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专题15 函数基础、一次函数及其应用
5年真题
考点1 一次函数图象及性质
1．（2020·广东广州·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
考点2 求一次函数解析式
3．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
考点3 一次函数应用
4．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
5．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
1年模拟
6．（2024·广东广州·二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
7．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数图象经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．函数图象不经过第一象限
9．（2024·广东广州·二模）点 在坐标轴上， 则点P的坐标是
10．（2024·广东广州·一模）已知点，在直线上，且，则 ·（填“”“”或“”）
11．（2024·广东广州·二模）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
(2)如果小明家11月用水12立方米，应付水费多少元？
12．（2024·广东广州·二模）某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
(1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
13．（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 中，直线 与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长．
14．（2024·广东广州·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
15．（2024·广东广州·一模）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图象．
(1)乙机器每天加工__________个零件，甲机器维修了__________天；
(2)求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数（个）乙机器工作时间（天）之间的函数关系式．
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专题15 函数基础、一次函数及其应用
5年真题
考点1 一次函数图象及性质
1．（2020·广东广州·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．
【详解】因为一次函数的一次项系数小于0，所以y随x增减而减小．
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．
2．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
考点2 求一次函数解析式
3．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】直接把已知点代入，即可求出k的值．
【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，∴，∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，解题关键是正确得出k的值．
考点3 一次函数应用
4．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解；
（3）将代入代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：，解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
5．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)选甲家商店能购买该水果更多一些
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论
【详解】（1）解：当时，设，将代入，得，∴，
∴；当时，设，将点，代入，得，
解得，∴
（2）当时，，解得；当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．
1年模拟
6．（2024·广东广州·二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的定义及应用，掌握正比例函数的关系式为是解题的关键，先设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可．
【详解】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，
当时，，∴，，
当，，
解得：
故选：C．
7．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，是解决问题的关键．
将点代入正比例函数，得正比例函数的解析式为．根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，逐项判断．
【详解】∵函数的图象经过点，∴，∴，∴，
A．，时，，∴的图象不经过点；
B．，时，，∴的图象经过点；
C．，时，，∴的图象不经过点；
D．，时，，∴的图象不经过点．
故选：B．
8．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数图象经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．函数图象不经过第一象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．
【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；
B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；
C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意
D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；
故选：C．
9．（2024·广东广州·二模）点 在坐标轴上， 则点 P 的坐标是
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了直角坐标系，分类讨论，当点在y轴上，得，可得；当点在x轴上，得，即，即可得到答案．
【详解】解：当点在y轴上，，，，
∴点P的坐标是；当点在x轴上，，，，
∴点P的坐标是；
故答案为：或者．
10．（2024·广东广州·一模）已知点，在直线上，且，则 ·（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，∵，∴．
故答案为：．
11．（2024·广东广州·二模）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
(2)如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？
【答案】(1)；
(2)元
【分析】本题考查列函数关系式和求函数值，解题的关键是读懂题意，理清收费标准．
（1）根据题干中给定的收费标准列出函数关系式即可．
（2）根据（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：在中，当时，，
∴如果小明家11月用水 12立方米，应付水费元．
12．（2024·广东广州·二模）某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
(1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元
(2)①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，
（1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，
根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，
则，与的函数关系式为；
②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，，解得，
，，是正整数，当时，最大，最大值为，
答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
13．（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 中，直线 与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长．
【答案】
【分析】过O作于C，根据垂径定理可得，可求，，由勾股定理，可证，由相似三角形性质可求即可．
【详解】解：过O作于C，如图，
∵为弦，∴，∵直线与相交于A，B两点，
∴当时，，解得，∴，∴当时，，∴，
在中，由勾股定理，
∵，，∴，∴，
即，∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
14．（2024·广东广州·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可．
【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
令，则，解得：，令，则，，；
（2）解：设直线的解析式为，将点代入得：，解得：，
即直线的解析式为；
（3）解：存在，理由如下：
，，，点M在射线上，
设点的坐标为，，
的面积是的面积的，，解得：，
当时，，当时，，
点M的坐标为或．
15．（2024·广东广州·一模）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图象．
(1)乙机器每天加工__________个零件，甲机器维修了__________天；
(2)求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数（个）乙机器工作时间（天）之间的函数关系式．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，根据前10天是两个机器一起工作，结合数量关系列方程求解即可；再由段是乙单独工作，求出乙单独工作的时间即可求出甲维修的时间；
（2）根据函数图像函数关系式为，当时，图像过点，；当时，图像过点，，运用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：设乙机器每天加工个零件，由题意得，，
解得，，根据题意，从点到点是乙单独完成的量，∴（个），
∴（天），∴甲维修了8天，
故答案为：；．
（2）解：设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为，由（1）可知，甲维修了天，则点的坐标为，
∴当时，图像过点，，∴，解得，
∴；
③当时，图像过点，，
∴，解得，
∴；
综上所述，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为．
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