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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，∵，∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
3．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
考点2 待定系数法求二次函数解析式
4．（2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
解法二：利用二次函数图象的对称性可知：和对应的函数值相等，从而得解．
【详解】解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，
∴，解方程组得，∴抛物线解析式为，
当时，．
故选择A．
解法二：抛物线经过点、，∴抛物线的对称轴为：，
又∵，∴和的函数值相等，即均为，
故选择A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果．
考点3 二次函数最值应用
5．（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小．
【答案】10.0； ．
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
【详解】解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
考点4 二次函数的综合应用
6．（2021·广东广州·中考真题）已知抛物线
（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x顶点 或x顶点或x顶点
【分析】（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可；
（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可．
【详解】解：（1）把m=0代入得，
当x=2时，所以，点（2，4）不在该抛物线上；
（2）=
∴抛物线的顶点坐标为（，）
∴纵坐标为，令 ，∵
∴抛物线有最高点，∴当m=3时，有最大值，
将m=3代入顶点坐标得（2，5）；
（3）∵E（-1，-1），F（3，7）设直线EF的解析式为
把点E，点F的坐标代入得 ，解得，
∴直线EF的解析式为，将代入得，
，整理，得：，解得
则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点或x顶点=或x顶点=
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用．
1年模拟
7．（2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
先确定抛物线的顶点坐标，于是有，再确定物线与轴的交点坐标为，，再代入解析式求解即可．
【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，
将代入中，得，∴抛物线顶点坐标为．
∵抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6，∴，即，∴．
又∵抛物线与x轴两个交点之间的距离为4a，
∴抛物线经过点，，将点代入中，
得，整理得，解得，∴，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：D．
8．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系数的范围是解决本题的关键．
①利用特殊点和对称轴在轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论；
②将看成一个整体，那么是关于方程的一个根，令得出结论；
③利用抛物线与轴两交点之间的距离，得出、、之间的关系；
④根据已知条件判断随的变化规律，得出结论．
【详解】解：图象经过，，若对称轴在轴的左侧则，
当时，，则，此时；当时，，则，此时．
①正确．
，，的一个根为，
的一个根为：，即．②正确．
抛物线与轴两交点之间的距离为：，，
即，，③正确．
若，开口向上，与轴交于正半轴，，，
则对称轴，当时，、的大小关系不确定，④错误．
综上①②③正确，
故选：A．
9．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题；
由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为．
【详解】解：和两点关于抛物线对称轴对称，抛物线对称轴为直线，
，解得，，二次函数与y轴的交点坐标为．
故选：B．
10．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系．
根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④．
【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴，
∴，∴，故①正确，符合题意；
∵其对称轴为直线，∴，则，由图可知，当时，函数值大于0，
∴，故②正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，
∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，，
∴ ；故③不正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，交y轴于点，∴抛物线经过，
∴当或时，，
即当或时，，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故选：C．
11．（2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值，总是负数；
③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】①抛物线与抛物线交于点，
，即，解得，抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；
②，，，无论取何值，总是负数，
故②正确；
③，将代入抛物线，解得，，
将代入抛物线，解得，，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，，由③可知，，，，
当时，，即，，，
四边形是平行四边形，，四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．
12．（2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
依据题意可得：由抛物线过，从而可得对称轴是直线计算即可．
【详解】解：由题意可得：∵抛物线过，∴对称轴是直线，
解得：．
故答案为：．
13．（2024·广东广州·一模）如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出对称轴为，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线经过点和两点，∴对称轴为，
∵开口向下，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴当时，，
故答案为：．
14．（2024·广东广州·一模）已知在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据，且，进而可求解，熟练掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：，对称轴为，∴当与时，函数值都都等于，
∴当时函数值随自变量的增大而增大；∵，，
故答案为：．
15．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．
①求a与b之间的关系式；
②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；
(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】（1）①由根的判别式得，即可求解；
②由平移得，可得方程 ，由根的判别式得，由求根公式得，由二次函数的增减性得 ，即可求解；
（2）由，得当时，，当时，，由此可得，即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点，∴方程有相等实数根，
∴，∴，整理，得；
②将直线向上平移t个单位，，，
整理得：，，
由①得：，，，，，①，
当时，随x的增大而减小，，，，整理得：，
②，由①②得：，t取最小整数，；
（2）解：抛物线与直线有两个交点，此方程有两个实根、，
且满足，，当时，，
当时，，∴，，，
①，②，①②得：，，
，．
【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键．
16．（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱．
(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？
(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？
【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元
(2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
（1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：设售价定为元，且，
依题意得，，整理得，，
解得，或（舍去），
答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元．
（2）解：依题意得，，
∵，∴当时，y随x的增大而增大．∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元．
17．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为．
(1)若抛物线过点A，求抛物线解析式；
(2)若抛物线与直线只有一个交点，求a的值．
(3)把抛物线沿直线方向平移个单位（规定：射线方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)或；
(3)时，．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的平移等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
（1）把A点坐标代入解析式求出a的值即可；
（2）首先求出直线的解析式，再根据直线与抛物线有一个交点求得a的值即可；
（3）先求出，即可求得水平方向和垂直方向的平移距离，然后求得新的抛物线的对称轴，然后再分和两种情况，分别运用抛物线的增减性即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线过点A，点A坐标为，
∴，解得：，∴抛物线解析式为．
故答案为：．
（2）∵点A坐标为，∴直线为，∵抛物线与直线只有一个交点，
∴有两个相等的解，即有两个相等的解，
∴解得或；
（3）解：∵，∴,
∴抛物线沿直线方向平移t个单位相当于水平移动了个单位再竖直方向移动了个单位，∴抛物线的对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，分两种情况：
①时，对称轴为直线或在直线左侧，
∴得，不符合题意；
②时，对称轴为直线或在直线右侧，
∴得；
综上：当时，符合题意．
18．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为．
(1)直接写出点的坐标： （用含的式子表示）；
(2)若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值；
(3)在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质；
（1）抛物线的对称轴为，将代入抛物即可求得答案；
（2）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，结合 ，可得，可知是的二次函数；
（3）在（2）的条件下，求得当关于的对称点在上时，，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
将代入抛物线，得，∴点的坐标为
（2）解：令，则，即，
设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，解得，
又，∴，即，∵，
∴当时，的最小值为；
（3）解：∵的坐标为，，
∴到的距离为
当关于的对称点在上时，
则，设，则
设、的横坐标为，则是方程即的两根，
∴，解得： ，∴，又，
∴，解得：或（因为抛物线开口向上，，舍去）即当关于的对称点在上时，，在（2）中，当，
∴当点关于直线的对称点在直线的上方时，
19．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，其中．
(1)求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；
(2)设该抛物线与轴的交点分别为，，且，求的值；
(3)试判断：无论取任何实数，该抛物线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是过定点，和，理由见详解
【分析】此题考查了抛物线的性质，抛物线与轴交点，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
(1)令，利用根的判别式证明即可．
(2) 由一元二次方程根与系数的关系得到，，将其代入化简后的方程求出即可．
(3) 将化简成，所以当或时，均为，此时，，故无论取任何实数，该抛物线必经过定点和．
【详解】（1）证明：令，则，，∴该抛物线与轴有两个不同的交点．
（2）∵该抛物线与轴的交点分别为，，∴，，
∵，∴，∴，∴，解得，经检验，是分式方程的解．
（3）抛物线是过定点．
理由：可化简成，
∴当或时，均为，此时，，
故抛物线过点和，
即无论取任何实数，该抛物线必经过定点和．
20．（2024·广东广州·一模）已知抛物线的图象过点．
(1)求b与a的关系式；
(2)当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值；
(3)将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案；
（2）根据和该抛物线的顶点到x轴的距离是1得到，解方程后根据即可得到答案；
（3）根据题意可知抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．则平移后的抛物线解析式为．把代入解得．当时，；当时，（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为．即顶点为，设，即．根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象过点，∴，
∴；
（2）∵，∴
∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1，∴，解得或或，
∵，∴或
（3）由平移前的抛物线，
即，∵平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为，把代入，得，，，
所以，当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
∵，所以，∴平移后的抛物线解析式为
即顶点为，设，即
∵，所以当时，随a的增大而减小，
∴当时，取最大值为，
此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质．
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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
3．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
考点2 待定系数法求二次函数解析式
4．（2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
考点3 二次函数最值应用
5．（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小．
考点4 二次函数的综合应用
6．（2021·广东广州·中考真题）已知抛物线
（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
1年模拟
7．（2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值，总是负数；
③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则
13．（2024·广东广州·一模）如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（2024·广东广州·一模）已知在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
15．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．
①求a与b之间的关系式；
②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；
(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
16．（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱．
(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？
(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？
17．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为．
(1)若抛物线过点A，求抛物线解析式；
(2)若抛物线与直线只有一个交点，求a的值．
(3)把抛物线沿直线方向平移个单位（规定：射线方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
18．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为．
(1)直接写出点的坐标： （用含的式子表示）；
(2)若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值；
(3)在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围．
19．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，其中．
(1)求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；
(2)设该抛物线与轴的交点分别为，，且，求的值；
(3)试判断：无论取任何实数，该抛物线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
20．（2024·广东广州·一模）已知抛物线的图象过点．
(1)求b与a的关系式；
(2)当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值；
(3)将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值．
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