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专题10 尺规作图
5年真题
考点1 作已知角的角平分线
1．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，又∵AF平分，，∴，
又∵，∴，，∴，
∴，又∵，∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
考点2 作已知线段的垂直平分线
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；
（1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求；
（2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形为矩形．
考点3 作轴对称
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②．
【分析】（1）过点做的垂线交于点，在的延长线上截取，即可求出所作的点关于的对称点；
（2）①利用，得出，利用，以及得出四边形是菱形；
②利用为中位线求出的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用求出的长度，得出对角线的长度，然后利用面积法求出点到的距离即可．
【详解】（1）解：如图：点即为所求作的点；
（2）①证明：∵，，又∵，∴；
∴，又∵，∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是菱形，∴，，，又∵，
∴，∵为的中点，∴，∵，∴为的中位线，
∵，∴，∴菱形的边长为13，∵，
在中，由勾股定理得：，即：，
∴,设点到的距离为，利用面积相等得：，
解得：，即到的距离为．
【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键．
1年模拟
4．（2024·广东广州·二模）如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质和解直角三角形，过作于点，由题意可得平分，则，由可得，通过三角形外角性质得，通过三角函数求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于点，
由作图可知，平分，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴点到的距离是
故选：．
5．（2024·广东广州·三模）如图，中，是斜边的中线．
(1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点，与交于点；
(2)若，，求的长；
(3)连接，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；
（2）连接，由相似三角形的判定与性质可得，，的长，然后由三角形的面积公式可得问题的答案；
（3）根据直角三角形斜边上中线的性质及平行线的判定得，再由平行线截线段成比例得，令，则，，根据勾股定理得长，即可得到答案．
【详解】（1）解：以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；
（2）连接，，，，
同理，，，，
，，．
（3）为中线，，，，
，，，
，令，则，，，
．即
【点睛】此题考查圆的综合，作图及直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，求角的正切值，掌握其性质定理是解决此题关键．
6．（2024·广东广州·三模）如图，已知在中，．
(1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号）
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)⊙O的半径为3
【分析】（1）作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆交于点即可；
（2）连接，由切线性质得，，在中，．从而求得，进而即可求解；
（3）设的半径为，根据三角形函数得．证．得．从而．再根据勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，连接，
是的切线，，，，
在中，．，．
∴劣弧与线段，所围成的图形的面积为；
（3）解：设的半径为，∵．∴，∴是的切线，
∵是的切线，∴，，∴，，
．，，．，，．．．，
．解得或（不合题意，舍去）．的半径为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的判定，尺规作角平分线，相似三角形的判定及性质，切线长定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质，切线长定理以及解直角三角形是解题的关键．
7．（2024·广东广州·三模）如图，内接于，，直线l与相切于点C．
(1)尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）根据尺规作平行线，即尺规作角等于已知角，作出图形即可；
（2）①连接，利用切线的性质和圆周角定理，进行角度的转换，即可解答；②证明，利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：①如图，连接．
直线l与相切于点C，，是直径，，
，即，，；
②，，，，
直线是切线，，，，
，∴，，，
．
8．（2024·广东广州·二模）如图，中，是边的中点，，垂足是．
(1)作的高（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的值．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】本题主要考查尺规作垂线，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线，构造相似三角形，结合其判定和性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，作射线交于点，即可求解；
（2）根据都是直角三角形，点为中点，可得点四点共圆，由可得是等腰直角三角形，结合，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，于点，
∴即为所求线段；
（2）解：如图所示，设交于点，
∵，中，，点是的中点，
∴点四点在以点为圆心，以为直径的圆上，
∴，∴，∴，
∵，，∴，，即是等腰直角三角形，
，∴，∴．
9．（2024·广东广州·二模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等．
(2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据题意，作平分线即可；
（）先判断出，得出，即可得出结论；
（）连接，由，得，，然后证明，得，求出，，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）如图，根据题意，作平分线即可，
以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点；
分别以为圆心画弧交于点；
连接交于点，
∴即为所求；
（2）如图，连接，则，
∴，∵是的平分线，∴，∴，
∴，∴，∵在半径，∴是的切线；
（3）如图，连接，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，，∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
10．（2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上．
(1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切；
(3)连接，若，求的值．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可；
（2）如图，记与的交点为，证明，再证明四边形为矩形，可得，从而可得结论；
（3）记交于点Q，连接，，，由，结合勾股定理可得，再证明，即可证明，，则有，，结合勾股定理可得， ，问题得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，记与的交点为，
∵为的直径，∴，∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，∵为的半径，
∴为的切线；
（3）解：记交于点Q，连接，，，如图，
∵，∴，∵，∴，
∵为的直径，∴，∴，∵根据相切有，
∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，，∵，，∴，，
∴，∴，即：，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．（2024·广东广州·二模）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点．
(1)尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求．
（2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线．
【详解】（1）解：如图，点即为所求：
（2）证明：连接．∵，∴，
∵，∴，
∴，∵是切线，∴，∴，∴．
∵是半径，∴是的切线．
【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．（2024·广东广州·二模）如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)画出（1）中的线段．若，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解，
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂线，考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由点到的距离的长）等于的长知点在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得，先对运用勾股定理求得，可得，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程即可．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求：
（2）解：如图，线段即为所求：
在中，由勾股定理得：，由作图知平分，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
∴．
13．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，，．
(1)尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，连接，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可．
（2）由题意可得，则，可得为等边三角形，即，则，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，则即为所求．
（2）解：由（1）可得，，，，，，，，为等边三角形，，，．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
14．（2024·广东广州·一模）如图，在中，．
(1)操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)计算∶ 在（）的条件下，若，，求梯形的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）根据作垂线的尺规作图的方法即可；
（）先由平行四边形的性质得出，再利用所对直角边是斜边的一半求出的长，再利用求梯形面积的方法即可求解．
【详解】（1）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，
分别以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点，
连接，交于点，
如图，
∴即为所求；
（2）∵四边形是平行四边形，∴，由（）得：，∵，
∴，由勾股定理得：，∴，
∴梯形的面积为．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，所对直角边是斜边的一半，梯形面积公式和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
15．（2024·广东广州·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点．
(1)尺规作图：在菱形的边上方找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并给出证明．
【答案】(1)作图见解析；
(2)四边形是矩形，证明见解析．
【分析】（）作，再在射线上截取，连接，因为四边形为菱形，所以，，因为，可得，得到，又，故可得，即点即为所求；
（）由菱形的性质可得，，进而可推导出，，，得到四边形是平行四边形，即可得到四边形是矩形；
本题考查了平行线的作法，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：四边形是矩形．
证明：∵四边形为菱形，∴，，∴，∵，
∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，
∴四边形是矩形．
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专题10 尺规作图
5年真题
考点1 作已知角的角平分线
1．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
考点2 作已知线段的垂直平分线
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
考点3 作轴对称
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
1年模拟
4．（2024·广东广州·二模）如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·三模）如图，中，是斜边的中线．
(1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点，与交于点；
(2)若，，求的长；
(3)连接，交于点，若，求的值．
6．（2024·广东广州·三模）如图，已知在中，．
(1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号）
(3)若，，求的半径．
7．（2024·广东广州·三模）如图，内接于，，直线l与相切于点C．
(1)尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长．
8．（2024·广东广州·二模）如图，△ABC中，是边的中点，，垂足是．
(1)作△ABC的高（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的值．
9．（2024·广东广州·二模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等．
(2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
10．（2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上．
(1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切；
(3)连接，若，求的值．
11．（2024·广东广州·二模）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点．
(1)尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线．
12．（2024·广东广州·二模）如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)画出（1）中的线段．若，求的长．
13．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，，．
(1)尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，连接，求的值．
14．（2024·广东广州·一模）如图，在中，．
(1)操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)计算∶ 在（）的条件下，若，，求梯形的面积．
15．（2024·广东广州·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点．
(1)尺规作图：在菱形的边上方找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并给出证明．
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