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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程判别式
1．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
考点2 解一元二次方程
3．（2023·广东广州·中考真题）解方程：．
4．（2021·广东广州·中考真题）方程x2=4x的解
考点3 一元二次方程的应用
5．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
6．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
7．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
1年模拟
8．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
11．（2024·广东广州·一模）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东广州·二模）一元二次方程的解是
13．（2024·广东广州·一模）若是方程的两根，则
14．（2024·广东广州·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
15．（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
16．（2024·广东广州·二模）解方程：．
17．（2024·广东广州·二模）已知．
(1)化简T；
(2)已知，求T的值．
18．（2024·广东广州·一模）解方程：
19．（2024·广东广州·一模）已知：．
(1)化简；
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
20．（2024·广东广州·一模）已知．
(1)化简；
(2)若，是方程的两个根，求的值．
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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程判别式
1．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
2．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
考点2 解一元二次方程
3．（2023·广东广州·中考真题）解方程：．
【答案】，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
4．（2021·广东广州·中考真题）方程x2=4x的解
【答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案为：x=0或x=4．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
考点3 一元二次方程的应用
5．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而，
∴①当时，则有，解得，；
②当时，，解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
6．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，解得：；
（2）解：∵，∴；
7．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a -4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：T==；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴， ∴，
则T=．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
1年模拟
8．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
9．（2024·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
10．（2024·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此得出，结合，计算即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
，
实数的最小整数值为，
故选：B．
11．（2024·广东广州·一模）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，由题意可列方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每个月生产成本的下降率为，
由题意得：，
故选：．
12．（2024·广东广州·二模）一元二次方程的解是
【答案】，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，由可得出即可求解．
【详解】解：
，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
13．（2024·广东广州·一模）若是方程的两根，则
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数关系得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，
∴，∴，
故答案为：．
14．（2024·广东广州·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】
【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值．
【详解】解：由题意可知：，，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数．掌握方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，是解决本题的关键．
15．（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算化简即可；
（2）根据a、b是方程的两根，得到，代入求值即可．
本题考查了分式的化简，根与系数关系定理，求代数式的值， 熟练掌握分式的混合运算，根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）∵a、b是方程的两根，∴，
故．
16．（2024·广东广州·二模）解方程：．
【答案】，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【详解】解：，，或，∴，．
17．（2024·广东广州·二模）已知．
(1)化简T；
(2)已知，求T的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程．
（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可；
（2）先解一元二次方程，根据分式有意义的条件取，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解： ．
（2），
，
，，
，，，
18．（2024·广东广州·一模）解方程：
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：
，
，
，
，．
19．（2024·广东广州·一模）已知：．
(1)化简；
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键
（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
，
，
，
20．（2024·广东广州·一模）已知．
(1)化简；
(2)若，是方程的两个根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；
（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果；
（2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴
∴
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