中小学教育资源及组卷应用平台
专题5 分式方程及实际应用
5年真题
考点1 列分式方程
1．（2023·广东深圳·中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 利用分式方程解决问题
2．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
1年模拟
3．（2024·广东深圳·三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东深圳·三模）深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东深圳·二模）甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·一模）茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·广东深圳·一模）A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·广东深圳·一模）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东深圳·一模）分式方程的解是
11．（2024·广东深圳·三模）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
12．（2024·广东深圳·二模）2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件．
13．（2024·广东深圳·一模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
14．（2024·广东深圳·一模）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多元，用元购买甲种粮油套装和用元购买乙种粮油套装的数量相同．
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？
15．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题5 分式方程及实际应用
5年真题
考点1 列分式方程
1．（2023·广东深圳·中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，则．
故选B
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
考点2 利用分式方程解决问题
2．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：，解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．∴，
∵，∴当a越大时w越小，∴当时，w最小，最小值为（元）
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
1年模拟
3．（2024·广东深圳·三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据实际提前2天完成任务，列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，由题意可得，
，
故选：A．
4．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，列分式方程．
【详解】解：设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，
由题意得，．
故选：B．
5．（2024·广东深圳·三模）深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
6．（2024·广东深圳·二模）甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据从实际问题抽象出分式方程，根据时间缩短了1.5小时列方程即可．
【详解】解：由题意，得．
故选C．
7．（2024·广东深圳·一模）茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据提前30天完成这一任务列方程即可．
【详解】解：由题意，得
故选D．
8．（2024·广东深圳·一模）A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间的关系列方程是解题的关键．
顺流的速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据路程、速度、时间的关系表示出船顺流所用的时间和逆流所用的时间，根据时间的关系建立分式方程即可．
【详解】解：由题意可得，
故选：A．
9．（2024·广东深圳·一模）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，
则可列方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．
10．（2024·广东深圳·一模）分式方程的解是
【答案】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得：，解得：，
检验：当时，，∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
11．（2024·广东深圳·三模）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【答案】(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元
(2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用．
（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可；
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，解得：，又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
12．（2024·广东深圳·二模）2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】(1)A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；
(2)A种纪念品最多购进400件．
【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案；
（2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元”列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有，解得，经检验，是原分式方程的解，∴，
∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；
（2）解：设A种纪念品购进a件，根据题意：，
解得，
∴A种纪念品最多购进400件．
13．（2024·广东深圳·一模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
(2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
14．（2024·广东深圳·一模）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多元，用元购买甲种粮油套装和用元购买乙种粮油套装的数量相同．
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)甲种粮油套装的单价为元，乙种粮油套装的单价为元；
(2)购买甲种粮油套装件，乙种粮油套装件，花费最少，最少花费为元．
【分析】（）设乙种粮油套装的单价为元，则甲种粮油套装的单价为元，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（）设购买了甲种粮油套装件，则乙种粮油套装件，费用为元，列出与的函数解析式，根据购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的倍，求出的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设乙种粮油套装的单价为元，则甲种粮油套装的单价为元，
由题意可得，，解得，经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：甲种粮油套装的单价为元，乙种粮油套装的单价为元；
（2）解：设购买了甲种粮油套装件，则乙种粮油套装件，费用为元，
则，
∵购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的倍，∴，解得，
∴当时，即购买甲种粮油套装件，乙种粮油套装件，花费最少，
此时，元．
15．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【答案】(1)购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
(2)第二次购买乙种笔记本本
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案；
（2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
依题意得：，解得，，
文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
（2）解：设第二次购买乙种笔记本本，依题意得：，
解得，经检验，是原方程的解，也符合题意，
故第二次购买乙种笔记本本．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
