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专题16 反比例函数及其应用
5年真题
考点1 反比例函数系数k的几何意义
1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则
3．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为
考点2 反比例函数与几何综合
4．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为
5．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，
O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=
1年模拟
6．（2024·广东深圳·二模）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（2024·广东深圳·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是
12．（2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．
13．（2024·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为
14．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则
15．（2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ，
16．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为
17．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为
18．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为
19．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为
20．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究．
列表：
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 5 0 …
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”）
的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的；
图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标）
(3)试说明函数 与直线的交点情况．
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专题16 反比例函数及其应用
5年真题
考点1 反比例函数系数k的几何意义
1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，
∵，∴，∴设，则，∴点，
∵点A在反比例函数上，∴，∴（负值已舍），则点，
∴，，∴，∵四边形为菱形，
∴，，∴点，∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：8．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，∴，∵，
∴，∵，∴，
在中，，∴，，
∵，，∴，∴，∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为
【答案】
【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
【详解】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，，
是等边三角形，，，，，，，，在反比例函数上，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点2 反比例函数与几何综合
4．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为
【答案】
【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．
【详解】设：，反比例：，将点A代入可得：；
联立可得：，过点B作y轴的平行线l
过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则，
，，，
，
，，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
5．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，
O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=
【答案】-2
【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值
【详解】解：连接OB，AC，交点为P，∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），∴P的坐标，∵A（3，1），∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C，∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
1年模拟
6．（2024·广东深圳·二模）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点的坐标求出反比例函数解析式，再把点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，∴，∴，
∴反比例函数解析式为，又∵点也在反比例函数图象上，∴，
故选：．
7．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再画出函数图象，根据函数图象得到一次函数图象在反比例函数的图象上方时的取值即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，，∴，∴，
∴，
画出函数图象如下：
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围是或，∴不等式的解集是或，
故选：．
8．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式的意义；联立解析式得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，联立，消去得，，即
∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点，∴
解得：
故选：B．
9．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．
延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，设，可得，根据勾股定理求出，进一步得出，再根据求出即可得出结论．
【详解】解：延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，
则四边形均为矩形，∴，
设，则有，∵，∴，
∵，∴，在中，，
∴，解得，或(不符合题意，舍去)，∴，
∴，∵点A，B在反比例函数的图象上，∴，
解得，，∴，
故选：D．
10．（2024·广东深圳·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴y1==-6，y2==3，y3==2，又∵-6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
11．（2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是
【答案】12
【分析】利用待定系数法求得点坐标，把点，代入求得一次函数解析式为，再求得，利用解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，，，
，，一次函数的图象经过点，，，解得，
一次函数的解析式为，当时，，即，
，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，数形结合是解题的关键．
12．（2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
【详解】解：如图，
延长交点轴于，的面积为，点是的中点，
设点坐标为，，，，
根据中点坐标公式可得，都在反比例函数图象上，，
解得，．
故答案为：．
13．（2024·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为
【答案】
【分析】此题是反比例函数和几何综合题，过C作于E，利用菱形的性质和含角的直角三角形的性质求出点C的坐标，再根据顶点C在反比例函数的图象上求出k的值，即可得到答案．
【详解】解：过C作于E，
∵在菱形中，，∴，∵，
∴，∴，∴
∴点C的坐标为，∵顶点C在反比例函数的图象上，∴，得，
即，
故答案为：．
14．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则
【答案】/
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求的坐标，依据在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求的值，通常可求的坐标，可作轴的垂线，构造相似三角形，利用和可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值．
【详解】解：过作轴，垂足为，
，，，，，
，；又轴平分，，，，，，，设，
则，，，，，，
．
故答案为：．
15．（2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ，
【答案】 4
【分析】本题考查反比例函数、角平分线定理、勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据角平分线定理得到，再通过反比例函数的解析式即可求出点P的坐标；设，根据角平分线定理推算出，再结合勾股定理建立等式进行换算，最后证明，，根据相似比分别求出和的表达式，最后根据面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、H，
∵是的角平分线，是的角平分线，∴，，
∴，设，则点P的坐标为：，∴，解得或（舍去），
∴点P的坐标为：，设，
则，∵,，
∴，∴，
∴，∵，∴，∴
∵，
∴，，∴,，∴，，
∴
故答案为：；4．
16．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数与几何图形的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
作于点，作轴于点，根据直角三角形的性质，角平分线的性质可得，可求出的值，从而求出的值，根据相似三角形的判定和性质可证，可求出点的坐标，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
∵，平分，平分，
∴，∴，∵，，
∴，，
在中，，，
∴，∵，
∴，∴，且，，，
∴，解得，，，∴，
∵点在反比例函数的图象上，∴，
故答案为： ．
17．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
设，点在反比例函数的图象上，且轴于点，点的坐标为，
，，，轴，轴，，
，，，，
点在反比例函数的图象上，且轴于点，点的坐标为，，，，的面积为1，
，即，解得：．
故答案为：．
18．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为
【答案】2
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8，
，即，，
，，即；点在函数的图象上，，即，，；
故答案为：2．
19．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为
【答案】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点D，设点A的坐标为，得到，，然后根据得到，，然后利用得到关于m的方程解题即可．
【详解】解：过点作轴于点D，设点A的坐标为，∴，，
∵轴，点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点
，，∴，∴，
∴，，∴，解得：，
故答案为：．
20．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究．
列表：
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 5 0 …
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”）
的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的；
图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标）
(3)试说明函数 与直线的交点情况．
【答案】(1)见解析；
(2)①增大；②上、1；③；
(3)无交点
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握描点法绘制函数图象，函数图象的平移，函数的对称性和增减性，是解题的关键．
（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）联立方程根据方程组解的情况判断，即可解决问题．
【详解】（1）把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来，如图，
（2）当时，y随x的增大而增大；
故答案为：增大；
的图象可看作是由 的图象向上平移1个单位而得到的；
故答案为：上、1；
图象的两个分支关于点中心对称；
故答案为：；
解方程组，代入，消去y，得，，去分母，得，，
矛盾，x值不存在，
故函数 与直线无交点．
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