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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
考点2 二次函数图象与系数的关系
2．（2020·广东深圳·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．abc>0 B．4ac-b2＞0 C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根
考点3 二次函数的综合应用
3．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
4．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8
8．（2024·广东深圳·一模）已知二次函数经过点、和，若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东深圳·一模）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是
13．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
14．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
15．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米
16．（2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据）
17．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
18．（2024·广东深圳·一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
19．（2024·广东深圳·一模）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
考点2 二次函数图象与系数的关系
2．（2020·广东深圳·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．abc>0 B．4ac-b2＞0 C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根
【答案】B
【分析】根据函数图象确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D．
【详解】由函数图象知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故 =，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
考点3 二次函数的综合应用
3．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，，∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
4．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元
【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，
则，解得：，
故y与x的函数关系式为： ；
（2）设总销售利润为W，则有：，
当，销售利润万，
即单价为13万时，最大获利125万元．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），∴，∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，∴，
当时，，（舍）或，∴，
故选：B．
7．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴右侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：由题意可得：，解得：，，
二次函数，对称轴在轴右侧，∴，，∴
，∵，抛物线开口向上，二次函数有最小值为：
故选：B．
8．（2024·广东深圳·一模）已知二次函数经过点、和，若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键，由这三个点在抛物线上的位置建立不等式求解，即可解决问题．
【详解】解：二次函数解析式为，二次函数对称轴为，，，在，，这三个实数中，只有一个是正数，，，
，解得，
故选：A．
9．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据，可得出，解得，进而可确定的取值范围，函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，解得，∴，
∵，∴，∴，
故选：A．
10．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键．
【详解】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限，∴，，∴，
又∵当时，，
∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧．
故选：A．
11．（2024·广东深圳·一模）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限，∴，
由图知当时，，∴，
∴抛物线开口向下，对称轴为，，
∴对称轴在与0之间，
故选：D．
12．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是
【答案】4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令得，，所以函数的图象与y轴的交点坐标为
方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点．
如图所示，
当时，两个图象有3个不同的交点，所以m的值为4．
故答案为：4．
13．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用，
（1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可．
【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为，设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得
，解得，滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，把代入得
解得，即
运动员到达最高处时与点A的水平距离6；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，
点Q在底面下方竖直距离，把代入得，解得，点，，，
，，设与k的函数解析式为，把代入得，，
解得，，，射线的解析式可化为，
把，代入得，解得，
俯角至少15度．
14．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
【答案】(1)“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个
(2)当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案；
（2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，
依题意得，，解得，，经检验，是原方程的解，
所以，．
答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个；
（2）依题意得，，
当时，每天总利润最大，
此时，（个），（个），
答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”．
15．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的关系式为，将代入得，
解得，∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，∴，即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，在中，米，米，∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，将代入得，
（米），
故答案为：．
16．（2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据）
【答案】任务1：；
任务2：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
任务3：有影响，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；
任务一：待定系数法求解析式，即可求解；
任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；
任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，令，求得的值，然后令，进而得出结论．
【详解】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为，
∴设上边缘抛物线的函数表达式为，
将代入得，解得，∴；
（2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得，
解得（舍去），，∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
∴下边缘抛物线的表达式：，将代入得，
解得（舍去），，∵路边的绿化带宽4米，（米），
∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
（3）根据题意得，将代入，∴，∴有影响，
当时，，解得，
∴
答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害．
17．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
【答案】(1)
(2)，当时，w取最大值，最大值为320
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）根据表中数据，利用待定系数法求解；
（2）结合（1）中结论，根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得w与x之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表中数据知，当时，，当时，，，解得，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知， ，
即w与x之间的函数关系式为；
，当时，w取最大值，最大值为320．
18．（2024·广东深圳·一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；
（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，解得，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：=
∵，∴，∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
19．（2024·广东深圳·一模）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
∴只有时周销售利润最大，，
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
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