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专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 点与圆的位置关系
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，为半径，为弦，且，
，，
在中，，，，，
，即的半径为4，，点在外，
故选：C．
考点2 直线与圆的位置关系
2．（2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可．
【详解】解：∵AC与BC是圆的切线，∴OA⊥AC，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，∵∠C=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OB=24cm，∴=cm．
故选择B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键．
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】解：∵中，， ，∴cosA=，∵，∴AC=4
∴BC=，当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
考点3 切线的性质
4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）
【答案】
【分析】如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵，∴
∵与边AB相切于点D，∴ ∴
的长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．
考点4 切线长定理
5．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴，
∴，，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
1年模拟
6．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键．
根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可．
【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点，
∵，，∴，∴，∵，
∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离，
故选：A．
7．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．0， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，
∴，
∴，∴．
故选：A
8．（2024·广东广州·一模）如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（ ）
A．，8 B．，8 C．， D．，
【答案】C
【分析】连接，根据切线的性质得到，利用四边形内角和计算出，再利用圆周角定理得到，根据切线长定理得到平分，所以，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，是的切线，，为切点，，，，
，，，是的切线，
平分，，．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
9．（2024·广东广州·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）
A． B．13 C． D．14
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接，勾股定理求得，进而求得，根据切线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，∴，∵的半径为5，，则
∴，∴
∵是过点的切线，则 ，∵，∴，∴
∴，即，∴
故选：C．
10．（2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．
（1）若是的切线，求 ．
（2）求的最大值为 ．
【答案】或 /
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；
（1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；
（2）以为斜边构造直角三角形且满足，，证明，得出进而得出，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵的半径长为，为直径，，
∴，又∵是的切线，∴，，∴，∵，，∴,，∵，∴
∴，在中，；
如图所示，过点作于点，
∵，，∴，∵，∴，，∴
在中，
故答案为：或．
（2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， 则
∵，，∴，∴即
又∵，∴，∴
∴，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴的最大值为
故答案为：．
11．（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的性质得到，则由勾股定理得到；由折叠的性质可得，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在上时，有最小值，最小值为；当点F运动到点D时，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，∵正方形的边长为2，E为的中点，
∴，∴，
由折叠的性质可得，
∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当点H在上时，有最小值，最小值为；
∵点F在上运动，∴当点F运动到点D时，有最大值，∴，
∴，
故答案为：．
12．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线；
（2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可；
（3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，
又∵为的直径，∴是的切线；
（2）证明：如图1，连接，
∵，是的直径，∴，，
∴，即，又∵，
∴，∵四边形是菱形，∴，则，
∴，；
（3）解：如图2，连接交于点H，
∵四边形是菱形，，∴，，，
在中，∵，∴，解得，∴，
∵，∴，解得，
在中，，由（2）知，，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
13．（2024·广东广州·三模）如图，等腰内接于，，是边上的中线，是的外接圆．
(1)过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点F，连接．
(2)求证：为的切线；
(3)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）证明，得出，则四边形是平行四边形，，作于．得出为的垂直平分线．则．又点在上，即可得证；
（3）过点作于，连接．垂径定理得出，勾股定理得，进而可得，勾股定理求得，证明，可得，根据相似三角形的性质得出，，然后求得，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
（2）证明，∵，∴，又，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴．
作于
又∵，∴为的垂直平分线，∴点在上，∴，即，又点在上，∴为的切线；
（3）解：过点作于，连接．
∵为的垂直平分线，∴，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
又，∴，∴，，
∴，∴
∵，∴，∴，∴
∴
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2024·广东广州·二模）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
(1)尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)5
【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可；
（2）连接，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线；
（3）作于点，则，可证明，设，由，得，则，再证明，得，则．
【详解】（1）解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，线段、、点就是所求的图形．
（2）证明：连接，则，，的平分线交于，
，，，交的延长线于点，
，是的半径，且，是的切线．
（3）解：作于点，则，∵是的切线，∴
平分，作于点，交的延长线于点，，
，，设，，，，，
，，，，，
的长是5．
【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2021·广东广州·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径为5
【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可；
（2）根据连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，由内错角相等，两直线平行可得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线；
（2）设，根据勾股定理列方程可得r值．
【详解】（1）解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可，
如图1所示，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
平分，，，，，
∴，，，，，
为的半径，是的切线；
（3）解：设的半径为r，
，，，，在中，，
，，，解得：，
的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．（2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由切线长定理可得答案；
（2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：由切线长定理可知，，，
则的周长
（2）如图，连接，，，
则，，
，
在四边形中，，，
即，
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专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 点与圆的位置关系
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
考点2 直线与圆的位置关系
2．（2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
考点3 切线的性质
4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是
（结果保留）
考点4 切线长定理
5．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
1年模拟
6．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
7．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．0， B．， C．， D．，
8．（2024·广东广州·一模）如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（ ）
A．，8 B．，8 C．， D．，
9．（2024·广东广州·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）
A． B．13 C． D．14
10．（2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．
（1）若是的切线，求
（2）求的最大值为
11．（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围
12．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求．
13．（2024·广东广州·三模）如图，等腰内接于，，是边上的中线，是的外接圆．
(1)过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点F，连接．
(2)求证：为的切线；
(3)若的半径为5，，求的长．
14．（2024·广东广州·二模）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
(1)尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的长．
15．（2021·广东广州·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径．
16．（2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
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