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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为
【答案】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解：的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴，∵，是角平分线，∴
∵，∴，，∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
考点2 三角形与折叠变换
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则
【答案】
【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．
作于点M，于点N，则，
过点G作于点P，
∵于点M，∴，设，则，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，
在中，，，设，
则，∴，∴，∵，，，∴，∵，，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，
设，则，，
在中，，即，化简得：，
∴，∴
故答案是：．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
3．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为
【答案】
【分析】方法一、延长交于G，延长，交于点M，根据折叠的性质以及平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及等角对等边即可得出答案；
延长和相交于点H，根据折叠的性质及等边对等角得出，再根据等角的余角相等以及等角对等边得出，最后根据平行线的性质及线段的和差即可得出答案．
【详解】解：方法一、如图，延长交于G，延长，交于点M，
∵将沿折叠，得到，∴，，，∴，
又∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∴，∵，∴，∴，∴，
方法二、延长和相交于点H，
∵折叠，∴，∴，又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
1年模拟
4．（2024·广东深圳·三模）如图，将一把直尺与一块三角板按图中所示位置放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行直线的性质、直角三角形的性质和三角形的外角，根据两直线平行，同位角相等，可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出．
【详解】解：如图，∵直尺的两边互相平行，
∴，由三角形的外角性质得：，
故选：C．
5．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据作图过程可得，根据勾股定理可得，再根据等面积法即可求解．
【详解】解：在中，，，∴，
由作图知， ，∴，∴，
故选：D．
6．（2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，，
，．
故选：C．
7．（2024·广东深圳·二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．
【详解】解：作于M，于N，
∵，∴，同理：，∵，∴，
∴，∵，∴，
∵，∵，∴，∴，，
∴，
∴点B，D到直线的距离之和为5．
故选：A．
8．（2024·广东深圳·二模）如图， ，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
9．（2024·广东深圳·二模）已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：，，∴，
∵是的角平分线，∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
10．（2024·广东深圳·二模）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
【答案】D
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，∴∠CFE=92°，又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
11．（2024·广东深圳·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
12．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，∴，∵是的平分线，∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，∴，∵，∴，
∴，则，故D错误，符合题意，
故选：D．
13．（2024·广东深圳·一模）如图，是边长为8的等边三角形，以为底边在右侧作等腰三角形，连接，交于点O，过点D作交于点E，交于点F，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的性质可知垂直平分，再根据勾股定理求出和的长，进一步可得的长，根据平行线的性质进一步可得，过点F作于点H，根据等腰三角形的性质可得的长，设，则，根据勾股定理列方程，求解即可．
【详解】解：在等边中，， 在等腰中，，
∴垂直平分， ∴，， ∴，
根据勾股定理，得，，
∴， ∵， ∴， ∴，
∴，过点F作于点H，
则H是的中点， ∴， 设，则，
根据勾股定理，得， 解得 或（舍去），
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，利用直接开平方法解方程等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14．（2024·广东深圳·三模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为
【答案】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，∵为等边三角形，
将绕点顺时针旋转得到，则
∴，，∴是等边三角形，∵，∴
∴，过点作于点
∵，∴，∵，∴
在中，，∴解得：（负值舍去）
∴
故答案为：．
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得
【答案】/度
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
故答案为：．
16．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为
【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，∴，∵，，
∴，∴，∴，
在和中：
，
∴，∴，∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
17．（2024·广东深圳·一模）如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为
【答案】2
【分析】以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可．
【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，
∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴△BAF≌△CAD，∴∠BFA=∠CDA=120°，∴∠ODE=∠ODA=60°，∴∠OED=30°，
∴OE=OA=4，∴点C在直线DE上运动，∴当OC⊥DE时，OC最小，此时OC=OE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．
18．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)，；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得；
（）先通过证明，得 ，，再由()同理可证；
（）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，∴，
∵∠，∴，
故答案为：，；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，又∴，，∴，
∴，，∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：由三角形三边关系可知：，即，∴的最大值为，
由()知，是等腰直角三角形， ，
∴时，最大，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．
19．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【答案】任务一：见解析；任务二：约为；任务三：
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
（1）利用证明即可得到答案；
（2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案；
（3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案．
【详解】解：（1）∵，且，，∴，
在和中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），∴，∴平分；
（2）过E做，
∵，∴，∴，∵，∴，
由勾股定理，得，∵，
∴，∴，∵，
∴，
（3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图，
在中，，∴，∴，
在中，，∴，
∴，
在中，，
故答案为：60
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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为
考点2 三角形与折叠变换
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则
3．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为
1年模拟
4．（2024·广东深圳·三模）如图，将一把直尺与一块三角板按图中所示位置放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
6．（2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A．5 B． C． D．10
8．（2024·广东深圳·二模）如图， ，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东深圳·二模）已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东深圳·二模）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
11．（2024·广东深圳·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
13．（2024·广东深圳·一模）如图，是边长为8的等边三角形，以为底边在右侧作等腰三角形，连接，交于点O，过点D作交于点E，交于点F，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·广东深圳·三模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得
16．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为
17．（2024·广东深圳·一模）如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为
18．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
19．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
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