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专题2 整式及因式分解
5年真题
考点1 幂的运算
1．（2023·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．（） C． D．（）
2．（2021·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．（a－2）2＝a2－4
3．（2020·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 代数式求值
4．（2024·广东广州·中考真题）若，则
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为
考点3 因式分解
6．（2022·广东广州·中考真题）分解因式：
考点4 规律探索
7．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
1年模拟
8．（2024·广东广州·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（ ）
A．5100 B．3800 C．2650 D．588
11．（2024·广东广州·一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东广州·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·广东广州·三模）代数式因式分解的结果为
14．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为
15．（2024·广东广州·二模）已知．
(1)化简T；
(2)若a，b互为相反数，求T的值．
16．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式．
(1)化简；
(2)若，求x的值．
17．（2024·广东广州·二模）已知
(1)化简T；
(2)若a满足，求T的值．
18．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③．
(1)把这三个多项式因式分解；
(2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系．
A．；B．；
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专题2 整式及因式分解
5年真题
考点1 幂的运算
1．（2023·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．（） C． D．（）
【答案】C
【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则分别计算判断．
【详解】解：A、 ，故该项原计算错误；
B、 （），故该项原计算错误；
C、 ，故该项原计算正确；
D、 （），故该项原计算错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则是解题的关键．
2．（2021·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．（a－2）2＝a2－4
【答案】C
【分析】利用绝对值符号化简可判断A，利用同类项定义与合并同类项法则可判断B，利用积的乘方运算法则可判断C，利用完全平方公式可判断D．
【详解】A. ，选项A计算不正确；
B. 3与不是同类项，不能合并，，选项B计算不正确；
C. ，选项C计算正确；
D. ，选项D计算不正确．
故选择C．
【点睛】本题考查绝对值化简，同类项、二次根式、积的乘方与完全平方公式等知识，掌握以上知识是解题关键．
3．（2020·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案.
【详解】A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确，
故选：D.
【点睛】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键.
考点2 代数式求值
4．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
【详解】解：，，，
故答案为：11．
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
【答案】220
【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．
【详解】解：，当，，，时，
，
故答案为：220．
考点3 因式分解
6．（2022·广东广州·中考真题）分解因式：
【答案】
【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．
考点4 规律探索
7．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
1年模拟
8．（2024·广东广州·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项不正确，不符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项正确，符合题意；
故选：D．
9．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可．
【详解】A中，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式等知识．熟练掌握有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式是解题的关键．
10．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（ ）
A．5100 B．3800 C．2650 D．588
【答案】A
【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为
第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为
第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为
第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为
…
由此发现规律是：
第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为，
第50个图形中长为1的线段和为．
故选：A．
11．（2024·广东广州·一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
12．（2024·广东广州·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的运算，利用积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则及完全平方公式逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则A符合题意；
B、，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、，则D不符合题意；
故选：A．
13．（2024·广东广州·三模）代数式因式分解的结果为
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式与公式法综合的方法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为
【答案】
【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第个图有个点；
第个图有个点；
第个图有个点；
第个图有个点；
；
∴第个图有个点；
故答案为：．
15．（2024·广东广州·二模）已知．
(1)化简T；
(2)若a，b互为相反数，求T的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键．
（1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可；
（2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解．
【详解】（1）
（2） a，b互为相反数， ，
．
16．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式．
(1)化简；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程；
（1）根据整式的加减进行计算即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
（2）∵
∴
∴
∴
解得：
17．（2024·广东广州·二模）已知
(1)化简T；
(2)若a满足，求T的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查整式的运算，代数式求值：
（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据，求出的值，代入（1）中的结果，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，∴，
∵，
∴当时，．
18．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③．
(1)把这三个多项式因式分解；
(2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系．
A．；B．；
【答案】(1)①．②，③
(2)见详解
【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可．
【详解】（1）解：①．
②，
③；
（2），
，
即．
因式分解得：，
或
解得：或；
，
即
因式分解得：，
或
解得：或．
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