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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为
【答案】/
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，又，∴，设点E到直线的距离为x，
∵，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为
【答案】2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，
∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
考点2 三角形与折叠变换
3．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为
【答案】
【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为，∴，．∵，
∴．∴，．∵，
∴．∵，∴．∴．
∵．
∴．∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点3 全等三角形的判定和性质
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴，∴，
∴，又∵
∴
故选：C
5．（2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．
【详解】证明：∵B是的中点，∴，∵，∴，
在和中，
∴，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
【答案】证明见解析
【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．
【详解】证明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．
【答案】见解析
【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2020·广东广州·中考真题）如图，，，．求的度数．
【答案】75°.
【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案.
【详解】∵,,∴∠DCA=75°,
∵,,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA=75°.
【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题.
1年模拟
9．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则
【答案】/100度
【分析】过点作，，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，推出为等边三角形，设，根据等边对等角，表示出，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】解：过点作，，连接，
则：四边形为平行四边形，
∴，∵，，∴，，
∴，∴，∵，∴，∴，
∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，
设，则：，，
∴，
∴，
解得：，∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊图形．
10．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为
【答案】
【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理．直角三角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键．
先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解．
【详解】解：过D点作于E，如图所示，
，，又，是的角平分线，，，
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴
；
故答案为：．
11．（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．
【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，∴，
∵的周长为，∴，∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8．
12．（2024·广东广州·一模）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上的高．
【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高，
∴，∴，
∴，又，∴，
即，∵，∴，
在中，由勾股定理得，，
设中边上的高为，则有：，解得，，
即中边上的高为，
故答案为：．
13．（2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵点在直线上，，∴，
即，∵，∴，又∵，∴，
∴．
14．（2024·广东广州·二模）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据两直线平行得出内错角相等，再结合线段和的关系得出，即可证明．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
即，∵，∴．
15．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等角对等边，先证明，再根据“”进行证明即可．
【详解】证明：∵，∴，
在和中，
，
∴．
16．（2024·广东广州·二模）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，也考查了三角形内角和定理．根据平行的性质可得,再根据三角形内角和定理可以得到，即可证明，故得证．
【详解】证明：∵，∴，
∵，，∴，又∵，
∴，
∴．
17．（2024·广东广州·二模）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据，，，利用即可证明，从而得到．
【详解】解： ，
，
．
18．（2024·广东广州·二模）如图，点D在上． 点E在上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．
【详解】证明：在和中：
，∴，∴．
19．（2024·广东广州·一模）已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出，再用两角夹边判定即可．
【详解】证明：，，，
，，，
在和中
，．
20．（2024·广东广州·一模）如图， 点在线段上， ，， ．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质知识，根据平行线的性质可得，进而根据证明，再由全等三角形的性质即可求证，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【详解】∵，∴，
在和中
∴，∴．
21．（2024·广东广州·一模）如图，线段与相交于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等并结合已知条件可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵，∴，
在和中，
,
∴，∴．
22．（2024·广东广州·一模）如图，已知，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案．
【详解】证明：平分，，
在和中
，
．
23．（2024·广东广州·一模）如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，运用证明，得到，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵，∴．∵，∴
在△ABC和中，
，
∴，∴，∴，即：．
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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为
考点2 三角形与折叠变换
3．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为
考点3 全等三角形的判定和性质
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
5．（2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：．
6．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
7．（2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．
8．（2020·广东广州·中考真题）如图，，，．求的度数．
1年模拟
9．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则
10．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为
11．（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm
12．（2024·广东广州·一模）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为
13．（2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：．
14．（2024·广东广州·二模）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：．
15．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，，证明：．
16．（2024·广东广州·二模）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：．
17．（2024·广东广州·二模）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
18．（2024·广东广州·二模）如图，点D在上． 点E在上，．求证：．
19．（2024·广东广州·一模）已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：．
20．（2024·广东广州·一模）如图， 点在线段上， ，， ．
求证：．
21．（2024·广东广州·一模）如图，线段与相交于点，，，求证：．
22．（2024·广东广州·一模）如图，已知，平分，求证：．
23．（2024·广东广州·一模）如图，，求证：．
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