中小学教育资源及组卷应用平台
专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
2．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
3．（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，
①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
4．（2020·广东深圳·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
6．（2024·广东深圳·二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
(1)求遮阳棚半径的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
7．（2024·广东深圳·二模）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
8．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
9．（2024·广东深圳·二模）【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．
【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，_____．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？
10．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．
此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．
任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．
任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．
任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门．
注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．
11．（2024·广东深圳·一模）【项目式学习】
【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向.
【项目素材】
素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
【项目任务】
任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务.
12．（2024·广东深圳·一模）如图，已知抛物线：交轴于点和点，交轴于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上第二象限的动点，过点作的平行线交轴于点，连接和，若四边形的面积为4，求此时点的坐标；
(3)如图2，已知直线交轴于点，交轴于点，是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，把线段沿着点顺时针旋转，的对应点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标．
13．（2024·广东深圳·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
14．（2024·广东深圳·一模）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
(4)把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
15．（2024·广东深圳·一模）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
【答案】(1)图见解析，；
(2)方案一：①；②；方案二：①；②；
(3)a的值为或．
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为，
由题意得，解得，
∴y与x的关系式为；
（2）解：方案一：①∵，，∴，此时点的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，解得，
故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，∴，
此时点B的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，解得，
故答案为：；
（3）解：根据题意和的对称轴为，
则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
综上，a的值为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，∴，，∵，
∴点，代入，得：，∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，∴，
∵，当时，，解得：，∴，，
∴，∴；
（3）∵，垂直平分，∴，∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，∴，∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，∴，∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
3．（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，
①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③
【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；
（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；
（2）①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；
③；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，
联立得，，故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．
4．（2020·广东深圳·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0（3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=，∴抛物细的顶点坐标为（-1,4），∵A(-3,0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b，则有 ，解得：，∴直线AD的解析式为y=2x+6,
当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0∴OC=O＇C＇=3，O＇B＇=OB=1，OB＇=1-t，∵O＇C//OC，∴△∽△OM
∴,即，解得：OM=3(1-t)
S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇==
②当时，完全在四边形AOCD内，
③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，
∵GH//AB，∴，∠HGK=∠KAO，∵
∴，∴，∵直线AD的解析式为y=2x+6，∴
∴，，∴，KO＇=2AO＇，∴，∵
∴，∵O＇C＇= C＇K+AO＇，∴，∴
S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK=
∴
综上：；
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），∴
∴，∴
而，∴
∴
∴=-，∴，即
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)见解析
(2)等比性质；
(3)① ②
【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键．
（1）利用盲区的定义作图即可；
（2）根据待定系数法求出反比例函数解析式；
（3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可．
【详解】（1）如图所示:
（2）材料三中的依据是指等比性质；
设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：，
∴；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时
此时，因，，
可得所在直线解析式为：令，得，即，
当经过点的正上方时，视差，此时，
即，抛物线与轴交点的坐标为，当减小到上述的时, ，
之后开始变大，开始变小，即，抛物线顶点的纵坐标为
设抛物线解析式为将等代入得
，
解得，∵,对称轴在轴右侧，∴，故，
此时，∴抛物线解析式为，
②由, 可得直线的解析式为，
得，解得(舍)，此时
6．（2024·广东深圳·二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
(1)求遮阳棚半径的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
【答案】(1)
(2)植物顶端不能被太阳照射，理由见解析
(3)
【分析】（1）解直角三角形，求得结果；
（2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果；
（3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
，，，，，，；
（2）如图2，
植物顶端不能被太阳照射，理由如下：
连接，延长交于，与相切，，
，，，，，，，
，
，植物顶端不能被太阳照射；
（3）解：如图3，
以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，，，
设抛物线的解析式为：，，，，
设，，
当时， 有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．
7．（2024·广东深圳·二模）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
(1)【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
(2)【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
(3)【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；②
(2)
(3)
【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可；
②根据平移的特点求出点B的坐标即可；
（2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可；
（3）设点，，求出，求出，得出答案即可．
【详解】（1）解：①由题意得：，，∵是上边缘抛物线的顶点，
设，又∵抛物线过点，∴，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；令，则，
解得或（舍去），∴洒水车喷出水的最大射程为；
②∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∵平移后仍过点，
∴y2是由y1向左平移得到的，∵，点B是由点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，∴点F的纵坐标为，∴，
解得或（舍去），∴，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
∴的取值范围为；
（3）解：设，由（1）②可知，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点，，
则有，
解得，∴点D的纵坐标为，∵，∴h的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合．
8．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的面积最大．
(3)存在，或
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可；
（3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入，得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）设，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，设，
∴
当时，的面积最大，，
此时，点的坐标为，的面积最大值为．
（3）存在．如图，设点，交于点E，
若四边形是菱形，连接，则，，∴，
解得，，∴或
9．（2024·广东深圳·二模）【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．
【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，_____．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？
【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3）
【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案；
应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案；
拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案.
【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点，
令得 ，∴ ，即 ，令 ，得，解得：，
∴，即 ，
∵轴，，，，，
，，，
故答案为：；
应用：（1）如图， 延长交轴于点，则，
，，，
，，，把代入得:，解得：，
故答案为：；
（2）由（1）知，设直线的解析式为则，解得：，，
如图，设 ，则，
，，，∵轴，，，，
，
∴当 时，取得最大值 ，
答：的最大值为
【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，
，，在中，，
，，
又，，，，
∵轴，，，，
答：最高应为
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键.
10．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．
此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．
任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．
任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．
任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门．
注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．
【答案】能在E处入网．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先判断当时，y的值与的大小，设向后移动了m米，需要经过点，求解即可；
（3）先证明，求出，再与题中数据比较．
【详解】解：任务1、设抛物线的解析式为：，∵经过点，
∴，解得：．
∴足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为：；
任务2、当时，，∵．
∴足球不能入网，
∵小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，设向后移动了m米，
∴，∵需要经过点，才能使得退后的距离最小，
∴，解得：（舍去）或
∴他应该带球向正后方至少移动1米射门，才能让足球进入球门；
任务3、如图，由题意得：
∴，∴，∴，∴，解得：
当时，，∴能通过拦网．
当时，，∵，
∴能在E处入网．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键．
11．（2024·广东深圳·一模）【项目式学习】
【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向.
【项目素材】
素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
【项目任务】
任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务.
【答案】任务一：，不能落网；任务二：能打到远角E处再入网
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键．
任务一：由题意知，抛物线的顶点坐标为即，设抛物线的解析式为，将代入，可求，进而可得抛物线的解析式为，当时，即，可求，然后作答即可；
任务二：由运动路线的形状不变，以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为；由勾股定理得，，当时，，然后作答即可．
【详解】任务一：解：由题意知，抛物线的顶点坐标为即，
设抛物线的解析式为，将代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为，当时，即，
∴，∴足球不能落网；
任务二：解：∵运动路线的形状不变，
∴以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为；
∵，，，由勾股定理得，，
当时，，
∴能打到远角E处再入网．
12．（2024·广东深圳·一模）如图，已知抛物线：交轴于点和点，交轴于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上第二象限的动点，过点作的平行线交轴于点，连接和，若四边形的面积为4，求此时点的坐标；
(3)如图2，已知直线交轴于点，交轴于点，是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，把线段沿着点顺时针旋转，的对应点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）作辅助线如解析图，设点，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用，列出关于的方程，解方程即可得出答案；
（3）过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质求得，再利用相似三角形的判定与性质求得点的坐标；通过计算得到点与点重合，可知直线为正比例函数的图象，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析为；
（2）解：过点作于点，于点，连接，如图，
设点，点是抛物线上第二象限的动点，，，令，则，解得：或，，
，，，，，，，
∵，，，，
，，
∴，
即，
解得：或（不合题意，舍去），，；
（3）解：过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图，
令，则，，，令，则，，
，，，，
∴抛物线对称轴为直线，，．
由题意得：，，，
在和中，
，，，，，
∴，，，，
，，，，，
，，，，，两点重合，
经过原点，即的图象是正比例函数的图象，设直线的解析式为，
，，∴直线的解析式为，，
解得：，，
的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
13．（2024·广东深圳·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，∴，解得：或（舍去），∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，将代入解得：，
∴直线的解析式为，∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，∴，∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，故点的坐标为，
∴，，即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
∵点的坐标为，准线，∴点的横坐标为，代入解得，
即，，则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
14．（2024·广东深圳·一模）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
(4)把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
【答案】(1)一次函数的表达式为，图象见解析
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）将点坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可；
（2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可；
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可；
（4）分①当过点时，②当过点时，③当与直线只有一个交点时，三种情况求解的值，然后结合图象确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将，，代入得
解得，，，一次函数的图象过点和点，，解得 ，一次函数的表达式为，
描点作图如下：
（2）解：由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得 ，，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
（4）解：由题意知，分三种情况求解：
①当过点时，即，解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
②当过点时，即，解得舍去；
③当与直线只有一个交点时，令，
整理得：，
则，解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数图象的平移，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合．
15．（2024·广东深圳·一模）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）P(，)；（3）Q1(0，0)，Q2(9，0)，Q3(0，)．
【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值；
（2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点满足到四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标；
（3）先根据坐标求出、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为和三种情况求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得：，，把代入
得，，将、代入得：，解得，，抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，∴点A为，设的解析式为，
则，解得：，，的解析式为，联立解析式得：
解得：，点的坐标为．
（3）又∵，，，，，，
，，，，，，
，又，，当的坐标为时，
如图所示：连接，过点作，交轴与点
为直角三角形，，，又，
，即，解得：，．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点
为直角三角形，，，又，
，即，解得，∴，
综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点为顶点的三角形与相似的对应关系进行分类讨论是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
