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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形的判定
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
考点2 相似三角形综合运用
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为
4．（2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1年模拟
5．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东广州·三模）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是
8．（2024·广东广州·三模）如图，平行于的直线把△ABC分成面积相等的两部分，则
9．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，
（1）当，则
（2）当最大时，
10．（2024·广东广州·二模）如图，△ABC与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为
11．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为
12．（2024·广东广州·三模）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
13．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点．
我们很容易得到下面三个结论：
结论1：
结论2：
结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明）
有题目如下：
(1)如图1，条件不变．求证：
①；
②．
(2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明．
14．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
15．（2024·广东广州·一模）【问题探究】
（1）如图①，在四边形中，，在边上作点为一点，连接，，使得（画出一个点即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；
（2）如图②，在四边形中，，，，点为上一点，连接，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是赵叔叔家的果园平面示意图，点为果园的一个出入口（点在边上），，为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，，，，米，赵叔叔计划在区域内种植某种果树，并沿修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出的长度．
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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形的判定
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，，四边形是正方形，
，，，，，又，
．
考点2 相似三角形综合运用
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】（1）（3）（4）．
【分析】由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，．
又∵，∴．∴．∵，
∴，∴，∴，∴，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作交BC于N，交AD于M，
由（1）得，则．∵，
∴．∵四边形ABCD是正方形，，∴．
∴四边形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．
即．∵，∴．∵，∴．
∴．即．解得．则．∵，．∵，，∴．∴．
∴．∴与不全等，故结论（2）错误；
（3）∵，∴．即．解得．
由（2）得，．
∴；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，∴．
由勾股定理得．
∴；故结论（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2020·广东广州·中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为
【答案】16
【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案．
【详解】解：在正方形中，，∵绕点逆时针旋转到，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
4．（2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，，
，，，，，
，，，，又，
，，，，，，
同理可证，，，，，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
1年模拟
5．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明以及平行线分线段成比例可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，，∵，
∴，∴，∴，
故只有C选项不正确
故选：C．
6．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解题的关键．
根据矩形的性质和勾股定理可得、，再结合旋转的性质可得，易证，运用相似三角形的性质列比例式可得，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：∵在矩形中，，，∴，，∴，，
∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，即，解得：，
∴
故选B．
7．（2024·广东广州·三模）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
（1）作于，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，将代入即可；
（2）利用二次函数的性质求的取值范围．
【详解】解：（1）作于，如图，，，，
，，，设，则，
，即，，而，
，，即，，当时，；
（2），故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，点D是边上一动点（不与B、C重合），．
故答案为：，．
8．（2024·广东广州·三模）如图，平行于的直线把△ABC分成面积相等的两部分，则
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，由平行得，由相似三角形的性质得，即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：设，，，，
，，
故答案：．
9．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，
（1）当，则
（2）当最大时，
【答案】 3
【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解；
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故．
【详解】解：①∵，，∴，∵四边形是矩形，
∴，，∴由勾股定理得：，，∴，
故答案为：；
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，
∵四边形是矩形，∴，，∵点O为中点，∴，
∴由勾股定理得，∵，∴∵四边形是矩形，
∴，∴，∴，∴，∴
∵，∴，∴，∴，
∴，∴的最大值转化为的最大值，∵，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，∵，
∴当三点共线时，取得最大值为18，∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键．
10．（2024·广东广州·二模）如图，△ABC与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为
【答案】8
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵△ABC与是位似图形，∴，，
∴，∵，∴△ABC的周长：的周长，
∵△ABC的周长为4，∴的周长为8，
故答案为：8．
11．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
证明，得出，，求出，的长，证明，得出，则可得出答案．
【详解】解：，，是的垂直平分线，，，
，，，，，
，，，，设，，
，，，，，
，，，，
，，，，．
故答案为：
12．（2024·广东广州·三模）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=、=，
∴=，∴△ACG∽△BCE，∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，
∴，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由得，
∴AH=a，则DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
13．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点．
我们很容易得到下面三个结论：
结论1：
结论2：
结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明）
有题目如下：
(1)如图1，条件不变．求证：
①；
②．
(2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1）①连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出；
②延长，过点A作，交的延长线于点G，证明，得出，证明，得出，，根据三角形的面积得出得出，根据，，得出，即可证明结论；
（2）方法一：延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，根据等腰直角三角形性质证明，，，证明，得出，，求出，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可．
方法二：过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，易得四边形、、为矩形，则，再证明四边形为正方形，得出，，进而得出点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，则，根据勾股定理可得，，等量代换得到，，即可推出．
【详解】（1）证明：①连接，如图所示：
∵四边形为正方形，∴，
∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上，∵，∴为直径，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，
∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，，∴为直径，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，
∴，∴；
②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，∴，，，
∵，∴，∵，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，，∴，
∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；
（2）解：方法一：．理由如下：
延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示：
∵四边形为矩形，∴，∵，
∴，∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，，∵，∴，∵，，∴，
∴，，∴，即，∵，
∴，∴，∵，，∴，
∴，∵，∴四边形为矩形，∴，，在中，根据勾股定理得：，
∴，即．
方法二：
过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，
∵四边形为矩形，，，∴四边形、、为矩形，
∴，∵，∴四边形为正方形，∴，，
∵，∴点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，∴，
根据勾股定理可得：，，∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
14．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，最小值是
【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；
（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，，∴，
∵矩形和矩形，∴，，，
∴，∴，，∴，，即，，∴
（2）∵，
∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：
此时，，①∵，，∴，，在中，，，
∴，由（1）得：，∴，
即，∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，
由旋转可得：，∴，∴，∴，过P作于S，则 ，，
∴，则 ，∴，∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，， ，，
过点L作垂直的延长线于点Q，，∴，，
则，在中，根据勾股定理得，
∴的最小值为.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.
15．（2024·广东广州·一模）【问题探究】
（1）如图①，在四边形中，，在边上作点为一点，连接，，使得（画出一个点即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；
（2）如图②，在四边形中，，，，点为上一点，连接，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是赵叔叔家的果园平面示意图，点为果园的一个出入口（点在边上），，为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，，，，米，赵叔叔计划在区域内种植某种果树，并沿修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出的长度．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）米
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，尺规作图：
（1）先作出的中点O，再作交于点E，即可；
（2）连接，根据题意可得是等边三角形，可得到，，可证明，即可；
（3）过点A作交的延长线于点F，证明和 是等腰直角三角形，可得， 再证明，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，点E即为所求；
理由：由作法得：，∴，
∴，∵，
∴，∴；
（2），理由如下：如图，连接，
∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，
∴，∴，∵，∴，
在和中，∵，，，∴，
∴；
（3）如图，过点A作交的延长线于点F，
∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴米，∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴米．
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