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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 特殊角三角形函数应用
1．（2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
考点2 用三角函数值表示线段长
2．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=，∴，
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，，即：，∴,
故选：C
【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
3．（2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，
∴，∴，即河宽米，
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
考点3 三角函数在几何计算中的应用
4．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=
【答案】
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，，
∴ ，∴ 由，
∴
设 则
故答案为：
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（ ）
A．51米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于，
，，，四边形是矩形，，，
，，，，
，，
，(米)，
故选：C．
6．（2024·广东深圳·三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（ ）（精确到米，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点作于，则，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，进而得米，米，即得米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，米，
∴，在中，∵梯坎坡度，∴，
∴，∴米，米，
∴米，米，∴米，∴米，
故选：．
7．（2024·广东深圳·三模）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（ ）米
A．120 B． C．140 D．
【答案】B
【分析】过点D作于点E，于点F，证明四边形是矩形，再计算，，结合，结合，解答即可．
本题考查了俯角的计算，构造辅助线，选择适当的三角函数是解题的关键．
【详解】过点D作于点E，于点F，∵，
∴四边形是矩形，∴，∵，，
∴，，∵，
∴，∵，，∴，∴，
故选B．
8．（2024·广东深圳·三模）如图，已知在中，，，点D在边上，连接．以为斜边作，，边的中点F恰好落在边上．若，则
【答案】/
【分析】过点A作于点G，根据，，得到,，结合，得到，，结合，利用勾股定理，三角函数计算即可．本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】过点A作于点G，∵，，
∴,，∵，
∴，，∵，
∴，
∵边的中点F恰好落在边上．∴，∴，
设，∴，解得（舍去），
∴，，∴，，
∴
故答案为：
9．（2024·广东深圳·二模）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值
【详解】解：∵为等腰直角三角形，，，
∴，
当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：
则
在中，，，
当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：
则
在中，，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键
10．（2024·广东深圳·二模）在中，，线段平分．已知，则线段的长为
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形．过点C作交的延长线于点E，根据角平分线得到，根据三角函数得到，进而求出，然后利用勾股定理求出长．
【详解】过点C作交的延长线于点E，∵平分，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴
11．（2023·广东深圳·二模）如图，在四边形 ABCD 中（AB＞CD）， ABC BCD 90 ，AB=3，BC=，把 Rt△ABC沿着 AC 翻折得到 Rt△AEC，若 tan∠AED=则线段 DE 的长度为
【答案】
【分析】过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB=60°，∠ECD=30°，再根据折叠可得到∠AED=∠EDM，设EM=m，由折叠性质可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC=∠B=90°，∴AEDM，∴∠AED=∠EDM，∴tan∠AED=tan∠EDM=，
设EM=m，由折叠性质可知，EC=CB=，∴CM=-m，由图可得，
即，由翻折可知：∠ECA=∠BCA=60°，∴∠ECD=30°，∴tan∠ECD==，
∴DM=（-m）×=1-m，∴tan∠EDM=＝，即=，解得，m=，
∴DM=，EM=，在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，解得，DE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（2024·广东深圳·一模）如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出x的值．
【详解】解：如图，连接，
，由勾股定理得，，∵点G为的中点，
，的锐角顶点D恰好落在的斜边上，，
，，，，
，，，，设，则，，解得，
经检验，是方程的解，，，
故答案为：．
13．（2024·广东深圳·一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 米（结果保留根号）
【答案】
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
14．（2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）．
问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：）
【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三：
【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得；
问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解；
问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围．
【详解】问题一
解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，
，，
四边形为矩形，米，，
，由题可知，米，米，
在中，由勾股定理得米，则，
在中，，
解得米，即影长为米，
问题二
解：
延长交于点，
，，即，中，，则，，在中，，，则，
当点N在点E右侧时，，则，
当点N在点E左侧时，，则，
当点N与点E重合时，，即，
综上所述，；
问题三
解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，
当时，都为等腰直角三角形，，
，，，，
，由题可知：，，
当时，解得：，
即．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）
【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键．
（1）证明，，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，作，得到，证明，，证明，得到，则，作于W，设，则，得到，得到，解方程即可；
（3）在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，证明是等边三角形，，，则，得到，同理（2）可得，
，则，作于V，则，得到，则，，得到，，得到，进一步即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，
∴，∵，∴，∴，∴；
（2）解：如图1，
在上截取，连接，作，∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
作于W，设，∵，∴，
∵，∴，
∴，∵，∴，∴，∴；
（3）解：如图2，
在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，∵四边形是平行四边形，∴，
∴，∴是等边三角形，，，∴，，
同理（2）可得，，∴，作于V，
∴，∴，∴，∴，∴，，∴，，
∴，∴，∴，∴．
16．（2024·广东深圳·一模）在菱形中，，，动点M在射线上运动．
(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）可证得，从而，进而得出；
（2）连接，交于点O，作于点F，先求出，，，，设，则，可证得，从而，从而得出，求得x的值，进一步得出结果；
（3）分为两种种情形：当点G在上，且时，同样得出点A、B、G、M共圆，从而，，进而得出和设，作于H，作于点N，可求得，，从而表示出，，，根据列出，进而求得结果当时，作于点H，可得出和设，表示出，，根据列出，求得x的值，进一步得出结果；可判定出，进而得出结果．
【详解】（1）证明：在菱形中，，，∵，
∴，∴，∵，，
∴；
（2）解：如图1，
连接，交于点O，作于点F，∵四边形是菱形，
∴，，，∴，，∴，，∴，，设，则，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，∴x1=， （舍去），∴，∴；
（3）解：如图2，
当点G在上，且时，∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∴点A、B、G、M共圆，∴，∵，
∴，∵，∴，设，
作于H，作于点N，由得，
AN=，∴，
∴，，
∴，，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴，
如图3，
当时，作于点H，由上知：，∴，设，
∴，∵，∴，
∴，∴，当点G在的延长线上时，，
∴，∴，∴，
综上所述： 或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出相等关系列方程．
17．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
【答案】(1)120米
(2)472级
【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可．
（2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∵．
（2）∵，∴，
∵，∵，，∴，
∴（级）．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
18．（2024·广东深圳·一模）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
【答案】24米
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，在Rt△ADE中，tan∠DAE=，
∴AE=≈51（米），∵AB=57米，∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，∴四边形BCFE为矩形，∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，∴DF=CF=6（米），∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．
答：教学楼BC的高度约为24米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（2024·广东深圳·一模）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110米，那么该建筑物的高度BC约为多少米？（结果保留整数，≈1.73）
【答案】该建筑物的高度BC约为300米．
【分析】根据题意可得AD⊥BC，再根据特殊角三角函数即可求出该建筑物的高度BC．
【详解】根据题意可知：AD⊥BC，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110，
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，∴tan60°＝，即＝，
解得BC＝110（+1）≈300（米）．
答：该建筑物的高度BC约为300米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20．（2024·广东深圳·一模）项目学习
主题：设计遮阳篷
紊材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大．
素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳 （横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为．
任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长：______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长：_____． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长：_________．
任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，．
任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度约是___________．（精确到 米）参考数据：，，．
【答案】任务1：（1），（2），（3）；任务2：；
任务3：
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
任务1：利用三角函数解，可得答案；
任务2：过点F作于点H，利用三角函数解，得出，再利用三角函数解，得出，进而得出，列出等式，求出m即可；
任务3：作于点C，结合（2）中结论，利用三角函数解即可．
【详解】解：任务1：
由题意知，，，
（1）在中，，即，；
（2）在中，，即，，
；
（3）由（1）（2）可得，，即，
故答案为：（1），（2），（3）；
任务2：
由题意知，，设米，在中，，
，
如图，过点F作于点H，可得，
在中，，
，，
解得，即遮阳篷的长为
任务3：
如图，作于点C，则，
由任务2可得，在中，，即，
，
故答案为：
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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 特殊角三角形函数应用
1．（2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
考点2 用三角函数值表示线段长
2．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
考点3 三角函数在几何计算中的应用
4．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=
1年模拟
5．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（ ）
A．51米 B．米 C．米 D．米
6．（2024·广东深圳·三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（ ）（精确到米，参考数据：，，）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·三模）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（ ）米
A．120 B． C．140 D．
8．（2024·广东深圳·三模）如图，已知在中，，，点D在边上，连接．以为斜边作，，边的中点F恰好落在边上．若，则
9．（2024·广东深圳·二模）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为
10．（2024·广东深圳·二模）在中，，线段平分．已知，则线段的长为
11．（2023·广东深圳·二模）如图，在四边形 ABCD 中（AB＞CD）， ABC BCD 90 ，AB=3，BC=，把 Rt△ABC沿着 AC 翻折得到 Rt△AEC，若 tan∠AED=则线段 DE 的长度为
12．（2024·广东深圳·一模）如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则
13．（2024·广东深圳·一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 米（结果保留根号）
14．（2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）．
问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：）
15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
16．（2024·广东深圳·一模）在菱形中，，，动点M在射线上运动．
(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．
17．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
18．（2024·广东深圳·一模）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
19．（2024·广东深圳·一模）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110米，那么该建筑物的高度BC约为多少米？（结果保留整数，≈1.73）
20．（2024·广东深圳·一模）项目学习
主题：设计遮阳篷
紊材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大．
素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳 （横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为．
任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长：______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长：_____． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长：_________．
任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，．
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