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专题16 反比例函数及其应用
5年真题
考点1 反比例函数的性质
1．（2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
2．（2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 反比例函数与一次函数综合
3．（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求m的值；
（2）若，求k的值．
1年模拟
4．（2024·广东东莞·三模）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
5．（2024·广东佛山·三模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东汕头·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ．
10．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
11．（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ．
12．（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ．
13．（2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
14．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
15．（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．
(1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______；
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
16．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
17．（2024·广东·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，在x轴正半轴上有一点M，要使，求出点M的坐标．
18．（2024·广东江门·三模）综合与实践
如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表：
5 10 15 20 25 30 35 40
16
指导老师发现其中有一组数据明显是错误的．
(1)当 时，所对应的的值明显是错误的；
(2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离．
19．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
(3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标．
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专题16 反比例函数及其应用
5年真题
考点1 反比例函数的性质
1．（2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
【答案】4
【分析】将代入中计算即可；
【详解】解：∵，∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
2．（2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考点2 反比例函数与一次函数综合
3．（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求m的值；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）4；（2）或
【分析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；
（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．
【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，∴代入得，∴．
（2）令，即，∴，，令，∴，
∵．
由图象得，可分为以下两种情况，
①B在y轴正半轴时，，∵，
过P作轴交x轴于点H，又，，∴
，∴， ,
即，∴，∴，∴．
②B在y轴负半轴时，，过P作轴，∵，
∴，∴，∴，，∵，∴，代入，∴，
综上，或．
【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．
1年模拟
4．（2024·广东东莞·三模）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵，∴反比例函数的图象位于第二、第四象限，
故选：D．
5．（2024·广东佛山·三模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，令，则，，，
，，过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，，，，
，
在与中，
，
，，，，，
，∴，，设，，，，
，，点，点在反比例函数图象上，
，，（不合题意舍去），，，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2024·广东汕头·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，作于，分别求出、即可求解．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：作于．
设，∵，∴，∵四边形是菱形，
∴，则，∴，，
∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴或（舍去），∴，∵四边形是菱形，
∴，设，则，∴，∴，
∴或（舍去），∴，∴，
故选：C．
7．（2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，求出各点纵坐标，比较大小即可．
【详解】解：，和和在反比例函数的图象上，
，，，，，
故选A．
8．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
轴，轴，点在函数的图象上，
，轴于点，轴，点在函数的图象上，
，四边形的面积等于；
故选：C．
9．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，根据题意，作图分析，设，则，由此可得，由此即可求解，掌握反比例函数，一次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
设，则，∴，
当时，，（不符合题意，舍去），∴；
当时，（不符合题意，舍去），，∴；
综上所述，点的坐标为，
故答案为：或 ．
10．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
【答案】//
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：．
11．（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ．
【答案】/
【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点，
∴，，则，，，
∵沿折叠得到，∴，，
设，则，，
解得，，则，设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，∵，
∴直线的表达式为，联立方程组，解得，∴，
∵反比例函数的图象经过点F，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键．
12．（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交轴于点，
∵反比例函数，点坐标为，∴
∵四边形是菱形，，∴
故答案为：．
13．（2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，如图，连接，，设，与轴的交点分别为M，N，由平行四边形的性质可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
设，与轴的交点分别为M，N，轴，
∵，∴，
根据题意，可得．，，
，解得：，
故答案为3．
14．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数，
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键．
（1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式；
（2）将代入函数解析式求得，比较即可得出结论即可；
【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有，∴，即，
∴与之间成反比例函数，解析式为：．
故答案为：反比例函数，．
（2）将代入函数解析式得：，解得，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是，∵，
∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准．
15．（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．
(1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______；
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得，∴．
将代入，得，∴．
如图，过点A作轴于点D，则．
∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．又∵，
∴，∴，∴．
（2）解：由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，∵，∴，∴；
②若，则，
又∵，，∴，∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
16．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点．
(1)求和的解析式及m值；
(2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标．
【答案】(1)；，
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质：
（1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值；
（2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点．
【详解】（1）解：（1）∵图象过点，∴，∴；
把点代入，∴，∴，∵过点A，B，
∴把和代入得，解得，
∴，
∵关于x轴对称点在图象上，∴；
（2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接，
∴，∴，此时有最大值，
设的解析式为，把，分别代入中，
，∴，
∴的解析式为，令，则，
∴当最大时M的坐标为．
17．（2024·广东·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，在x轴正半轴上有一点M，要使，求出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，已知两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法，解方程组即可求解；
（2）设点M的坐标为，表示出，求出一次函数与反比例函数的交点，则，故得到，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的解析式为．∵，在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：设点M的坐标为，∵，∴，令，
解得，，∴，∴，∵，∴，
∴，解得，∵点M在x轴的正半轴上，∴，
∴．
18．（2024·广东江门·三模）综合与实践
如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表：
5 10 15 20 25 30 35 40
16
指导老师发现其中有一组数据明显是错误的．
(1)当 时，所对应的的值明显是错误的；
(2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键．
（1）根据表格信息，结合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”即可求解；
（2）根据杠杆原理，把代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴当时，对应的的值错误；
故答案为：；
（2）解：根据题意，，∴，
当时，（），
∴弹簧秤的示数 是时，弹簧秤与中点O之间的距离．
19．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
(3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为
(2)在第一象限内当时，
(3)点P的坐标是或
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式；
（2）根据图象求得即可；
（3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键．
【详解】（1）解： 双曲线过点，，双曲线的解析式为，
点，线段，都垂直于轴，，点的横坐标为6，
把代入解得，，
把、点的坐标代入得，解得，
直线的解析式为；
（2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，；
（3）解：设，，，，，，，
当点在的左侧时，，，，，解得，
此时，
当点在的右侧时，
，，
，，解得，此时，
综上，点的坐标是或．
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