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专题13 圆的基本性质及有关计算
5年真题
考点1 垂径定理
1．（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
考点2 弧长和扇形面积计算
3．（2023·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．
(1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）．
考点3 圆锥的有关计算
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
1年模拟
5．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．（2024·广东广州·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．（2024·广东广州·二模）如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·一模）如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东广州·一模）如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东广州·三模）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为
13．（2024·广东广州·三模）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留）
14．（2024·广东广州·二模）如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是
15．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为
16．（2024·广东广州·二模）如图，六边形是圆O的内接正六边形，设四边形 的面积为，的面积为 ， 则
17．（2024·广东广州·一模）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
18．（2024·广东广州·一模）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为 ．
19．（2024·广东广州·一模）如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是 (结果保留π )
20．（2024·广东广州·一模）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交半圆于点，交线段直径于点（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)点是弧上一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
21．（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．
步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
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专题13 圆的基本性质及有关计算
5年真题
考点1 垂径定理
1．（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，∵⊙O的直径为，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴水的最大深度为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
2．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是
【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案．
【详解】（1）解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；
（2）解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：
∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=BC=3，∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=AC=4， Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=，则，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
考点2 弧长和扇形面积计算
3．（2023·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．
(1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）．
【答案】(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了平移的性质，求弧长，求周长，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式．
（1）根据平移的性质，即可解答；
（2）以点为圆心，为半径画弧，即可得出；
（3）根据弧长公式求出，根据平移的性质得出，根据封闭图形的周长，即可求解．
【详解】（1）∵，所在圆的圆心为，
∴，所在圆的圆心坐标是．
故答案为：，．
（2）如图所示：即为所求；
（3）∵，，∴的半径为，∴，
∵将向右平移个单位，得到，∴，，
∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．
故答案为：．
考点3 圆锥的有关计算
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，，
，圆锥的高为，圆锥的体积为，
故选：D．
1年模拟
5．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长．
【详解】解：过O作于H，连接，
∴，∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．∴的半径长是5．
故选：A．
6．（2024·广东广州·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可，
【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶
则，∵四边形是矩形，∴，
∴四边形是矩形，∴，设，则，∴在中，由勾股定理得∶，
即∶’，解得∶，即截面的半径长是．
故选∶C．
7．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角．
连接，得出，易得，，推出，则是等边三角形，进而得出，再根据圆周角定理得出，根据勾股定理得出，即可得出．
【详解】解：连接，∵直线与相切于点C，∴，
∵，，，∴，，
∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∵是的直径，∴，∴，
∴的面积，
故选：D．
8．（2024·广东广州·二模）如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线长的性质、弧长公式．根据切线的性质证明四边形为正方形，再弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
在四边形中，，四边形为矩形．又因为，
四边形为正方形，则，，劣弧的长是．
故选：A．
9．（2024·广东广州·一模）如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：是的直径，，，，，，故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
10．（2024·广东广州·一模）如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据题意，得，结合，，得到，计算即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】连接，根据题意，得，
∵，，∴，
∴,
故选C．
．
11．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，滑轮的半径是，设旋转的角度是，
由题意得：，解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：B．
12．（2024·广东广州·三模）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为
【答案】/
【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【详解】解：扇形的弧长，设圆锥的底面半径为r，则，所以，
所以圆的直径为．
故答案为：．
13．（2024·广东广州·三模）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积．
【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为，
圆锥的母线为：，圆锥的侧面积为：，
底面圆的面积为：，该几何体的全面积为：．
故答案为：．
14．（2024·广东广州·二模）如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是
【答案】216
【分析】本题主要考查了圆锥的计算及解直角三角形．根据的正切，设出及的长，再根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题．
【详解】解：在中，，则令，，
．令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，则，
解得，所以圆锥侧面展开扇形的圆心角是．
故答案为：216．
15．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，根据垂径定理可得，在直角三角形中，由边角关系可得的关系，从而可得的关系
【详解】解：如图，
∵是的直径，是弦，且，∴，∴
∴，∵，∴
∴，即∴，
故答案为：
16．（2024·广东广州·二模）如图，六边形是圆O的内接正六边形，设四边形 的面积为，的面积为 ， 则
【答案】
【分析】本题考查了圆内接正多边形、全等三角形的判定，等边三角形的判定等知识．连接，，，，证明，得到，证明，得到，即可得到，，即可求出．
【详解】解：如图，连接，，，，
∵六边形是圆O的内接正六边形，
∴，，
∴，∴．∵，
∴都是等边三角形，∴，即，
又∵，∴，∴，∴，
即，，∴．
故答案为：
17．（2024·广东广州·一模）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
【答案】10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
设圆心为O，连接，，，交于点F，证明四边形是矩形，得是切线，在求出，设，则有，解方程可得结论．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F．
， ，，，四边形是平行四边形，
，，，四边形是矩形，，
，，，是切线，，
，，设，则有，，
故答案为：10．
18．（2024·广东广州·一模）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：弦所对的圆心角是，∴劣弧所对圆心角是，
劣弧所对的圆周角为，
故答案为：．
19．（2024·广东广州·一模）如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是 (结果保留π )
【答案】
【分析】如图，连接，由是切线，可得，由等边对等角可得，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是切线，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长．熟练掌握切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长是解题的关键．
20．（2024·广东广州·一模）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交半圆于点，交线段直径于点（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)点是弧上一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
（1）在半圆上取点，使，根据垂径定理的推论可知，由此即可完成作图；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
【详解】（1）解：如图，在半圆上取点，使，连接交于，
∴，
（2）解：①连接，
∵D是的中点，∴，∴，∵ 为的直径，∴，
∵ ，∴，∴，∴，设的半径为，
则，解得，经检验，是方程的解，∴，
∴，∴，∵ ，∴；
②如图，过点作交于点，
∴，∵，是的平分线， ∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴．
21．（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．
步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
【答案】（）；（）．
【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解；
（）设底面圆的半径为，则，由即可求解；
本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键．
【详解】解：（）设底面圆的半径为，∵，，
∴，∵，∴，
∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形，
∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为；
（）∵设底面圆的半径为，则，∵，∴，
∴，
故答案为：．
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