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专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 切线的性质
1．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图取中点O，连接．
∵是圆O的直径，∴，∵与圆O相切，∴
∵，∴，∵，∴
又∵，∴，∵，，
∴，∴，∵点O是的中点，∴
∴，∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，∴垂直平分，∴，，
∵为的切线，∴，∵为的直径，∴，
∴四边形为矩形，∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，解得：；
即：的半径为．
3．（2020·广东深圳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
【详解】
（1）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于C点，∴OC⊥CD，又∵CD⊥AE，∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E，∵OC=OB，∴∠ABE＝∠OCB，∴∠ABE＝∠E，∴AE=AB
（2）连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴
∵AB=AE，AC⊥BE，∴EC=BC=6，∵∠DEC＝∠CEA，∠EDC＝∠ECA，∴△EDC∽△ECA
∴，∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．
考点2 切线的判定
4．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵是的切线，∴，∵，，∴，
∵，，∴，∴，又∵，，
∴，∴，∴，∵点D在上，
∴为的切线；
（2）∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
1年模拟
5．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则
【答案】/64度
【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．
【详解】如下图所示，连接OC
从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角
得，∵BC是圆O的切线，∴，∵，∴
∴，∴
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．
6．（2024·广东深圳·一模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G， 连接CG并延长交AD于点F，当AF的最大值是2 时，正方形ABCD的边长为
【答案】8
【分析】以AB为直径作圆O，则∠AGB=90 ，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．
【详解】以AB为直径作圆O，∵AB为直径，∴∠AGB=90 ，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，整理得：x2-8x=0，解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．
7．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到；
（2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
【详解】（1）证明：连接，如图，
为的切线，，，，，，
，，平分；
（2）解：是的直径，，，，，
，，在中，，，
．
8．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O；
(2)在图中，过点C作的切线．
(3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）连接，与的垂直平分线的交点O即为圆心；
（2）取格点P、Q、T，连接，取的中点D，连接，则直线即为所作的切线（可证明，得，从而）；
（3）先利用勾股定理求出直径，则可得圆的半径；根据即可求解．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：如图，直线CD即为所求．
（3）解：∵由勾股定理得，，
∴的面积，，
．
9．（2024·广东深圳·三模）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6．
(1)过点作直线，求证：是的切线
(2)若，，求．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论；
（2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，，，
平分，，，，又，
，，，是半径，是的切线；
（2）解：如图2，连接并延长交于，连接，
是直径，，又，，
，，，，，．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，圆周角定理，切线的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
10．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接．
(1)求证：为的切线
(2)求证：；
(3)若，，则直接写出_______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图：连接，可知进而证得，再根据圆周角定理可得，可推出，从而证得结论；
（2）如图连接，利用圆周角定理即可证明；
（3）由已知易证，于是；再结合已知条件可得，再根勾股定理列方程求得， ；由，然后根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接，∵，∴，又∵，
∴，∵是直径，∴，即，
∴，∴，即，∵为半径，∴为的切线；
（2）证明：如图：连接，
∵点E为的中点，∴，又∵，∴；
（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，
∴，在中，，
∵，即，∴， ，∵；
∴，∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键．
11．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
（1）连接，，根据圆周角定理可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，即可求证；
（2）根据角相等可得相等角的正切值也相等，即可求得，根据勾股定理求得，同理可求得，；连接，根据圆内接四边形的性质可得，故，根据等角对等边可得，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得．
【详解】（1）连接，
∵点为的中点，∴，又∵是直径，∴，
∴，∴，，∴，∴，∵
∴，∴，点在上，∴是的切线
（2）∵，∴，∵且，∴
在中，由勾股定理得，在中，，故
由勾股定理得
连接
∵，，∴，又，∴
∴，又∵，∴，∴，∴．
12．（2024·广东深圳·三模）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．
(1)证明：．
(2)如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧与弦，圆心角，圆周角之间的关系，等腰直角三角的性质与判定，勾股定理等等：
（1）由直径所对的圆周角是直角得到 ，由平行线的性质得到，证明，得到，再证明，即可证明；
（2）如图所示，连接，先求出，则，进而得到，由平行线的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，可得，则；
∵是的切线，再证明，得到，则．
【详解】（1）证明：设交于G，∵为的直径，∴ ，∵，
∴，∴，∵点D为的中点，∴，
∴，又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）解：如图所示，连接，∵，∴，
∴，∴，∵，
∴，由（1）可得，∴，
∴是等腰直角三角形，∵点D为的中点，∴，∴，
∴；∵是的切线，∴，∴，
∴，∵，∴，
∴，∴，∴．
13．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
(3)⊙O的半径为．
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
（3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可.
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．
.
（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作于点E，延长交于点F，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）由，，可推出，根据，可得，即可证明；
（2）连接，根据圆周角定理可得，，结合，可得，根据三角函数可求出，进而求出，最后根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】（1）证明：，，，，
，，为的切线；
（2）解：连接，
是的直径，，即，，，
，，，，，
，，，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，勾股定理和解直角三角形，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径为5
【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可；
（2）根据连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，由内错角相等，两直线平行可得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线；
（2）设，根据勾股定理列方程可得r值．
【详解】（1）解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可，
如图1所示，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
平分，，，，，
∴，，，，，
为的半径，是的切线；
（3）解：设的半径为r，
，，，，在中，，
，，，解得：，的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．（2024·广东深圳·一模）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；
①；②；③；
你选的条件是：______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．
（1）由直径所对圆周角为直角可知，结合圆周定理可知，由，可知，进而可知，即可证明结论；
（2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知，结合（1）证，由圆周角定理可知，证得，进而可得结论；
若选③由同弧所对圆周角相等可知，结合，可知，得，同②，可证．
【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，∵，
∴，又∵，∴，则，∴，
∴是的切线；
（2）若选②；∵，∴，
由（1）可知：，∴，
由圆周角定理可知，∴，∴；
若选③；∵，∴，∵，
∴，∴，
同②，可知；
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专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 切线的性质
1．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
3．（2020·广东深圳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
考点2 切线的判定
4．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
1年模拟
5．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则
6．（2024·广东深圳·一模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G， 连接CG并延长交AD于点F，当AF的最大值是2 时，正方形ABCD的边长为
7．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的值．
8．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O；
(2)在图中，过点C作的切线．
(3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积
9．（2024·广东深圳·三模）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为6．
(1)过点作直线，求证：是的切线
(2)若，，求．
10．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接．
(1)求证：为的切线
(2)求证：；
(3)若，，则直接写出_______
11．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
12．（2024·广东深圳·三模）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．
(1)证明：．
(2)如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．
13．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作于点E，延长交于点F，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径．
16．（2024·广东深圳·一模）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；
①；②；③；
你选的条件是：______
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