湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高二下·临湘月考）函数y＝cosx lnx的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：y'=(cosx)'lnx+sinx(lnx)'=-sinxlnx+
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导规则交替求导即可.
2．（2024高二下·临湘月考）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．
故答案为：A．
【分析】本题考查圆的方程.圆的方程的两边同时加上x一次项系数一半的平方和y的一次项系数一半的平方，可配成标准方程，据此可找出圆心和半径.
3．（2024高二下·临湘月考）对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定
C．相关指数R2越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
【答案】D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A选项，样本中心点()一定在回归方程上，而其它的样本点则不一定在，故A错误；
B选项，预报变量y与解释变量x并不是一一对应的关系；
C选项， 相关指数R2越大，说明该模型的拟合效果越好，故C错误；
D选项， 残差点分布水平带状区域的宽度越窄 ，说明拟合效果越好， 回归方程的预报精确度越高，故D正确 ；
故答案为：D.
【分析】根据回归方程和相关系数的基本特点去依次判断即可.
4．（2024高二下·临湘月考）已知双曲线C经过点（0，1），离心率为，则C的标准方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B． C．y2﹣x2＝1 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：双曲线经过点(0，1)，即双曲线焦点在y轴上，且a=1，离心率得c=，由a2+b2=c2得b=1，故双曲线的标准方程为y2﹣x2＝1
故答案为：C.
【分析】由题意分别求出a和b，确定焦点在y轴上，即可得标准方程.
5．（2024高二下·临湘月考）随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布的性质知P（ξ≥1.96）＝0.025，故P（|ξ|＜1.96） =1-0.025-0.025=0.950.
故答案为：C.
【分析】由正态分布的对称性即可得结果.
6．（2024高二下·临湘月考）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出取出另外两只不是同一双的概率。
7．（2024高二下·临湘月考）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+3在区间（a，a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2） B． C． D．[﹣1，1）
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0，得x1=0，x2=2，当x<0或x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当0
而 f(x)在区间（a，a+6）上存在最小值，故最小值只能在x=2处取得，
于是a+6>2且a≥-1且a<2，可得-1≤a<2
故答案为：A.
【分析】求导并令导数为0求出极值点0和2和单调区间，由题意知x=2处取最小值，即可推得a的取值范围.
8．（2024高二下·临湘月考）已知，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由
可知
即f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数，易知x>0时，f(x)为增函数，
，故a>c>b
故答案为：D.
【分析】由函数解析式可知函数为偶函数且在x>0时为增函数，比较、和的大小，即可得结果.
二、多选题（共4小题，每题5分，共40分）
9．（2024高二下·临湘月考）已知f（x）＝x﹣lnx，函数f（x）的导函数为f'（x），则下列说法正确的是（ ）
A．f'（1）＝0 B．单调递增区间为（1，+∞）
C．f（x）的极大值为1 D．方程f（x）＝1有两个不同的解
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f'(x)=1-=，得f'(1)=0，故A正确；x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1，+∞)单调递增，故B正确；
而f(x)在(0，1)上单调递减，f(x)在x=1处到取极小值，无极大值，故C错误；f（x）min=1，故f(x)=1仅有一个实数解，故D错误；
答案：AB.
【分析】求导后可得函数的单调区间和极值点，再依次判断即可.
10．（2024高二下·临湘月考）下列说法中正确的是（ ）
附：χ2独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01
χa 2.706 3.841 6.635
A．已知离散型随机变量，则
B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C．若，，，则事件A与B相互独立
D．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布
【解析】【解答】解：A选项，则D(X)=4，，故A错误；
B选项，这组数据有10个，第75百分位数为158，故B正确；
C选项，易知P(B)=1-，P(A)P(B)=P(AB)，故事件A和B相互独立，故C正确；
D选项， χ2＝3.154 <3.841， χ2＝3.154 >2.706，有90%的把握认为变量x与y独立，错误的概率不超过0.1，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据概率与统计的相关知识依次进行判断即可.
11．（2024高二下·临湘月考）若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意知函数f(x)上存在两个点关于原点对称，即(x>0)存在两实数根，方程有两个实数根，
即y=-a与g(x)=有两个交点，
g'(x)=，则x=1，g(x)在01上单调递减，gmax=g(1)=，
当x→+∞时g(x)→0，故当0<-a<时恰有两个交点，即-故答案为：BD.
【分析】将问题转化为函数与函数的交点个数问题，分离参数后利用导数得函数的单调性与单调区间，即可得a的取值范围.
12．（2024高二下·临湘月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
【答案】A,C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A选项，易知各面都为正三角形，故六面体的表面积S=，故A正确；
B选项，D-ABC为正面体，点D在平面ABC内的射影为△ABC的中心，如图所示：
AH=，DH=，故VD-ABC=，
而六面体的体积V'=2V=，故B错误；
C选项，由B选项知DH⊥平面ABC，由对称性知D、H、E共线，如图所示：
故DE⊥平面ABC，故C正确；
D选项，若AD||平面BCE，AD平面AEFD，平面AEFD∩平面BCE=EF，则AD||EF，故∠ADH=∠FEH如图所示：
由此可得△ADH≌△FEH，得AH=HF，明显不成立，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】直接算出6个面的面积之和即可判断A，正四面体的顶点在底面的射影中心，即H为ABC的中点，即可求出AH和DH，即可求出六面体的体积，即可判断B选项.由对称性可知D、H、E共线即可判断C，假设法AD||平面BCE推出矛盾即可判断D选项.
三、填空题（共4小题，每题5分，共40分）
13．（2024高二下·临湘月考）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取件则取到这件产品是次品的概率为 ．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“任取1件产品是次品”，“产品取自第i批规格”，i=1，2，
则，且，互斥，
由题意得，
由全概率公式可得，
故答案为：0.043
【分析】本题主要考查全概率公式的实际应用，分别求出每一事件发生的概率，利用全概率公式求解即可。
14．（2024高二下·临湘月考）过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3ex+2相切的直线方程为 ．
【答案】y＝﹣2x﹣1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：f'(x)=，设切点为(a，)故f'(a)=，
故切线方程为y-()=()(x-a)，
将点(-1，1)代入切线方程得1-ln(a+1)+3-2=（）(-1-a)，即有ln(a+1)=3a，a=0
设g(a)=ln(a+1)-3a，g'(a)=，故g(a)为减函数，g(0)=0，
故a=0为方程的唯一解.故将a=0代入原切线方程得y=-2x-1
故答案为：y=-2x-1.
【分析】设切点并求出切线的斜率，求出切线方程并将(-1，1)代入切线方程，求出方程的根即可.
15．（2024高二下·临湘月考）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）．
【答案】4760
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：投资成功的概率为96%，失败的概率为4%，投资收益X分布列如下所示：
期望E(X)=0.6×0.96-2.5×0.04=0.476万元=4760元.
【分析】求出收益X的分布列，即可求出其期望值.
16．（2024高二下·临湘月考）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：易知R外=8r内，由正弦定理知2R外=，即有R外=，
由余弦定理知，即有，得，
故，
由等面积知，于是，得ac+c2=4b2，于是解得，
故离心率为
故答案为：
【分析】由正弦定理可得外接圆半径，由等面积法可得内切圆半径，再根据8倍关系即可求出离心率.
四、解答题（共5小题，共70分）
17．（2024高二下·临湘月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；
（3）设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．
【答案】（1）解：令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则；
（2）解：X的所有可能值为0，1，2，
，，，
综上知，X的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）解：由题意知Y的所有可能值为1，2，3，
，，，
综上知，Y的分布列为：
Y 1 2 3
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；概率分布列
【解析】【分析】(1)分别求出取出3个棕子的总数和3种各取1个的总数，即可得概率；
(2)分别求出当X=0，1，2时的概率即可得分布列；
(3)分别求出Y=1，2，3对应的概率即可得分布列.
18．（2024高二下·临湘月考）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【答案】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2），
∴ ＝0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），
由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m），
∴cos＜，＞＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)通过数据可知BF⊥AB，BA⊥BC建立空间直角坐标系即可证得结论；
(2)设B1D=m可得平面DEF的法向量，即可得二面角的余弦值，即可得正弦值的最小值.
19．（2024高二下·临湘月考） 随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
20． 附：，其中n＝a+b+c+d． α0.10.050.01xa2.7063.8416.635
ChatGPT应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
（1）根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．
【答案】（1）解：零假设H0：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以根据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
（2）解：由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，
因为，
所以X的分布列为且k∈N，
若P（X＝k）是最大值，则P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
根据，
即，整理得，
解得，
又0≤k≤30且k∈N，所以k＝18，
即使P（X＝k）取得最大值时k的值为18．
【知识点】独立性检验；二项分布
【解析】【分析】(1)求出对照数据即可得IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
(2)变量X服从二项分布，可得其概率的通式，设X=k时概率最大求出k的取值范围，即可得k的值.
20．（2024高二下·临湘月考）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx．
（1）当时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；
（2）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：，
令f'（x）＝0得，
由f'（x）＜0得，
所以f（x）的单调减区间为．
（2）解：，因为f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两正根，则，
不等式f（x1）≥mx2恒成立，即恒成立，
所以，
＝﹣2（x1+x2）+2x1lnx1＝﹣﹣2x1+2x1lnx1，
由x1+x2＝a，x1x2＝1，得，所以，
令，
令在(上递增，
则有，即φ'（x）＜0，
所以φ（x）在(上是减函数，
所以，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导后求出其极值点，即可得到函数的单调减区间；
(2)函数有两极值点，即有，将问题转化为，构造函数利用导数求出函数的单调区间和最大值，即可得m的范l围.
21．（2024高二下·临湘月考）某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）
【答案】（1）解：设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为．
（2）解：
（ⅰ）由题意知，取值的可能有1，，
，
，
所以，
由，得，即，所以，
所以关于的函数关系．
（ⅱ）由题意知，，所以，即，
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则，易知函数在上单调递减，
，，
所以的最大值为8．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】本题考查古典概型的概率的计算，独立重复试验的概率的计算，随机变量的期望的计算，利用导数解不等式.
（1）先求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件数，再求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算可得：，再进行计算可求出概率.
（2）（ⅰ）根据题意可得：，再先求出，，据此可求出，再化简可求出，求出答案；
（ⅱ）由，可得：，通过化简可得：，设，求导可得：，据此可推出在上单调递减，再计算的函数值，据此可求出k的最大值.
1 / 1湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高二下·临湘月考）函数y＝cosx lnx的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·临湘月考）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·临湘月考）对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定
C．相关指数R2越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
4．（2024高二下·临湘月考）已知双曲线C经过点（0，1），离心率为，则C的标准方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B． C．y2﹣x2＝1 D．
5．（2024高二下·临湘月考）随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．（2024高二下·临湘月考）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·临湘月考）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+3在区间（a，a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2） B． C． D．[﹣1，1）
8．（2024高二下·临湘月考）已知，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
二、多选题（共4小题，每题5分，共40分）
9．（2024高二下·临湘月考）已知f（x）＝x﹣lnx，函数f（x）的导函数为f'（x），则下列说法正确的是（ ）
A．f'（1）＝0 B．单调递增区间为（1，+∞）
C．f（x）的极大值为1 D．方程f（x）＝1有两个不同的解
10．（2024高二下·临湘月考）下列说法中正确的是（ ）
附：χ2独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01
χa 2.706 3.841 6.635
A．已知离散型随机变量，则
B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C．若，，，则事件A与B相互独立
D．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05
11．（2024高二下·临湘月考）若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
12．（2024高二下·临湘月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
三、填空题（共4小题，每题5分，共40分）
13．（2024高二下·临湘月考）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取件则取到这件产品是次品的概率为 ．
14．（2024高二下·临湘月考）过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3ex+2相切的直线方程为 ．
15．（2024高二下·临湘月考）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）．
16．（2024高二下·临湘月考）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题（共5小题，共70分）
17．（2024高二下·临湘月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；
（3）设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．
18．（2024高二下·临湘月考）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
19．（2024高二下·临湘月考） 随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
20． 附：，其中n＝a+b+c+d． α0.10.050.01xa2.7063.8416.635
ChatGPT应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
（1）根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．
20．（2024高二下·临湘月考）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx．
（1）当时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；
（2）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
21．（2024高二下·临湘月考）某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：y'=(cosx)'lnx+sinx(lnx)'=-sinxlnx+
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导规则交替求导即可.
2．【答案】A
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．
故答案为：A．
【分析】本题考查圆的方程.圆的方程的两边同时加上x一次项系数一半的平方和y的一次项系数一半的平方，可配成标准方程，据此可找出圆心和半径.
3．【答案】D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A选项，样本中心点()一定在回归方程上，而其它的样本点则不一定在，故A错误；
B选项，预报变量y与解释变量x并不是一一对应的关系；
C选项， 相关指数R2越大，说明该模型的拟合效果越好，故C错误；
D选项， 残差点分布水平带状区域的宽度越窄 ，说明拟合效果越好， 回归方程的预报精确度越高，故D正确 ；
故答案为：D.
【分析】根据回归方程和相关系数的基本特点去依次判断即可.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：双曲线经过点(0，1)，即双曲线焦点在y轴上，且a=1，离心率得c=，由a2+b2=c2得b=1，故双曲线的标准方程为y2﹣x2＝1
故答案为：C.
【分析】由题意分别求出a和b，确定焦点在y轴上，即可得标准方程.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布的性质知P（ξ≥1.96）＝0.025，故P（|ξ|＜1.96） =1-0.025-0.025=0.950.
故答案为：C.
【分析】由正态分布的对称性即可得结果.
6．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出取出另外两只不是同一双的概率。
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0，得x1=0，x2=2，当x<0或x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当0而 f(x)在区间（a，a+6）上存在最小值，故最小值只能在x=2处取得，
于是a+6>2且a≥-1且a<2，可得-1≤a<2
故答案为：A.
【分析】求导并令导数为0求出极值点0和2和单调区间，由题意知x=2处取最小值，即可推得a的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由
可知
即f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数，易知x>0时，f(x)为增函数，
，故a>c>b
故答案为：D.
【分析】由函数解析式可知函数为偶函数且在x>0时为增函数，比较、和的大小，即可得结果.
9．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f'(x)=1-=，得f'(1)=0，故A正确；x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1，+∞)单调递增，故B正确；
而f(x)在(0，1)上单调递减，f(x)在x=1处到取极小值，无极大值，故C错误；f（x）min=1，故f(x)=1仅有一个实数解，故D错误；
答案：AB.
【分析】求导后可得函数的单调区间和极值点，再依次判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布
【解析】【解答】解：A选项，则D(X)=4，，故A错误；
B选项，这组数据有10个，第75百分位数为158，故B正确；
C选项，易知P(B)=1-，P(A)P(B)=P(AB)，故事件A和B相互独立，故C正确；
D选项， χ2＝3.154 <3.841， χ2＝3.154 >2.706，有90%的把握认为变量x与y独立，错误的概率不超过0.1，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据概率与统计的相关知识依次进行判断即可.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意知函数f(x)上存在两个点关于原点对称，即(x>0)存在两实数根，方程有两个实数根，
即y=-a与g(x)=有两个交点，
g'(x)=，则x=1，g(x)在01上单调递减，gmax=g(1)=，
当x→+∞时g(x)→0，故当0<-a<时恰有两个交点，即-故答案为：BD.
【分析】将问题转化为函数与函数的交点个数问题，分离参数后利用导数得函数的单调性与单调区间，即可得a的取值范围.
12．【答案】A,C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A选项，易知各面都为正三角形，故六面体的表面积S=，故A正确；
B选项，D-ABC为正面体，点D在平面ABC内的射影为△ABC的中心，如图所示：
AH=，DH=，故VD-ABC=，
而六面体的体积V'=2V=，故B错误；
C选项，由B选项知DH⊥平面ABC，由对称性知D、H、E共线，如图所示：
故DE⊥平面ABC，故C正确；
D选项，若AD||平面BCE，AD平面AEFD，平面AEFD∩平面BCE=EF，则AD||EF，故∠ADH=∠FEH如图所示：
由此可得△ADH≌△FEH，得AH=HF，明显不成立，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】直接算出6个面的面积之和即可判断A，正四面体的顶点在底面的射影中心，即H为ABC的中点，即可求出AH和DH，即可求出六面体的体积，即可判断B选项.由对称性可知D、H、E共线即可判断C，假设法AD||平面BCE推出矛盾即可判断D选项.
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“任取1件产品是次品”，“产品取自第i批规格”，i=1，2，
则，且，互斥，
由题意得，
由全概率公式可得，
故答案为：0.043
【分析】本题主要考查全概率公式的实际应用，分别求出每一事件发生的概率，利用全概率公式求解即可。
14．【答案】y＝﹣2x﹣1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：f'(x)=，设切点为(a，)故f'(a)=，
故切线方程为y-()=()(x-a)，
将点(-1，1)代入切线方程得1-ln(a+1)+3-2=（）(-1-a)，即有ln(a+1)=3a，a=0
设g(a)=ln(a+1)-3a，g'(a)=，故g(a)为减函数，g(0)=0，
故a=0为方程的唯一解.故将a=0代入原切线方程得y=-2x-1
故答案为：y=-2x-1.
【分析】设切点并求出切线的斜率，求出切线方程并将(-1，1)代入切线方程，求出方程的根即可.
15．【答案】4760
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：投资成功的概率为96%，失败的概率为4%，投资收益X分布列如下所示：
期望E(X)=0.6×0.96-2.5×0.04=0.476万元=4760元.
【分析】求出收益X的分布列，即可求出其期望值.
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：易知R外=8r内，由正弦定理知2R外=，即有R外=，
由余弦定理知，即有，得，
故，
由等面积知，于是，得ac+c2=4b2，于是解得，
故离心率为
故答案为：
【分析】由正弦定理可得外接圆半径，由等面积法可得内切圆半径，再根据8倍关系即可求出离心率.
17．【答案】（1）解：令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则；
（2）解：X的所有可能值为0，1，2，
，，，
综上知，X的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）解：由题意知Y的所有可能值为1，2，3，
，，，
综上知，Y的分布列为：
Y 1 2 3
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；概率分布列
【解析】【分析】(1)分别求出取出3个棕子的总数和3种各取1个的总数，即可得概率；
(2)分别求出当X=0，1，2时的概率即可得分布列；
(3)分别求出Y=1，2，3对应的概率即可得分布列.
18．【答案】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2），
∴ ＝0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），
由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m），
∴cos＜，＞＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)通过数据可知BF⊥AB，BA⊥BC建立空间直角坐标系即可证得结论；
(2)设B1D=m可得平面DEF的法向量，即可得二面角的余弦值，即可得正弦值的最小值.
19．【答案】（1）解：零假设H0：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以根据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
（2）解：由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，
因为，
所以X的分布列为且k∈N，
若P（X＝k）是最大值，则P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
根据，
即，整理得，
解得，
又0≤k≤30且k∈N，所以k＝18，
即使P（X＝k）取得最大值时k的值为18．
【知识点】独立性检验；二项分布
【解析】【分析】(1)求出对照数据即可得IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
(2)变量X服从二项分布，可得其概率的通式，设X=k时概率最大求出k的取值范围，即可得k的值.
20．【答案】（1）解：，
令f'（x）＝0得，
由f'（x）＜0得，
所以f（x）的单调减区间为．
（2）解：，因为f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两正根，则，
不等式f（x1）≥mx2恒成立，即恒成立，
所以，
＝﹣2（x1+x2）+2x1lnx1＝﹣﹣2x1+2x1lnx1，
由x1+x2＝a，x1x2＝1，得，所以，
令，
令在(上递增，
则有，即φ'（x）＜0，
所以φ（x）在(上是减函数，
所以，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导后求出其极值点，即可得到函数的单调减区间；
(2)函数有两极值点，即有，将问题转化为，构造函数利用导数求出函数的单调区间和最大值，即可得m的范l围.
21．【答案】（1）解：设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为．
（2）解：
（ⅰ）由题意知，取值的可能有1，，
，
，
所以，
由，得，即，所以，
所以关于的函数关系．
（ⅱ）由题意知，，所以，即，
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则，易知函数在上单调递减，
，，
所以的最大值为8．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】本题考查古典概型的概率的计算，独立重复试验的概率的计算，随机变量的期望的计算，利用导数解不等式.
（1）先求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件数，再求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算可得：，再进行计算可求出概率.
（2）（ⅰ）根据题意可得：，再先求出，，据此可求出，再化简可求出，求出答案；
（ⅱ）由，可得：，通过化简可得：，设，求导可得：，据此可推出在上单调递减，再计算的函数值，据此可求出k的最大值.
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