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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形综合运用
1．（2022·广东深圳·中考真题）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为
1年模拟
2．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（2024·广东深圳·三模）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
4．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
5．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为
8．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为
9．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，F为对角线上一动点，延长，交于点E，若，则
10．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则
11．（2024·广东深圳·三模）土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如下图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.6尺，则第二时刻的影长为 尺
12．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则
13．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是
14．（2024·广东深圳·二模）如图，矩形的对角线和交于点O，，将沿着折叠，使点D落在点E处，连接交于点F，交于点G，则
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则
16．（2024·广东深圳·二模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；
（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长；
（3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长．
17．（2024·广东深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点为的三等分点时，请直接写出的值．
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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形综合运用
1．（2022·广东深圳·中考真题）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为
【答案】
【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题．
【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，
是等腰直角三角形，∴∠HBD=45°，∵∠FBD=45°，∴点B、F、H共线
又是等腰直角三角形，，，，，
，，，
，，，，，
，，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
1年模拟
2．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例．
【详解】解：设像到小孔O的距离为
由题意得，∴，，∴，∴，
解得,
故选C．
3．（2024·广东深圳·三模）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【详解】解：，，∵，∴，，
，．
故选：C．
4．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交于，连接，首先解得，，结合，可得，根据平行线分线段成比例定理，可解得，进而证明四边形为平行四边形，可得；作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，由对称的性质可得，故当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得，，，的值，由轴对称的性质可得的值，证明，由相似三角形的性质解得，进而可得，理由勾股定理分别解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，过点作交于，连接，
∵，∴，∵，∴，
∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形，
∴，
作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，如图，
由对称的性质可得，∴，
∴当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，
∵为的中点，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，
∴，∵，，∴，
∴在中，，∴，
由轴对称的性质可得，∵，，
∴，∴，即，解得，
∴，∴在和中，
，，
∴∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
5．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定，进而确定当时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定，根据相似三角形的判定定理和性质可，设，根据等角对等边和勾股定理表示出和，根据所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中计算即可．
【详解】解：∵于D，于E，∴，
∴，∴A、D、P、E四点共圆，且直径为，
∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时，
在中，，∴是等腰直角三角形，，
∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
设，则，，
则，∵，∴，
过D作于M，∴，，∴，
∴，由勾股定理得：，∴，
∴，则线段的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含的直角三角形，正确确定何时取得最小值是解题关键．
6．（2024·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，∴，是等边三角形，
∴，，∴，∵，
∴，∴，∵，∴，
∴，∵，∴令，则，∴，
∴，∴，∴，∴，∴．
故选：D．
7．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
证明，得出，，求出，的长，证明，得出，则可得出答案．
【详解】解：，，是的垂直平分线，，，
，，，，，
，，，，设，，
，，，，，
，，，，
，，，，
故答案为：
8．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作 于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得
【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，
平分，，，四边形是正方形，
设，则，，，
，即，解得：，，
由勾股定理得：，
故答案为：
9．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，F为对角线上一动点，延长，交于点E，若，则
【答案】
【分析】本题考查相似三角形性质及判定，勾股定理．根据题意利用勾股定理得到的长，再证明，再设，继而得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，F为对角线上一动点，
∴，，∴，∴，
∴设，则，∴，
∵，，
∴，整理得：，即：，
，即：，∵，
∴，整理得：，解得：，（舍），∴，检验：当时，，
成立，∴是的根，
∴，
故答案为：
10．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则
【答案】
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值
【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，∴，∵，，∴，
∴，即，解得，，∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，∴，∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），∴，
故答案为：．
11．（2024·广东深圳·三模）土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如下图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.6尺，则第二时刻的影长为 尺
【答案】40
【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为40尺．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，根据题意得：尺，尺，∴（尺）；
∴第二时刻的影长为40尺；
故答案为：40
12．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案．
【详解】过点E作，交的延长线于点H，，，
，，，，，
，，，，，
，，，
，
故答案为：
13．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质．过作于，由，可得是等腰直角三角形，即得，根据是边上的中点，，可得，由把沿翻折，得到，可得，，即知，对应边成比例求出，进而利用三角形的面积即可解决问题．
【详解】解：过作于，如图：
，是等腰直角三角形，，，
是边上的中点，，，，
把沿翻折，得到，，，
∴，，，即，，，，，
故答案为：．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，矩形的对角线和交于点O，，将沿着折叠，使点D落在点E处，连接交于点F，交于点G，则
【答案】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．连接， 设交于点，勾股定理得出，等面积法求得，然后求得，根据中位线的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点，
在矩形中，，，
矩形的对角线和交于点， 将沿着折叠， 使点落在点处，
，，，
，，，，，，，
又 ，，，，
，即 ，，
故答案为：
15．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决问题的关键．连接，作于点，证得，可得，，，进而可得，同理可得，求得，，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：连接，作于点，
，点是边的中点，过点作边的垂线，，，
，，，
，，，，，
，，，
，同理可得，，，，
故答案为：
16．（2024·广东深圳·二模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；
（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长；
（3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长．
【答案】（1）；（2），（3）
【分析】（1）先证明，再根据勾股定理证得，进一步证明，最后根据相似比即可求得答案；
（2）过D作，交的延长线于H，作于N，根据旋转的性质和等边三角形的性质证明，求出，通过勾股定理求出，即可得到答案；
（3）过点N作于点H，先证明，由全等三角形的性质可得，即点N总在直线上，垂直平分，所以点N经过的路径为一条线段，起点为点M、A重合时点N的位置，终点为的中点H，然后求解即可获得答案．
【详解】解：（1）在和中，， ∴，
∵，∴，∴，∴，
设，则，∵，∴，设，同理可得，，∴，，∴，∴，
∴，∴；
（2）过D作，交的延长线于H，作于N，如图：
∴，∵是等腰直角三角形，，，
由旋转的性质可知：，，
∴和是等边三角形，∴，
∵ ，∴，∴，∴，∴，
∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
（3）过点N作于点H，如下图，
在等边中，，在等边中，，
∴，∴，即,
∵，∴，∴，
∴点N总在直线上，即垂直平分，
点N总过的路径为一条线段，起点为M、A重合时点N的位置，终点为的中点H，
如图所示，
在等边中，点M、A重合时，，
此时等边三角形“三线合一”的性质可得，
∴点N经过的路径长为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
17．（2024·广东深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点为的三等分点时，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定进行推理证明；
（1）证明，列出比例证明即可；
（2）作交延长线于W，证，再利用三角函数求解即可；
（3）作交于P，然后分类讨论，根据相似求出比值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，∴，∴，，
∴，，∴，∴；
（2）解：作交延长线于W，∴，，
∵，，∴，∴，∵平分，
∴，∴，∴，，
∴，，∴．
（3）解：作交于P，
当时，∴，，，
，∴，，∴，∴，∴．
当时，∴，，∴，，∴，∴，∴．
综上所述，当点D为的三等分点时，的值为或6．
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