广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题
1．（2024高一上·深圳月考）已知角 的终边经过点 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·深圳月考）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·深圳月考） 已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·深圳月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·深圳月考）已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024高一上·深圳月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·深圳月考）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·深圳月考）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·深圳月考）若函数且的图象过第一 三 四象限，则参数需满足（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．角与角终边重合
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若是第二象限角，则点在第四象限
11．（2024高一上·深圳月考）若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．（2024高一上·深圳月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称 D．函数在上为减函数
13．（2024高一上·深圳月考）已知，，则 .
14．（2024高一上·深圳月考）已知，则 （结果用a，b表示）.
15．（2024高一上·深圳月考）已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ．
16．（2024高一上·深圳月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .
17．（2024高一上·深圳月考）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
18．（2024高一上·深圳月考）已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围．
19．（2024高一上·深圳月考）已知，，且.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
20．（2024高一上·深圳月考）已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
21．（2024高一上·深圳月考）已知指数函数（且）的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域
22．（2024高一上·深圳月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得,再根据任意角的三角函数的定义，即可求出cosa的值即可。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当且时，则成立，
当时，且，或且，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用对数函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合指数函数、对数函数的单调性比较大小即可.
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，且，
所以为偶函数；
又当时，，其为上的单调增函数；
综上所述，只有D选项满足.
故选：D.
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的单调性，结合选项，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：D.
【分析】利用同角三角函数的关系，化为“齐次式”，代入即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得，解得
综上，的取值范围是.
故选：B.
【分析】根据题意，对分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：对任意，都有成立，
函数在上单调递减，
，解得，故的取值范围是.
故选：A．
【分析】根据题意，得到在上单调递减，结合分段函数单调性的求解方法，以及指数函数与一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【分析】根据题意，构造函数，求得的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换为不等式，得到，即可得解.
9．【答案】B,D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数且的图象不可能同时经过第一 三 四
象限，不满足题意，
当时，要使函数且的图象过第一 三 四象限，则，得.
则，.
故选：BD.
【分析】结合函数的图象与性质，得到且，即可求解.
10．【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角；扇形的弧长与面积；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：A中，是第一象限的角，即，则，
因此是第四象限的角，A正确；
B中，由于，因此角与角终边重合，B正确；
C中，由圆心角为的扇形弧长为，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误；
D中，由是第二象限角，得，则点在第四象限，D正确.
故选：ABD.
【分析】利用象限角的概念，可判断A；利用终边相同的角的特征，可判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积，可判断C；利用三角形函数值的符号法则，可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A选项： 取满足，但此时即A选项不符合题意；
对于B选项： 若，则或所以 ，该命题为真命题，B选项符合题意；
对于C选项： 若， 且则即，故C选项符合题意；
对于D选项： 若 ，则即或故D选项为假命题.
故答案为：BC.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质及特殊值法的运用，利用特殊值即可判定A选项，然后根据不等式的性质即可判定BCD选项.
12．【答案】A,B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A中，因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B中，，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C中，因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D中，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质，逐一判断，即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数平方关系及的范围，即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：根据对数的运算法则和对数的换底公式，可得：，
故答案为：.
【分析】利用换底公式及同底对数加减运算法则，准确化简、运算，即可求解.
15．【答案】0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由函数解析式，可得在上递减，、上递增，且在处连续，
所以函数大致图象如下，
由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，
结合图象，可得.
故答案为：0.
【分析】根据函数的解析式，利用指数函数与二次函数的性质，得到的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，结合图象，即可求解.
16．【答案】
【知识点】对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 ，即对称轴为 ，且开口朝上，
在区间上单调递减，那么
在区间上也是单调递减，且 ，
故
即 ，所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】利用复合函数同增异减的法则，结合对数函数的单调性和二次函数的性质，列出不等式组，即可求出的范围，解答时注意对数型函数的定义域.
17．【答案】（1）解：由不等式，得，解得，即，
当时，解不等式，得或，即或，
所以.
（2）解：（2）依题意，或，由（1）知，由“”是“”的充分条件，得，因此，解得，
所以实数a的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】本题考查集合并集运算，充分条件和必要条件的定义.
（1）先利用指数函数的性质解不等式，据此可求出集合A，当时，解不等式，可求出集合B，再利用集合并集运算可求出；
（2）先解一元二次不等式可求出集合B，利用充分条件的定义可得：，再利用集合的包含关系，可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围；
（1）由不等式，得，解得，即，
当时，解不等式，得或，即或，
所以.
（2）依题意，或，由（1）知，
由“”是“”的充分条件，得，因此，解得，
所以实数a的取值范围.
18．【答案】（1）解：为幂函数，且在上单调递增，，解得：，
.
（2）解：由（1）得：，在上连续且单调递增，
，解得：，
即的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组，求得，从而得到；
（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式 ，解得，即可得解.
19．【答案】（1）解：因为，且，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）解：由，
当且仅当时等号成立，故最小值为，
又恒成立，即，
所以.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求出最值，一元二次不等式的解法.
（1）应用基本不等式可得：，再进行计算可得：，再求出x和y的值，判断等号成立条件，据此可求出最大值；
（2）利用“1”的代换法可得：，再利用基本不等式可求出最小值，根据恒成立有，据此可得：，再解一元二次不等式的解法可求出实数m的取值范围.
（1）由题设，而，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）由，
当且仅当时等号成立，故最小值为，
又恒成立，即，
所以.
20．【答案】（1）解：，且是奇函数，，
，解得，
，
检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）解：函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由是奇函数，，可得，列关于的方程组，求出，即可得到函数的解析式，然后利用单调性的定义，判断并证明函数在上的单调性；
（2）将函数在上有两个零点，转化为方程在上有两个不相等的实数根，
可得，求解即可得的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，
解得，所以函数的解析式为．
（2）解：由，令，因为，则，
再令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】本题考查指数函数的概念，函数的值域；
（1）先将代入函数的解析式可列出方程，解方程可求出，据此可求出函数的解析式；
（2）根据题意可得：，采用换元法令，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出的最大值和最小值，据此可求出数在上的值域.
（1）因为函数（且）的图象过点，则，
解得，因此，．
（2），令，因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
22．【答案】解：（1）依题可知，解得，所以当时，，
设，则，所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立，
记，对称轴为，依题意有，
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
又因为，所以此时；
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时；
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析 】本题考查函数奇偶性的应用，函数的恒成立问题.
（1）根据奇函数的性质可得：，据此可求得的值，再利用奇函数的性质：，可求出求时，的解析式，据此可求出函数的解析式；
(2)利用对数函数的性质，可得在上单调递减，再利用奇函数的对称性可得：在上单调递减，利用奇函数的性质可将不等式转化为：，再根据在上单调递减，可将
不等式转化为不等式，即对任意的恒成立，记，对称轴为，依题意有，分三种情况：当；当；当，再判断函数的单调性，求出的最小值，据此可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
1 / 1广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题
1．（2024高一上·深圳月考）已知角 的终边经过点 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得,再根据任意角的三角函数的定义，即可求出cosa的值即可。
2．（2024高一上·深圳月考）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当且时，则成立，
当时，且，或且，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用对数函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
3．（2024高一上·深圳月考） 已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合指数函数、对数函数的单调性比较大小即可.
4．（2024高一上·深圳月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，且，
所以为偶函数；
又当时，，其为上的单调增函数；
综上所述，只有D选项满足.
故选：D.
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的单调性，结合选项，即可求解.
5．（2024高一上·深圳月考）已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：D.
【分析】利用同角三角函数的关系，化为“齐次式”，代入即可求解.
6．（2024高一上·深圳月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得，解得
综上，的取值范围是.
故选：B.
【分析】根据题意，对分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系，即可求解.
7．（2024高一上·深圳月考）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：对任意，都有成立，
函数在上单调递减，
，解得，故的取值范围是.
故选：A．
【分析】根据题意，得到在上单调递减，结合分段函数单调性的求解方法，以及指数函数与一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
8．（2024高一上·深圳月考）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【分析】根据题意，构造函数，求得的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换为不等式，得到，即可得解.
9．（2024高一上·深圳月考）若函数且的图象过第一 三 四象限，则参数需满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数且的图象不可能同时经过第一 三 四
象限，不满足题意，
当时，要使函数且的图象过第一 三 四象限，则，得.
则，.
故选：BD.
【分析】结合函数的图象与性质，得到且，即可求解.
10．（2024高一上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．角与角终边重合
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若是第二象限角，则点在第四象限
【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角；扇形的弧长与面积；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：A中，是第一象限的角，即，则，
因此是第四象限的角，A正确；
B中，由于，因此角与角终边重合，B正确；
C中，由圆心角为的扇形弧长为，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误；
D中，由是第二象限角，得，则点在第四象限，D正确.
故选：ABD.
【分析】利用象限角的概念，可判断A；利用终边相同的角的特征，可判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积，可判断C；利用三角形函数值的符号法则，可判断D.
11．（2024高一上·深圳月考）若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A选项： 取满足，但此时即A选项不符合题意；
对于B选项： 若，则或所以 ，该命题为真命题，B选项符合题意；
对于C选项： 若， 且则即，故C选项符合题意；
对于D选项： 若 ，则即或故D选项为假命题.
故答案为：BC.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质及特殊值法的运用，利用特殊值即可判定A选项，然后根据不等式的性质即可判定BCD选项.
12．（2024高一上·深圳月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称 D．函数在上为减函数
【答案】A,B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A中，因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B中，，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C中，因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D中，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质，逐一判断，即可求解.
13．（2024高一上·深圳月考）已知，，则 .
【答案】
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数平方关系及的范围，即可求出答案.
14．（2024高一上·深圳月考）已知，则 （结果用a，b表示）.
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：根据对数的运算法则和对数的换底公式，可得：，
故答案为：.
【分析】利用换底公式及同底对数加减运算法则，准确化简、运算，即可求解.
15．（2024高一上·深圳月考）已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ．
【答案】0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由函数解析式，可得在上递减，、上递增，且在处连续，
所以函数大致图象如下，
由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，
结合图象，可得.
故答案为：0.
【分析】根据函数的解析式，利用指数函数与二次函数的性质，得到的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，结合图象，即可求解.
16．（2024高一上·深圳月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 ，即对称轴为 ，且开口朝上，
在区间上单调递减，那么
在区间上也是单调递减，且 ，
故
即 ，所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】利用复合函数同增异减的法则，结合对数函数的单调性和二次函数的性质，列出不等式组，即可求出的范围，解答时注意对数型函数的定义域.
17．（2024高一上·深圳月考）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由不等式，得，解得，即，
当时，解不等式，得或，即或，
所以.
（2）解：（2）依题意，或，由（1）知，由“”是“”的充分条件，得，因此，解得，
所以实数a的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】本题考查集合并集运算，充分条件和必要条件的定义.
（1）先利用指数函数的性质解不等式，据此可求出集合A，当时，解不等式，可求出集合B，再利用集合并集运算可求出；
（2）先解一元二次不等式可求出集合B，利用充分条件的定义可得：，再利用集合的包含关系，可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围；
（1）由不等式，得，解得，即，
当时，解不等式，得或，即或，
所以.
（2）依题意，或，由（1）知，
由“”是“”的充分条件，得，因此，解得，
所以实数a的取值范围.
18．（2024高一上·深圳月考）已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：为幂函数，且在上单调递增，，解得：，
.
（2）解：由（1）得：，在上连续且单调递增，
，解得：，
即的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组，求得，从而得到；
（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式 ，解得，即可得解.
19．（2024高一上·深圳月考）已知，，且.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：因为，且，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）解：由，
当且仅当时等号成立，故最小值为，
又恒成立，即，
所以.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求出最值，一元二次不等式的解法.
（1）应用基本不等式可得：，再进行计算可得：，再求出x和y的值，判断等号成立条件，据此可求出最大值；
（2）利用“1”的代换法可得：，再利用基本不等式可求出最小值，根据恒成立有，据此可得：，再解一元二次不等式的解法可求出实数m的取值范围.
（1）由题设，而，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）由，
当且仅当时等号成立，故最小值为，
又恒成立，即，
所以.
20．（2024高一上·深圳月考）已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，且是奇函数，，
，解得，
，
检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）解：函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由是奇函数，，可得，列关于的方程组，求出，即可得到函数的解析式，然后利用单调性的定义，判断并证明函数在上的单调性；
（2）将函数在上有两个零点，转化为方程在上有两个不相等的实数根，
可得，求解即可得的取值范围.
21．（2024高一上·深圳月考）已知指数函数（且）的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域
【答案】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，
解得，所以函数的解析式为．
（2）解：由，令，因为，则，
再令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】本题考查指数函数的概念，函数的值域；
（1）先将代入函数的解析式可列出方程，解方程可求出，据此可求出函数的解析式；
（2）根据题意可得：，采用换元法令，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出的最大值和最小值，据此可求出数在上的值域.
（1）因为函数（且）的图象过点，则，
解得，因此，．
（2），令，因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
22．（2024高一上·深圳月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）依题可知，解得，所以当时，，
设，则，所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立，
记，对称轴为，依题意有，
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
又因为，所以此时；
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时；
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析 】本题考查函数奇偶性的应用，函数的恒成立问题.
（1）根据奇函数的性质可得：，据此可求得的值，再利用奇函数的性质：，可求出求时，的解析式，据此可求出函数的解析式；
(2)利用对数函数的性质，可得在上单调递减，再利用奇函数的对称性可得：在上单调递减，利用奇函数的性质可将不等式转化为：，再根据在上单调递减，可将
不等式转化为不等式，即对任意的恒成立，记，对称轴为，依题意有，分三种情况：当；当；当，再判断函数的单调性，求出的最小值，据此可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
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