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专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·广东广州·中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
4．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
5．（2020·广东广州·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
1年模拟
6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．
①求a与b之间的关系式；
②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；
(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
7．（2024·广东广州·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点B，直线交反比例函数的图象于点，交于点．
(1)直接写出：m的值为_________，的值为_________；
(2)连接，当为何值时，的面积最大？
(3)当的面积最大时，直接写出不等式的解集．
8．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（在的左边），与轴交于，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，且在直线下方，若以为圆心作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
(3)如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接、，点是的中点，若、的纵坐标分别是、．直接写出，的数量关系．
9．（2024·广东广州·二模）已知抛物线
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值；
②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由．
10．（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M．
(1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围；
(3)已知直线与抛物线交于，，且．
①求a的取值范围；
②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值．
11．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
(1)求直线与双曲线的切点坐标；
(2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为，点为轴上一点．在平面内存在点，使，且这样的点有且只有一个，则点的坐标为______．
12．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
14．（2024·广东广州·一模）如图所示，抛物线与直线交于，两点，点为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点C运动到何处时，线段的长度有最大值；
(3)点E为直线上一动点，在（2）的条件下，当有最小值时，点E的坐标为______（直接写出答案）
15．（2024·广东广州·一模）综合应用
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
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专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【答案】(1)对称轴为直线：；
(2)
(3)①，②的最大值为，抛物线为；
【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；
（2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可；
（3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时， 可得，则，，可得，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线：；
（2）解：∵直线过点，∴，
如图，
∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，∴在的左边，，
∵在抛物线的对称轴上，∴，∴，设，
∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；
（3）解：①如图，当时，与抛物线交于，∵直线，∴，
∴，解得：，
②∵，当时，，∴，∴，，
∴，
∵，∴当时，的最小值为，∴此时，
∵对于任意的，均有成立，∴的最大值为，∴抛物线为；
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为1；
(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【分析】（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
【详解】（1）解：把代入得；故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，解得或，
，，点在函数的图象上，，
令，得，
即当，且，则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，则直线的表达式为：．
当时，，则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，则，解得：，
即，且，则，
∴顶点E的坐标为，或．
【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．
3．（2022·广东广州·中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
【答案】(1)直线解析式为：；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；
②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），∴，解得，
∴直线解析式为：；
（2）解：①设G：（），∵点P（，）在直线上，∴；
∴G：（），∵（0，-3）不在直线上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），∴点P必须位于直线的上方，
则，，另一方面，点P不能在轴上，∴，
∴所求取值范围为：，且 ；
②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为，而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，∴， ，
∴ G：，或，∵抛物线G过点（0，-3），
∴，即，， ；
当时，抛物线G为，对称轴为直线，
对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，
此时，函数值随着的增大而减小，如图，
∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视．
4．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．
【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果．
【详解】解：（1）当时，，解得，∴A（-8，0），当时，，
∴B（0，4）
（2）∵A（-8，0），∴，点P在直线上，∴，
∴，∵点P在第二象限，∴＞0，且＜0
解得-8＜＜0；
（3）∵B（0，4），∴，∵为的外接圆，∴，
∴，设，则
∴，∴当最小时，的面积最小
∴当时，有最小值，且为的直径，∴．
即的半径为4．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．
5．（2020·广东广州·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜
【分析】（1）把代入：，即可得到答案；
（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；
（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）把代入：，
（2） 抛物线为：
抛物线的对称轴为： 顶点不在第一象限，顶点在第四象限，
如图，设＜ 记对称轴与的交点为，则 ，
当＞同理可得：综上：或
（3） 当，设为：
，解得： ，为
，消去得：
由根与系数的关系得： 解得：
当时， 当时， 当时，，当时，有＜
当，由于抛物线开口向上，情况不存在
综上：当时，有＜
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
1年模拟
6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．
①求a与b之间的关系式；
②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；
(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】（1）①由根的判别式得，即可求解；
②由平移得，可得方程 ，由根的判别式得，由求根公式得，由二次函数的增减性得 ，即可求解；
（2）由，得当时，，当时，，由此可得，即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点，∴方程有相等实数根，
∴，∴，整理，得；
②将直线向上平移t个单位，，，
整理得：，，
由①得：，，，，，①，
当时，随x的增大而减小，，，，整理得：，
②，由①②得：，t取最小整数，；
（2）解：抛物线与直线有两个交点，此方程有两个实根、，
且满足，，当时，，
当时，，∴，，，①，，②，①②得：，
，，．
【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键．
7．（2024·广东广州·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点B，直线交反比例函数的图象于点，交于点．
(1)直接写出：m的值为_________，的值为_________；
(2)连接，当为何值时，的面积最大？
(3)当的面积最大时，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)8，8
(2)时，的面积最大，最大值为
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值，
（1）将点代入直线即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出；
（2）由求得M、N的坐标，进而求得面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
（3）根据题意得到点M的坐标，结合不等式可知求得反比例函数在直线上方的x范围即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，∴，
∵反比例函数经过点，∴，∴反比例函数的表达式为；
（2）∵函数中，当时，，函数中，当时，，
∴点M，N的坐标为，，∵，即直线在点A下方，
∴，
，∴时，的面积最大，最大值为．
（3）∵时，的面积最大，∴点M的坐标为，
∴不等式的解集．
8．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（在的左边），与轴交于，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，且在直线下方，若以为圆心作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
(3)如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接、，点是的中点，若、的纵坐标分别是、．直接写出，的数量关系．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)，点的坐标为
(3)
【分析】（1）根据题意，即可求出点的坐标，然后将两点的坐标代入解析式中即可求出结论：
（2）联立方程即可求出坐标，从而求出，设与相切于，连接，过点作轴交于，设点的坐标为，由为定值，可知：当的面积最大时，最大，即最大，利用“铅垂高，水平宽”求出的面积的最大值，即可求出的最大值和此时点的坐标：
（3）设与轴交于点，利用待定系数法求出直线和的解析式，联立方程即可求出点和点的坐标，再根据中点公式即可求出结论．
【详解】（1）解：∵，，，，
将点、点的坐标代入，，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）联立，解得或，
，，
设与相切于，连接，过点作轴交于，
设点的坐标为，，，
∵为定值，，∴当的面积最大时，最大，即最大，
而，
，∴当时，最大，其最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）设与轴交于点，
由题意可知，点的坐标为，由对称的性质可知，点的坐标为，
设直线的解析式为：，将的坐标代入，得，解得，
∴直线的解析为：，同理可求得，直线的解析式为：，
联立，解得或，∴点的坐标为，
同理可得点的坐标为，∴点的纵坐标为，
即．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数表达式，圆的切线的性质与判定，三角形的面积，中点坐标公式等知识，关键（2）熟练掌握三角形面积的不同求解方法；（3）待定系数法求解析式的熟练应用．
9．（2024·广东广州·二模）已知抛物线
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值；
②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)①；②当的值为或时，的最小值是．
【分析】（1）当时，抛物线，解方程，即可求解；
①根据题意得出和，点，点，过点作于点，由点，得点．根据题意求出的值即可；
②得出．求出，当，即时，当，即时，根据的最小值可分别求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线，令，则，解得或，
∴抛物线与轴的交点坐标为或；
（2）解：①抛物线的解析式为，令，则，
解得或，∴和，，令，则，∴点，点，
过点作于点，由点，得点．
在中，，，，
，，解得，∴；
②由是的中点，连接，，得．
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在中，．
当，即时，满足条件的点在线段上．
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，解得．
当的值为或时，的最小值是．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
10．（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M．
(1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围；
(3)已知直线与抛物线交于，，且．
①求a的取值范围；
②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值．
【答案】(1)且
(2)
(3)①，②最小值为0
【分析】（1）根据根的判别式为0和二次项系数不为0，建立不等式组，解不等式组，即得；
（2）当时，存在实数，使；当时，联立，当时，，，，存在实数，得，综合且；根据对于任意实数x都成立，的图象恒在x轴的上方，，，即且，得，得，综合；
（3）①联立解析式得，根据根与系数的关系得到，结合， 化简得到，得直线，根判别式，；②配方得，得到顶点在直线（）上，根据直线与直线交于第四象限，得到抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0．
【详解】（1）依题意有两个不相等的实数根，，，
又，且，
（2）①当时，显然存在实数，使，
②当时，联立，得，当时，，
此时，
如图所示，
只需就存在实数，使，，
综上：且，
又存在实数k，对于任意实数x都成立，
即恒成立，的图象恒在x轴的上方，
，即存在实数k使且，
，解得（舍去）或，，
综上所述：；
（3）①联立，得，则，，，
（，，，），，，化简得，
，直线，，，即a的取值范围是，
②，顶点为，
顶点在直线（）上，
画图可知直线与直线，（）的交点在第四象限，
抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0．
（法二：过点M作直线）的垂线，再化斜为铅垂，同样可以得到最小值为0）
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与坐标轴交点判断和性质，两函数图象交点判断和性质，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，是解决问题的关键．
11．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
(1)求直线与双曲线的切点坐标；
(2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为，点为轴上一点．在平面内存在点，使，且这样的点有且只有一个，则点的坐标为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，即可求解；
（2）联立直线与得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切点的坐标，求出抛物线的表达式为：，联立直线与得到关于的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式，据此列出关于的一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，判断出点是与轴的切点，过点作轴交于点，确定的中点，连接，求出的中点的坐标和点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，据此设点，则点，根据两点间的距离公式列出方程，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：联立，得：，整理得：， 解得：，
当时，，则切点坐标为：
（2）解：存在，理由：
∵与相切，联立，得，整理得：
解得：，当时，，则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，联立，得，
整理得：，则该一元二次方程有唯一解，
即，整理得：，解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为：，则顶点的坐标为，
在平面内存在点，使，即点、、在同一个上，
又∵点为轴上一点，且这样的点有且只有一个，故点是与轴的切点，
如图：过点作轴交于点，确定的中点，连接，
∵，，故中点的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，
即直线的表达式为：，则点在直线上，故设点，则点，
则，∵，，∴，
解得：，（舍去）故点
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的综合应用，圆周角定理，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式等，确定出点所在的位置是解题的关键．
12．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或
【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键．
（1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可；
（2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可．
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
是正方形，，，，，
，，在和中，
，，，，
，，在反比例函数图象上，，
反比例函数解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标，
设直线解析式为，代入点坐标得：，解得：，
直线解析式为：，设， ，
当为平行四边形的对角线时，得：，即：，
解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，得：，即：，
解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，得：，即：，
解得：， ；
综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或．
13．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
【答案】(1)
(2)最大值为4，此时点D的坐标为；
(3)
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可；
（2）先求出直线解析式为，同理可得直线解析式为，设，则，，可得，；再证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案；
（3）设，设直线解析式为，可利用待定系数法求出，，同理可得直线解析式为，；如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，可求出，证明，可推出，进而得到；设直线解析式为，联立得，则，据此可得，即直线经过定点；设点D到直线得距离为h，由垂线段最短可得，则当时，h最大，最大值为．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，∴，
∴，∴抛物线解析式为，在中，当，解得或，∴；
（2）解：设直线解析式为，直线交直线于H，∴，
∴，∴直线解析式为，同理可得直线解析式为，
设，则，，
∴，；
∵，∴，∴，∵轴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∴时，有最大值，最大值为4，∴此时点D的坐标为；
（3）解：设，设直线解析式为，
∴，∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，∴，，
∴，∵，∴，
∴，∴，又∵，
∴，∴，即，∴，∴，
∴；设直线解析式为，联立
得，∴，∴，∴，∴直线经过定点；设点D到直线得距离为h，
由垂线段最短可得，
∴当时，h最大，最大值为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明是等腰直角三角形得到，解（3）的关键是推出直线经过定点．
14．（2024·广东广州·一模）如图所示，抛物线与直线交于，两点，点为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点C运动到何处时，线段的长度有最大值；
(3)点E为直线上一动点，在（2）的条件下，当有最小值时，点E的坐标为______（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)C的坐标为
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）作点关于直线（直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．
【详解】（1）解：把，分别代入得：
解之得：，抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，分别代入
得：，解之得：，直线的解析式为，设点为，
轴，，，
，当时，线段的长度有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：过点作于点，如图所示．
，，，，，，，，，，
，作点关于直线（直线的对称点，
当、、三点共线时，取得最小值，，
可设直线的解析式为：，把代入可得：，
，令，则
，
故答案为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．考查了勾股定理，解直角三角函数，求一次函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
15．（2024·广东广州·一模）综合应用
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，点的坐标为或
(3)的值是定值；
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点，利用待定系数法即可求解直线的函数表达式；
（2）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可；
（3）由（）得抛物线的对称轴为直线，从而，设且，进而利用待定系数法求得直线和直线的解析式，从而得，于是即可得．
【详解】（1）解：当时，即，解得：
∴图象与轴交于点，，当时，，∴图象与轴交于点，
设直线为：，把，代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：当点在上方时，
∵，∴，即轴，∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵，∴抛物线的对称轴为直线；∵，∴；
当点在下方时，设交轴于点，
则，，∵，∴，
在中，，∴，解得：，∴，
设直线的解析式为，，解得：，
∴直线的解析式为，联立，得，解得：舍去，，∴．
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：存在，的值为定值，理由如下：
由得抛物线的对称轴为直线，∴，设且，
设直线的解析式为，将和点的坐标代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，当时，，∴，
同理，直线的解析式为：，当时，，
∴，∴，∴，
∴的值是定值，
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用以及勾股定理，熟练掌握二次函数的图像及性质以及勾股定理是解题的关键．
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