般的思想）
2、平面向量的数量积几何意义；（数形结合的思想）
3、熟练掌握两个向量数量积的重要性质 ；
4、平面向量的数量积的运算律。
课外作业：课本P121习题2.4A组1、2、3。
板书设计
平面向量的数量积与运算律
基本概念：
1．平面向量数量积的定义 4．平面向量数量积的重要性质 例1
2．平面向量数量积的定义 5．平面向量数量积的运算律: 例2
3．平面向量数量积的几何意义
