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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程的解
1．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则
2．（2021·广东深圳·中考真题）已知方程的一个根是1，则m的值为
考点2 一元二次方程判别式
3．（2022·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
1年模拟
4．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·广东深圳·二模）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广东深圳·二模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东深圳·二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2024·广东深圳·一模）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·广东深圳·一模）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·广东深圳·一模）解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（ ）
A．(x+1)2＝6 B．(x﹣1)2＝5 C．(x﹣1)2＝4 D．(x﹣1)2＝8
12．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
13．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为
14．（2024·广东深圳·三模）已知是方程的一个根，那么另一个根为
15．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则
16．（2024·广东深圳·一模）已知是方程的一个根，则代数式的值是
17．（2024·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中x满足
x2＋2x－3＝0
18．（2024·广东深圳·一模）解方程：
19．（2024·广东深圳·一模）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程的解
1．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，，解得，．
故答案为：．
2．（2021·广东深圳·中考真题）已知方程的一个根是1，则m的值为
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．
【详解】解：将代入得：，解得．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键．
考点2 一元二次方程判别式
3．（2022·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
【答案】9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△=b2-4ac有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
1年模拟
4．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程．
【详解】
故选：A．
5．（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均增长率为，依题意得：，
故选：．
6．（2024·广东深圳·二模）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
由题意得，，
故选：D．
7．（2024·广东深圳·二模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得：，
故选：D．
8．（2024·广东深圳·二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，，
在选项中，只有0符合题意，
故选：A．
9．（2024·广东深圳·一模）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，
故选D．
10．（2024·广东深圳·一模）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，，解得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解．
11．（2022·广东深圳·一模）解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（ ）
A．(x+1)2＝6 B．(x﹣1)2＝5 C．(x﹣1)2＝4 D．(x﹣1)2＝8
【答案】B
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝4+1，即(x﹣1)2＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法，解题步骤是：二次项系数化为1；常数项移项到等号右、未知项移到等号左；两边都加上一次项系数一半，进行配方．
12．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：当，则；由关于x的方程有实数根，∴，即得，∴，∴a的取值范围为且．
当时为一元一次方程，方程有一根．
综上所知a的取值范围为．
故答案为：．
13．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程的解为、，，，
∴．
故答案为：6．
14．（2024·广东深圳·三模）已知是方程的一个根，那么另一个根为
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，．
【详解】解：设方程的另一个根是，则可得，，即另一个根为，
故答案为：．
15．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：把代入方程得：，解得或，
∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴．
∴a的值为0．
故答案为：0．
16．（2024·广东深圳·一模）已知是方程的一个根，则代数式的值是
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解和整体思想是解题的关键．
由题意知，，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，即，
∴，
故答案为：．
17．（2024·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中x满足
x2＋2x－3＝0
【答案】；.
【分析】先算括号里面的，再算除法进行化简，根据x满足x2+2x-3=0求出x的值，注意分母不为零，代入分式进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=；
由x2+2x-3=0，解得：x1= -3，x2=1，
当时，分母，不符合题意；
∴当时，
原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，以及一元二次方程的求解.
18．（2024·广东深圳·一模）解方程：
【答案】解：原方程化为：x2－4x=1
配方得x2－4x+4=1+4，整理得（x－2）2=5
∴x－2=,即，．
【详解】解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
19．（2024·广东深圳·一模）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为；
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，整理得：，
解得：，，∵尽可能让顾客得到实惠，∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
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