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专题15 函数基础、一次函数及其应用
5年真题
考点1 函数图形信息
1．（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
1年模拟
2．（2024·广东深圳·三模）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（ ）
A．高 B．低 C．高 D．低
3．（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（2024·广东深圳·二模）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠2
5．（2024·广东深圳·二模）若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数
y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第（ ）象限
A．四 B．三 C．二 D．一
6．（2024·广东深圳·一模）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
7．（2024·广东深圳·二模）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是
8．（2024·广东深圳·二模）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为
9．（2024·广东深圳·一模）若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
10．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为
11．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描点并连线．
（3）观察图象并填空：
①_____________，________________
②写出该函数的一条性质：_________________
③图象与x轴围成的三角形面积为________________________
④当时，直接写出x的取值范围____________________
12．（2024·广东深圳·二模）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
则设________为y，__________为x，y是x的函数；
(2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
(4)若想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在_______至______千米/小时范围内．
13．（2024·广东深圳·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：
品名 A B
进价（元/枚） 45 60
售价（元/枚） 66 90
(1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
(2)第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
(1)直接画出直线；
(2)的解析式为______；
(3)直线与之间的距离为______个单位长度．
15．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，图中每一个小正方形方格的边长都为1．
(1)在图中画出线段关于轴的对称线段；
(2)在（1）的条件下，将线段绕点旋转一定的角度得到对应线段，使得轴，画出满足条件的线段；
(3)在（2）的条件下，若有一条直线将四边形的面积平分为相等的两部分，请直接写出满足条件的实数，并在图中画出这条直线．
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专题15 函数基础、一次函数及其应用
5年真题
考点1 函数图形信息
1．（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
【答案】C
【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，∴；
在中：；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键．
1年模拟
2．（2024·广东深圳·三模）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（ ）
A．高 B．低 C．高 D．低
【答案】D
【分析】本题考查的是正比例函数的实际应用，令容器内的空气体积为，温度为，细管液面高度为，由图2可得：，，可得，再利用函数的性质可得答案．
【详解】解：令容器内的空气体积为，温度为，细管液面高度为，
由图2可得：，，∴，而，
∴随的增大而减小，∴点处的温度低于点处的温度，
∵，且已知，两个时刻的温差是，∴时候比时候的温度低；
故选D
3．（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，∴，∴，
∴，∴，∴菱形的边长为；
故选A．
4．（2024·广东深圳·二模）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠2
【答案】D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，得出不等式，再解出不等式，即可求出x取值范围．
【详解】根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查自变量的取值范围．二次根式和分式有意义的条件分别是被开方数≥0和分式的分母不能为0，是解本题的关键．
5．（2024·广东深圳·二模）若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数
y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第（ ）象限
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】D
【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，∴△=4+4m<0，即m<-1，
∴一次函数的比例系数m+1<0，图像经过二四象限，截距m-1<0，
则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限
∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围．
6．（2024·广东深圳·一模）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得 ，联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．
7．（2024·广东深圳·二模）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，待定系数法求函数解析式，坐标与轴对称，解题关键是求解反射后的直线方程．首先求出点关于y轴的对称点为，由对称可知反射光线所在直线过点，再由待定系数法求解反射光线所在直线即可求解．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，设的解析式为：，过点，
，，的解析式为：，反射后经过点，
，．
故答案为：．
8．（2024·广东深圳·二模）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为
【答案】
【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集．根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可．
【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方．
故答案为：．
9．（2024·广东深圳·一模）若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移2个单位长度，平移后的直线解析式为：．
平移后经过，．
故答案为：．
10．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为
【答案】1
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2， m），然后再把B点坐标代入
y＝ x＋1可得m的值．
【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，
故答案为1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
11．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描点并连线．
（3）观察图象并填空：
①_____________，________________
②写出该函数的一条性质：_________________
③图象与x轴围成的三角形面积为________________________
④当时，直接写出x的取值范围____________________
【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或
【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键．
（2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象；
（3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可；
②观察图象得到性质即可；
④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可．
【详解】（2）如图
（3）①把，代入得，解得，
∴当时，，
故答案为：，；
②当时，y随x增大而增大 （或）当时，y随x增大而减小 （或）当时，y取最小
③令，则，解得，，
∴图象与x轴围成的三角形面积为，
故答案为：16 ；
④令，则，解得，，
∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或．
12．（2024·广东深圳·二模）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
则设________为y，__________为x，y是x的函数；
(2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
(4)若想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在_______至______千米/小时范围内．
【答案】(1)速度，续航里程
(2)见解析
(3)②③
(4)30，110
【分析】题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义．
（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【详解】（1）∵y是x的函数，∴速度为x，续航里程为y．
故答案为：速度，续航里程；
（2）该函数的图象如图所示：
（3）解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故①说法错误；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大，故②说法正确；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小，故③说法正确；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
（4）解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在30至110千米/小时范围内，
故答案为：30，110．
13．（2024·广东深圳·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：
品名 A B
进价（元/枚） 45 60
售价（元/枚） 66 90
(1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
(2)第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】(1)2880元
(2)按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解；
（2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，（元），
答：全部售完后获利2880元；
（2）解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元．
由题意得：，
∵A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，，
∴，∵，，∴y随x的增大而减小，
当时，（元），
∴B种纪念币的数量为（枚），
答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
(1)直接画出直线；
(2)的解析式为______；
(3)直线与之间的距离为______个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平移的性质画出直线；
（2）利用平移的规律求得直线的解析式；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）如图，
（2）将直线向右平移5个单位长度得到直线为；
故答案为：；
（3）如图，过O作于C，反向延长交于D，
∵与x轴交于，与y轴交于，
与x轴交于，与y轴交于，∵，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∵，
∴，∵，∴，
∴，∴直线与之间的距离为个单位长度，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．
15．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，图中每一个小正方形方格的边长都为1．
(1)在图中画出线段关于轴的对称线段；
(2)在（1）的条件下，将线段绕点旋转一定的角度得到对应线段，使得轴，画出满足条件的线段；
(3)在（2）的条件下，若有一条直线将四边形的面积平分为相等的两部分，请直接写出满足条件的实数，并在图中画出这条直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点的位置，然后连接即可；
（2）根据轴对称的性质找出点关于直线的对称点，即为所求的点；
（3）首先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可知，平分四边形面积的直线经过该平行四边形的中心，然后求出的中点，代入直线计算即可求出值．
【详解】（1）解：如下图，线段即为所求；
（2）如图，作点关于直线的对称点，∵，∴，∴轴，
即线段即为所求；
（3）由轴对称的性质可得，，又∵轴，
∴四边形为平行四边形，∵，，
∴平行四边形的中心坐标为，将点代入直线，
可得 ，解得 ，
作直线，则直线可将四边形的面积平分为相等的两部分．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、平行四边形的判定与性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握轴对称的性质和平行四边形的性质是解题关键．
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