浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷
1．（2024高三下·永康开学考）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：因为，则．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法得出集合A和集合B，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集.
2．（2024高三下·永康开学考）设复数（其中为虚数单位），是的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用共轭复数的定义及复数的乘除法运算法则，再结合复数加法运算法则即可求解.
3．（2024高三下·永康开学考）已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差不相同
C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以，A不符合题意；
，所以两组样本数据的方差相同，B不符合题意；
新的样本数据的极差=，所以两组样本数据的极差相同，C符合题意；
样本容量为20的新的样本数据的平均数为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平均数公式、方差公式、极差公式，进而找出正确的选项。
4．（2024高三下·永康开学考）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）（）
A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
设球的半径为，，，，，
，即该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦定理的性质和圆的切线的性质，再结合两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式，进而得出该球体建筑物的高度.
5．（2024高三下·永康开学考）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆：得出圆心，半径，
由圆：得出圆心，半径，
若两圆有公切线，则，
即，解得或，
则“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
【分析】根据已知条件结合圆与圆的位置关系确定的取值范围，再结合充分性、必要性的判断方法，从而找出正确的选项.
6．（2024高三下·永康开学考）为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．120 C．144 D．240
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则分4组的情况有种方法数，再将4组人分配到4所学校有种方法数，
利用分步乘法计数原理，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合排列和组合中的分组分配方法，从而得出甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数.
7．（2024高三下·永康开学考） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；基本不等式
【解析】【解答】解： 是偶函数，是奇函数 ，，求得，
，，当且仅当时取等.
故答案为：B.
【分析】根据奇偶函数定义求出 的解析式，再利用基本不等式求最小值.
8．（2024高三下·永康开学考）已知，，（为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以，
又，，所以，
设，则，由，可得，函数单调递增，
由，可得，函数函数单调递减，
所以，，所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的的单调性和构造法构造出函数，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
9．（2024高三下·永康开学考）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男生 280 q 280+q
女生 p 120 120+p
合计 280+p 120+q 400+p+q
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关
【答案】A,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：对于A，由男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，
女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，可得：
解得：，故选项A正确；
对于B，由于随机对一名学生进行调查，此学生是喜欢体育锻炼的频率为，
所以，可以估计此学生有的可能喜欢体育锻炼，故选项B错误；
对于C，计算卡方得：，
由于，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，
认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01，故选项C正确；
对于D，由于，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据题意和列联表中的数据，再由古典概型求概率公式补全二阶列联表，从而判断出选项A；利用频率和卡方值和独立性检验的方法分别判断出选项B、选项C、选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高三下·永康开学考）设函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A，，由于的最小正周期，所以，故选项A正确；
对于B，因为，函数的图象向左平移个长度单位得到
函数，故选项B错误；
对于C，对于函数，由于，
所以，函数的图象关于点中心对称，故选项C正确；
对于D，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件结合三角恒等变换化简出函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而判断出选项A；由选项A得出函数的解析式，再结合正弦型函数的图象变换判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三下·永康开学考）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记第一次抽到第号球的事件分别为
则有，，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，
因此第二次抽到1号球的概率为，故选项A正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为，
而两两互斥，和为，所以
记第二次抽到3号球的事件为，
所以，
故选项B正确；
对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为，
而两两互斥，和为，所以，
记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
所以，
，
，
即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故选项C错误；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，
由分步乘法计数原理得出不同的放法种数是种，
故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】对于A，利用已知条件和条件概率公式求解，从而判断出选项A；对于B，利用已知条件和全概率公式求解，从而判断出选项B；对于C，利用已知条件和贝叶斯公式求解，从而判断出选项C；对于D，利用已知条件和不同元素的分配问题，先分份再分配，再根据排列数和组合数公式求解，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高三下·永康开学考）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2 D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，
将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得函数，
则函数关于直线对称，即为偶函数，
所以，则，
所以，即，
令得，，所以，，故选项A正确；
对于B，由可得当时，，
即，令，则，
所以，所以函数函数的图象关于点对称，
故选项B正确；
对于C，因为为偶函数，则，
又因为，
所以，
则，
所以，即，
则，
所以函数的周期为4，故选项C不正确；
对于D，因为函数的周期为4，则函数的周期也为4，
由，可得，，
则
，
故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据偶函数定义和图象变换可判断出函数为偶函数，即得出，再利用特殊值判断出选项A；对进行变形处理结合函数的图象的对称性，从而判断出函数的图象的对称性，从而判断选项B；由偶函数的定义和，代换处理，从而判断出选项C；根据周期函数的定义和特殊值关系得出，，从而化简，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高三下·永康开学考）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】在的展开式的通项公式为，
所以令，解得，
所以常数项为
故答案为：20．
【分析】根据展开式的通项公式求解即可.
14．（2024高三下·永康开学考）过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【答案】或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率为，
则切线方程为，
代入点得出，即，
解得或，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为．
故填：或.
【分析】利用已知条件，设切点坐标为，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出切线方程，从而将点代入切线方程解出，进而得出切线方程.
15．（2024高三下·永康开学考）已知函数 ，若恒成立，则k的最小值是 ．
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，
作出函数的图象如图示，
，即在原点处的切线斜率为1，
由图象可知，当时，即有时，恒成立，
故当时，恒成立，则；
当时，恒成立，即恒成立，
设，所以在内恒成立，
即在上单调递减，所以，则，
综上所述，k的最小值为1，
故答案为：1
【分析】当时，恒成立，即恒成立，求导可得在原点处的切线斜率，由图象可知；当时，恒成立，即恒成立，设，求导可得在上单调性，可得，即可求出k的最小值.
16．（2024高三下·永康开学考）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数为n的所有正因数之和，如σ( 6 )＝1＋2＋3＋6＝12，则σ( 20 )＝ ；σ(6n )＝ ．
【答案】42；
【知识点】等比数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
【分析】本题考查数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式.根据为n的所有正因数之和，据此可得：，再进行计算可求出，，进而可找出的正因数，据此可得：，再利用等比数列的前n项和公式可求出σ(6n ).
17．（2024高三下·永康开学考）已知数列满足，且.
（1）为数列的前n项和，若，求；
（2）若，求m所有可能取值的和．
【答案】（1）解：由题给递推式得：
，
数列从开始，每三项出现一次4，2，1循环．
∴.
（2）解：因为，则，则或，
若，则或，即或；
若，则，即
因此m的所有取值和为．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题给递推式得数列从开始，每三项出现一次4，2，1循环，可求出；
（2）由 求出 或， 即可求出 m所有可能取值的和．
18．（2024高三下·永康开学考）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）解：设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
【知识点】函数的值域；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 连接，在中，，结合余弦函数的定义得出的值，在中结合余弦函数的定义得出AD的长，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
（2） 设，易知，在中结合两点距离公式得出①，再利用结合不等式的基本性质以及正切型函数的图象求值域的方法和代入法得出的取值范围。
19．（2024高三下·永康开学考）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：设交于点，底面为矩形，
在中，，
为的中点，，
在中，，
，，，
，，
，，，即，
∵，为等边三角形，
为的中点，，
∵平面平面平面SAO，
平面平面=，，
平面，
平面，，即，
又，，平面，
平面.
（2）解：设，，底面为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面=，，
平面.
以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；
∵，为等边三角形，
为的中点，
，，
则，，，，，
，，，；
，
，
设平面的法向量为，
，即，
令，
设平面的法向量为，
由可得，
令，，
，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
或.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用中位线的性质、相似三角形对应边成比例和勾股定理证出，再根据等边三角形的定义、等边三角形三线合一的性质和平面与平面垂直的性质定理证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面.
（2）根据已知条件和矩形的定义、平面与平面垂直的性质定理证出线线垂直和线面垂直，从而建立空间直角坐标系，再利用中点和等边三角形三线合一的性质，从而证出线线垂直，再结合勾股定理和中点的性质，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示和平面向量基本定理，从而由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和一元二次方程求解方法得出存在的点，并求出的值.
（1）证明：设交于点，
底面为矩形，在中，，
为的中点，，
在中，，
，，，，，
，，，即，
∵，为等边三角形，为的中点，，
∵平面平面平面SAO，平面平面=，，
平面，
平面，，即，
又，，平面，平面.
（2）设，，
底面为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面=，，
平面.
以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；
∵，为等边三角形，
为的中点，
，，
，，，，，
，，，；
，
，
设平面的法向量为，
，即，令，
设平面的法向量为，
由可得，
令，，
，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
或.
20．（2024高三下·永康开学考）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得，，，，，.
（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
（2）规定：数组满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数，.
【答案】（1）解：因为，
代入已知数据，
得，
所以，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）解：依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组，
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，
抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，随机变量X的概率分布为
0 1 2 3
所以，随机变量的数学期望.
另解：因为，所以 .
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据参考公式和数据，从而得出相关系数r，进而判断出该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的相关性的强弱.
（2）根据“I类误差”、“II类误差”、“III类误差”的定义可知随机变量X的所有可能取值，再根据超几何分布求概率公式求出随机变量X的分布列，再由随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）因为，
代入已知数据，
得.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组.
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，
抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，.
所以X的概率分布为
0 1 2 3
所以的数学期望.
另解：因为，所以 .
21．（2024高三下·永康开学考）已知点是双曲线上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知圆心在y轴上的圆C经过点，与双曲线的右支交于点M，N，且直线经过F，求圆C的方程．
【答案】（1）解：由已知条件得：
双曲线方程为：．
（2）解：若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线的方程为，
由消元得：
∴的中点Q的坐标为．
设，直线，得，
又，
根据勾股定理有
∴．
化简得
解得或（舍）
∴，∴圆C的方程为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出a，b，可得双曲线的方程；
（2）若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立；设直线的方程为，与双曲线方程联立，求出的中点Q的坐标，设，直线 ，求得点C的坐标， 根据勾股定理列出等式求出k2，即可求出圆C的方程．
22．（2024高三下·永康开学考）已知函数（）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．
（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）解：已知函数，定义域为，
当时，，得，
所以当时，，当时，，
因此在单调递增，在单调递减.
（2）先证明，
已知函数，定义域为，
所以，
当时，，在单调递增，不满足题意；
当，可知在单调递增，在单调递减.
又当时，；当时，，
若函数有两个不同的零点，，不妨设，则，
即，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以由，解得，所以，
因为，
设，则由于单调递增，则，
即，，利用对数均值不等式有
，可证得.
所以要证明，只要证明.
设（），则，
所以在单调递减，则.
因此有.
对数均值不等式证明如下：
不妨设，要证，即证，
令，即证，即，
即证：，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以结论得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.
（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.
1 / 1浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷
1．（2024高三下·永康开学考）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·永康开学考）设复数（其中为虚数单位），是的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·永康开学考）已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差不相同
C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为
4．（2024高三下·永康开学考）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）（）
A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m
5．（2024高三下·永康开学考）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三下·永康开学考）为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．120 C．144 D．240
7．（2024高三下·永康开学考） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·永康开学考）已知，，（为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·永康开学考）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男生 280 q 280+q
女生 p 120 120+p
合计 280+p 120+q 400+p+q
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关
10．（2024高三下·永康开学考）设函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间上单调递增
11．（2024高三下·永康开学考）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
12．（2024高三下·永康开学考）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2 D．
13．（2024高三下·永康开学考）在的展开式中，常数项为 ．
14．（2024高三下·永康开学考）过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
15．（2024高三下·永康开学考）已知函数 ，若恒成立，则k的最小值是 ．
16．（2024高三下·永康开学考）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数为n的所有正因数之和，如σ( 6 )＝1＋2＋3＋6＝12，则σ( 20 )＝ ；σ(6n )＝ ．
17．（2024高三下·永康开学考）已知数列满足，且.
（1）为数列的前n项和，若，求；
（2）若，求m所有可能取值的和．
18．（2024高三下·永康开学考）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
19．（2024高三下·永康开学考）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．（2024高三下·永康开学考）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得，，，，，.
（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
（2）规定：数组满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数，.
21．（2024高三下·永康开学考）已知点是双曲线上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知圆心在y轴上的圆C经过点，与双曲线的右支交于点M，N，且直线经过F，求圆C的方程．
22．（2024高三下·永康开学考）已知函数（）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．
（其中是自然对数的底数）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：因为，则．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法得出集合A和集合B，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用共轭复数的定义及复数的乘除法运算法则，再结合复数加法运算法则即可求解.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以，A不符合题意；
，所以两组样本数据的方差相同，B不符合题意；
新的样本数据的极差=，所以两组样本数据的极差相同，C符合题意；
样本容量为20的新的样本数据的平均数为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平均数公式、方差公式、极差公式，进而找出正确的选项。
4．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
设球的半径为，，，，，
，即该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦定理的性质和圆的切线的性质，再结合两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式，进而得出该球体建筑物的高度.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆：得出圆心，半径，
由圆：得出圆心，半径，
若两圆有公切线，则，
即，解得或，
则“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
【分析】根据已知条件结合圆与圆的位置关系确定的取值范围，再结合充分性、必要性的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则分4组的情况有种方法数，再将4组人分配到4所学校有种方法数，
利用分步乘法计数原理，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合排列和组合中的分组分配方法，从而得出甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数.
7．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；基本不等式
【解析】【解答】解： 是偶函数，是奇函数 ，，求得，
，，当且仅当时取等.
故答案为：B.
【分析】根据奇偶函数定义求出 的解析式，再利用基本不等式求最小值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以，
又，，所以，
设，则，由，可得，函数单调递增，
由，可得，函数函数单调递减，
所以，，所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的的单调性和构造法构造出函数，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：对于A，由男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，
女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，可得：
解得：，故选项A正确；
对于B，由于随机对一名学生进行调查，此学生是喜欢体育锻炼的频率为，
所以，可以估计此学生有的可能喜欢体育锻炼，故选项B错误；
对于C，计算卡方得：，
由于，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，
认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01，故选项C正确；
对于D，由于，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据题意和列联表中的数据，再由古典概型求概率公式补全二阶列联表，从而判断出选项A；利用频率和卡方值和独立性检验的方法分别判断出选项B、选项C、选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A，，由于的最小正周期，所以，故选项A正确；
对于B，因为，函数的图象向左平移个长度单位得到
函数，故选项B错误；
对于C，对于函数，由于，
所以，函数的图象关于点中心对称，故选项C正确；
对于D，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件结合三角恒等变换化简出函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而判断出选项A；由选项A得出函数的解析式，再结合正弦型函数的图象变换判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记第一次抽到第号球的事件分别为
则有，，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，
因此第二次抽到1号球的概率为，故选项A正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为，
而两两互斥，和为，所以
记第二次抽到3号球的事件为，
所以，
故选项B正确；
对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为，
而两两互斥，和为，所以，
记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
所以，
，
，
即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故选项C错误；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，
由分步乘法计数原理得出不同的放法种数是种，
故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】对于A，利用已知条件和条件概率公式求解，从而判断出选项A；对于B，利用已知条件和全概率公式求解，从而判断出选项B；对于C，利用已知条件和贝叶斯公式求解，从而判断出选项C；对于D，利用已知条件和不同元素的分配问题，先分份再分配，再根据排列数和组合数公式求解，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，
将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得函数，
则函数关于直线对称，即为偶函数，
所以，则，
所以，即，
令得，，所以，，故选项A正确；
对于B，由可得当时，，
即，令，则，
所以，所以函数函数的图象关于点对称，
故选项B正确；
对于C，因为为偶函数，则，
又因为，
所以，
则，
所以，即，
则，
所以函数的周期为4，故选项C不正确；
对于D，因为函数的周期为4，则函数的周期也为4，
由，可得，，
则
，
故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据偶函数定义和图象变换可判断出函数为偶函数，即得出，再利用特殊值判断出选项A；对进行变形处理结合函数的图象的对称性，从而判断出函数的图象的对称性，从而判断选项B；由偶函数的定义和，代换处理，从而判断出选项C；根据周期函数的定义和特殊值关系得出，，从而化简，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】在的展开式的通项公式为，
所以令，解得，
所以常数项为
故答案为：20．
【分析】根据展开式的通项公式求解即可.
14．【答案】或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率为，
则切线方程为，
代入点得出，即，
解得或，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为．
故填：或.
【分析】利用已知条件，设切点坐标为，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出切线方程，从而将点代入切线方程解出，进而得出切线方程.
15．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，
作出函数的图象如图示，
，即在原点处的切线斜率为1，
由图象可知，当时，即有时，恒成立，
故当时，恒成立，则；
当时，恒成立，即恒成立，
设，所以在内恒成立，
即在上单调递减，所以，则，
综上所述，k的最小值为1，
故答案为：1
【分析】当时，恒成立，即恒成立，求导可得在原点处的切线斜率，由图象可知；当时，恒成立，即恒成立，设，求导可得在上单调性，可得，即可求出k的最小值.
16．【答案】42；
【知识点】等比数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
【分析】本题考查数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式.根据为n的所有正因数之和，据此可得：，再进行计算可求出，，进而可找出的正因数，据此可得：，再利用等比数列的前n项和公式可求出σ(6n ).
17．【答案】（1）解：由题给递推式得：
，
数列从开始，每三项出现一次4，2，1循环．
∴.
（2）解：因为，则，则或，
若，则或，即或；
若，则，即
因此m的所有取值和为．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题给递推式得数列从开始，每三项出现一次4，2，1循环，可求出；
（2）由 求出 或， 即可求出 m所有可能取值的和．
18．【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）解：设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
【知识点】函数的值域；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 连接，在中，，结合余弦函数的定义得出的值，在中结合余弦函数的定义得出AD的长，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
（2） 设，易知，在中结合两点距离公式得出①，再利用结合不等式的基本性质以及正切型函数的图象求值域的方法和代入法得出的取值范围。
19．【答案】（1）证明：设交于点，底面为矩形，
在中，，
为的中点，，
在中，，
，，，
，，
，，，即，
∵，为等边三角形，
为的中点，，
∵平面平面平面SAO，
平面平面=，，
平面，
平面，，即，
又，，平面，
平面.
（2）解：设，，底面为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面=，，
平面.
以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；
∵，为等边三角形，
为的中点，
，，
则，，，，，
，，，；
，
，
设平面的法向量为，
，即，
令，
设平面的法向量为，
由可得，
令，，
，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
或.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用中位线的性质、相似三角形对应边成比例和勾股定理证出，再根据等边三角形的定义、等边三角形三线合一的性质和平面与平面垂直的性质定理证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面.
（2）根据已知条件和矩形的定义、平面与平面垂直的性质定理证出线线垂直和线面垂直，从而建立空间直角坐标系，再利用中点和等边三角形三线合一的性质，从而证出线线垂直，再结合勾股定理和中点的性质，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示和平面向量基本定理，从而由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和一元二次方程求解方法得出存在的点，并求出的值.
（1）证明：设交于点，
底面为矩形，在中，，
为的中点，，
在中，，
，，，，，
，，，即，
∵，为等边三角形，为的中点，，
∵平面平面平面SAO，平面平面=，，
平面，
平面，，即，
又，，平面，平面.
（2）设，，
底面为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面=，，
平面.
以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；
∵，为等边三角形，
为的中点，
，，
，，，，，
，，，；
，
，
设平面的法向量为，
，即，令，
设平面的法向量为，
由可得，
令，，
，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
或.
20．【答案】（1）解：因为，
代入已知数据，
得，
所以，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）解：依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组，
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，
抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，随机变量X的概率分布为
0 1 2 3
所以，随机变量的数学期望.
另解：因为，所以 .
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据参考公式和数据，从而得出相关系数r，进而判断出该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的相关性的强弱.
（2）根据“I类误差”、“II类误差”、“III类误差”的定义可知随机变量X的所有可能取值，再根据超几何分布求概率公式求出随机变量X的分布列，再由随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）因为，
代入已知数据，
得.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组.
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，
抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，.
所以X的概率分布为
0 1 2 3
所以的数学期望.
另解：因为，所以 .
21．【答案】（1）解：由已知条件得：
双曲线方程为：．
（2）解：若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线的方程为，
由消元得：
∴的中点Q的坐标为．
设，直线，得，
又，
根据勾股定理有
∴．
化简得
解得或（舍）
∴，∴圆C的方程为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出a，b，可得双曲线的方程；
（2）若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立；设直线的方程为，与双曲线方程联立，求出的中点Q的坐标，设，直线 ，求得点C的坐标， 根据勾股定理列出等式求出k2，即可求出圆C的方程．
22．【答案】（1）解：已知函数，定义域为，
当时，，得，
所以当时，，当时，，
因此在单调递增，在单调递减.
（2）先证明，
已知函数，定义域为，
所以，
当时，，在单调递增，不满足题意；
当，可知在单调递增，在单调递减.
又当时，；当时，，
若函数有两个不同的零点，，不妨设，则，
即，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以由，解得，所以，
因为，
设，则由于单调递增，则，
即，，利用对数均值不等式有
，可证得.
所以要证明，只要证明.
设（），则，
所以在单调递减，则.
因此有.
对数均值不等式证明如下：
不妨设，要证，即证，
令，即证，即，
即证：，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以结论得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.
（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.
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