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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 特殊角三角形函数应用
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）
A． B． C．20 D．
考点2 三角函数在几何计算中的应用
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点3 解直角三角形的实际应用
3．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
4．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40 ．
1年模拟
5．（2024·广东广州·三模）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
6．（2024·广东广州·二模）如图河堤横断面迎水坡的坡比， 堤高，则坡面的长度是（ ）m
A．8 B．18 C． D．
7．（2024·广东广州·一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ）
A．米 B．30米 C．米 D．10米
8．（2024·广东广州·一模）如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（ ）m．（参考数据：，）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．
10．（2024·广东广州·三模）如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是
11．（2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 m．（结果保留根号）
12．（2024·广东广州·三模）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，）
13．（2024·广东广州·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为 cm．（参考数据：，，）
14．（2024·广东广州·三模）无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得地面点的俯角，测得楼顶点处的俯角为，点到点的距离为80米，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内）．
(1)填空：_____度，_____度；
(2)求此时无人机距离地面的高度；
(3)求大楼的高度．（结果保留根号）
15．（2024·广东广州·三模）广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．
(1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）
(2)求天线桅杆的高度．（参考数据：）
16．（2024·广东广州·二模）小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，，
(1)求的长度（结果保留整数）；
(2)若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，）
17．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔AB的高度
方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角．
测量 示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量 数据
(1)根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为______米．
(2)根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，）
18．（2024·广东广州··一模）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求的长；
(2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
19．（2024·广东广州·一模）小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）．
方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米；
方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为．
请从两种方案中任选一种求树的高度．（参考数据：，，）
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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 特殊角三角形函数应用
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，
由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
考点2 三角函数在几何计算中的应用
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键．
考点3 解直角三角形的实际应用
3．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长约为8米；
(2)模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可；
（2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，，
在中，，米，，米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，米，
在中，，米，，米，
米，模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
4．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1)；
(2)①；②旗杆AB高度约．
【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
【详解】（1）解：．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴， ∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，Rt△ADF中，，
∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
1年模拟
5．（2024·广东广州·三模）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，米，斜坡的坡度，，
设米，则米，
在中，（米，米，，
解得：，米，米，设米，米，在中，，米，在中，，米，
，，解得：，（米，
这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
6．（2024·广东广州·二模）如图河堤横断面迎水坡的坡比， 堤高，则坡面的长度是（ ）m
A．8 B．18 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据得出的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】由题意得，∴，
∴（米）．
故选：D．
7．（2024·广东广州·一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ）
A．米 B．30米 C．米 D．10米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是银师的关键．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：迎水坡的坡度，，米，米，
由勾股定理得：（米，
故选：A．
8．（2024·广东广州·一模）如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（ ）m．（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关键．
根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可．
【详解】解：由题意可建立如图所示平面图：
∴，，∵，∴设，
则，∴，即，
解得：，∴，∴ ，即塔高为m，
故选：A．
9．（2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．
【答案】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，矩形的判定与性质，过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．
【详解】如图，过作于，
∴四边形是矩形，∴，在中，，，
则，∴，
故答案为：．
10．（2024·广东广州·三模）如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是
【答案】
【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作交于点D，则有，，求得和，过点B作交于点E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,结合线段长最短为点B到的距离，最长为即可得到答案．
【详解】解：过点A作交于点D，如图，
∵，，∴，，，
∴，，过点B作交于点E，则，解得，在中，
∵线段长最短为点B到的距离，最长为，∴，
故答案为：．
11．（2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 m．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．分别过点，作的垂线，垂足分别为，，利用三角函数分别求得的长度，即可求得答案．
【详解】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
由题意，得，，，
∴，，
∴座板从处摆动至处的水平距离为．
故答案为：．
12．（2024·广东广州·三模）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，如解图所示．
∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．，
∴，，
∴四边形为矩形，∴，．∴．
∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴．
∵，∴，在中，，
∴，∴．
即文化长廊的最高点离地面的高度约为．
故答案为．
13．（2024·广东广州·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为 cm．（参考数据：，，）
【答案】10.2
【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可．
【详解】解：∵，，为边上的高，∴，
∵，∴在中，可有，
∴．
故答案为：10.2．
14．（2024·广东广州·三模）无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得地面点的俯角，测得楼顶点处的俯角为，点到点的距离为80米，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内）．
(1)填空：_____度，_____度；
(2)求此时无人机距离地面的高度；
(3)求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)90，120
(2)此时无人机距离地面的高度米
(3)大楼的高度为米
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）由题意得出，，作于 ，于，则，得到，证明四边形为矩形，得出，再由计算即可得出答案；
（2）由题意得：米，，再由计算即可得出答案；
（3）解直角三角形得出米，从而得出米，解直角三角形求出的长，最后由计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，∴，
如图，作于 ，于，则，
∴，∴，∵，∴，
∴四边形为矩形，∴，∴；
（2）解：由题意得：米，，
∴（米），
∴此时无人机距离地面的高度米；
（3）解：由题意得：米，米，，
∴（米），∴米，
由（1）可得：四边形为矩形，∴米，，
∴（米），
∴（米），
∴大楼的高度为米．
15．（2024·广东广州·三模）广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．
(1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）
(2)求天线桅杆的高度．（参考数据：）
【答案】(1)见详解
(2)150米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据题意，画出几何示意图即可；
（2）利用三角函数，分别解得、的值，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，画出几何示意图如下；
（2）根据题意，米，，，
∴米，
米，
∴米．
答：天线桅杆的高度为150米．
16．（2024·广东广州·二模）小亮同学将一辆自行车水平放在地面上．如示意图，车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线，处为齿盘的中轴，测得，，
(1)求的长度（结果保留整数）；
(2)若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为，根据小亮同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，，，）
【答案】(1)的长度
(2)小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度，理由见详解
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握构造直角三角形，运用锐角三角形求解是解题的关键．
（1）在中，运用解直角三角形的方法可求出的值，在中，可求出的值，有次即可求解；
（2）过点作，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，根据可得点到地面的距离，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
在中，，，∴，，∴，，在中，，∴，∴，
∴，∴的长度；
（2）解：如图所示，过点作，过点作于点，
由（1）可知，，，，
∴，，
在中，，则，
∴，∵点到地面的距离为，
∴点到地面的距离为,
∵坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，，
∴小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
17．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔AB的高度
方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角．
测量 示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量 数据
(1)根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为______米．
(2)根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)52
(2)塔的高度为米
【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用
（1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可；
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可
【详解】（1）解：如图，
由题意可知，∴，即，解得，
∴塔的高度为米；
故答案为：52；
（2）解：如图，
在中，，∴，在中，，
∴，∵，∴，即．
∴米
∴塔的高度为米．
18．（2024·广东广州··一模）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求的长；
(2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长为210米；
(2)黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．
【分析】本题考查了含30度的三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念．
（1）在中，根据，可得即可求解；
（2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解．
【详解】（1）解：在中，，米，
∴的长为210米；
（2）解：，，∴，
∴四边形是矩形，，米，米，
在中，，，∴米，
∴米．
∴黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．
19．（2024·广东广州·一模）小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）．
方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米；
方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为．
请从两种方案中任选一种求树的高度．（参考数据：，，）
【答案】树的高度为米
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
方案①：证明，则，得到，即可求出答案；
方案②：过点C作，垂足为E．在中，利用得到，再利用线段求和即可得到．
【详解】解：方案①：如图，
由题意可得，，，∴，
∴，∴，∴，解得，
∴树的高度为米；
方案②：如图，过点C作，垂足为E．
在中，，，，
∴，
∴
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