湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（B卷）
1．（2024高一上·邵阳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由结合，，
所以.
故选：B.
【分析】根据题意，结合集合交集的定义及运算，即可求解.
2．（2024高一上·邵阳月考）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：对于A、B中，当时，，，故AB错误；
对于C中，当时，，故C错误；
对于D中，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，即可求解.
3．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
4．（2024高一上·邵阳月考）已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由集合N＝{1，3，5}，则集合N的子集个数.
除去集合N本身，还有8-1=7个.
故选：C.
【分析】根据题意，结合集合真子集的个数的计算方法，即可求解.
5．（2024高一上·邵阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数解析式有意义，则，解得.
故的定义域为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用函数解析式有意义，列出不等式，即可求解.
6．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由特殊角的三角函数值，可得.
故选：A.
【分析】由特殊角的三角函数值即可求解.
7．（2024高一上·邵阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：B.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
8．（2024高一上·邵阳月考）设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设中角、、所对的边分别为、、，
若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，
若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
9．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故选：D.
【分析】根据题意，利用诱导公式，准确化简、计算，即可求解.
10．（2024高一上·邵阳月考）一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为，即．∴．
故选：C．
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
11．（2024高一上·邵阳月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，由得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
【分析】根据题意，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
12．（2024高一上·邵阳月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：由，可得是第二象限角.
故选：B.
【分析】由角的弧度制比较与的大小，即可求解.
13．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则 .
【答案】15
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：，.
故答案为：15.
【分析】根据函数的解析式，代值计算，即可求解.
14．（2024高一上·邵阳月考）计算： ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据指数幂与对数的运算公式得：原式.
故答案为：1.
【分析】根据指数与对数的运算公式，准确运算，即可求解.
15．（2024高一上·邵阳月考）点在函数的图象上，则 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，则.
故答案为：.
【分析】将点的坐标代入函数解析式，列出方程，即可求解.
16．（2024高一上·邵阳月考）若为第一象限角，则 .
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
17．（2024高一上·邵阳月考）用符号“”或“”填空：
设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 .
【答案】；；；
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：中国与印度属于亚洲国家，美国与英国不属于亚洲国家.
中国，美国，印度，英国.
故答案为：；；；.
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，即可得到答案.
18．（2024高一上·邵阳月考）设，若，求的值.
【答案】解：由，则，
因为，所以.
所以，解得，
此时，满足题意.
故.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【分析】根据题意，利用集合相等可得元素相同，列出方程，求得的值，即可求解.
19．（2024高一上·邵阳月考）已知是第三象限角，且.求的值.
【答案】解：因为是第三象限角，且，
所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】利用同角三角函数关系，结合象限角的符号，即可求解.
20．（2024高一上·邵阳月考）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
（2）（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用 .
（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.利用不等式，可得：，进而可推出，再求出x和y，据此可求出最短篱笆的长度 ；
（2）根据题意题意可得：，再利用不等式可得：，进而可得，再求出x和y，据此可求出矩形的最大面积 ；
21．（2024高一上·邵阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
【答案】答案：（1）；（2）.
（1）解：（1）由函数的解析式有意义，
则满足，解得且，即函数的定义域为且.
（2）解：（2）由函数，可得.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的表示方法
【解析】【分析】本题考查函数的定义域，函数值.
（1）根据分式的分母不等于0，偶次根式的被开方数大于等于0，据此可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域；
（2）直接把代入到函数解析式，再进行计算可求出的值 .
1 / 1湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（B卷）
1．（2024高一上·邵阳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·邵阳月考）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2024高一上·邵阳月考）已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024高一上·邵阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·邵阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·邵阳月考）设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
9．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·邵阳月考）一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．（2024高一上·邵阳月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
12．（2024高一上·邵阳月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
13．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则 .
14．（2024高一上·邵阳月考）计算： ．
15．（2024高一上·邵阳月考）点在函数的图象上，则 .
16．（2024高一上·邵阳月考）若为第一象限角，则 .
17．（2024高一上·邵阳月考）用符号“”或“”填空：
设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 .
18．（2024高一上·邵阳月考）设，若，求的值.
19．（2024高一上·邵阳月考）已知是第三象限角，且.求的值.
20．（2024高一上·邵阳月考）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
21．（2024高一上·邵阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由结合，，
所以.
故选：B.
【分析】根据题意，结合集合交集的定义及运算，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：对于A、B中，当时，，，故AB错误；
对于C中，当时，，故C错误；
对于D中，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由集合N＝{1，3，5}，则集合N的子集个数.
除去集合N本身，还有8-1=7个.
故选：C.
【分析】根据题意，结合集合真子集的个数的计算方法，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数解析式有意义，则，解得.
故的定义域为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用函数解析式有意义，列出不等式，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由特殊角的三角函数值，可得.
故选：A.
【分析】由特殊角的三角函数值即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：B.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设中角、、所对的边分别为、、，
若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，
若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故选：D.
【分析】根据题意，利用诱导公式，准确化简、计算，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为，即．∴．
故选：C．
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
11．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，由得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
【分析】根据题意，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
12．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：由，可得是第二象限角.
故选：B.
【分析】由角的弧度制比较与的大小，即可求解.
13．【答案】15
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：，.
故答案为：15.
【分析】根据函数的解析式，代值计算，即可求解.
14．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据指数幂与对数的运算公式得：原式.
故答案为：1.
【分析】根据指数与对数的运算公式，准确运算，即可求解.
15．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，则.
故答案为：.
【分析】将点的坐标代入函数解析式，列出方程，即可求解.
16．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
17．【答案】；；；
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：中国与印度属于亚洲国家，美国与英国不属于亚洲国家.
中国，美国，印度，英国.
故答案为：；；；.
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，即可得到答案.
18．【答案】解：由，则，
因为，所以.
所以，解得，
此时，满足题意.
故.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【分析】根据题意，利用集合相等可得元素相同，列出方程，求得的值，即可求解.
19．【答案】解：因为是第三象限角，且，
所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】利用同角三角函数关系，结合象限角的符号，即可求解.
20．【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
（2）（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用 .
（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.利用不等式，可得：，进而可推出，再求出x和y，据此可求出最短篱笆的长度 ；
（2）根据题意题意可得：，再利用不等式可得：，进而可得，再求出x和y，据此可求出矩形的最大面积 ；
21．【答案】答案：（1）；（2）.
（1）解：（1）由函数的解析式有意义，
则满足，解得且，即函数的定义域为且.
（2）解：（2）由函数，可得.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的表示方法
【解析】【分析】本题考查函数的定义域，函数值.
（1）根据分式的分母不等于0，偶次根式的被开方数大于等于0，据此可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域；
（2）直接把代入到函数解析式，再进行计算可求出的值 .
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