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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
考点2 二次函数图象的平移
2．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
3．（2020·广东·中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
考点3 二次函数与几何求值
4．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
考点4 二次函数最值应用
6．（2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
考点5 二次函数图象与系数的关系
7．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点6 二次函数的综合应用
8．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
9．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
10．（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
1年模拟
11．（2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
14．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．
15．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？
(2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
16．（2024·广东珠海·三模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中，__________
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程有__________个不相等的实数根；
②方程有__________个不相等的实数根；
③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________．
17．（2024·广东云浮·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标．
18．（2024·广东阳江·二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元．
(1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值．
(2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元．
①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？
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专题17 二次函数及其应用
5年真题
考点1 二次函数的图象及性质
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，∴，
故选∶A．
考点2 二次函数图象的平移
2．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
3．（2020·广东·中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
考点3 二次函数与几何求值
4．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：
当时，则，即，∵四边形是正方形，
∴，，∴点，∴，解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
5．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设A(a，a )，B(b，b )，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a )，B(b，b )，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，
∴，即，，
设AB的解析式为：，代入A(a，a )，解得：，
∴，∵，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
考点4 二次函数最值应用
6．（2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵p=5，c=4，，∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵，∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
考点5 二次函数图象与系数的关系
7．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，∵，∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，令时，，∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
考点6 二次函数的综合应用
8．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得， ，
∵，∴当时，w有最大值，最大值为，∴，
答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．
9．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：，解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，∵P在线段AB上，∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2），最大利润为1750元
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则，解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴
配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．
1年模拟
11．（2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
先确定抛物线的顶点坐标，于是有，再确定物线与轴的交点坐标为，，再代入解析式求解即可．
【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，
将代入中，得，∴抛物线顶点坐标为．
∵抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6，∴，即，
∴，又∵抛物线与x轴两个交点之间的距离为4a，
∴抛物线经过点，，将点代入中，
得，整理得，解得，∴，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：D．
12．（2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，，故①正确，
对称轴为直线，抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减小，
关于直线对称的点为，又，，故②正确，
方程的解可看作抛物线向上平移一个单位，
由图象可知抛物线与轴有两个交点，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，
关于直线对称的点为，的取值范围为，故④正确．
故正确的有①②④；
故选：C．
13．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可．
【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点，当时，函数的图象与直线有交点，
即时，，
综上所述：实数的取值范围是，
故选：B．
14．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，
点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且，，
故答案为：．
15．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？
(2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
【答案】(1)AB的长为
(2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值．
【详解】（1）解：根据题意得，，解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为；
（2）解：花圃的面积，而由题意：，
即，∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时面积最大，最大面积为．
16．（2024·广东珠海·三模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中，__________
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程有__________个不相等的实数根；
②方程有__________个不相等的实数根；
③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大
(4)①3，3，②2，③
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
（1）把代入函数解释式即可得的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大；
（4）①根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到的取值范围是．
【详解】（1）解：把代入得，即，
故答案为：0；
（2）解：描点、连线，补全图形如图所示；
（3）解：由函数图象知：①函数的图象关于轴对称；
②当时，随的增大而增大；
（4）解：①由函数图象知：函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根；
②如图，的图象与直线有两个交点，
有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：关于的方程有4个不相等的实数根，
的取值范围是，
故答案为：3，3，2，．
17．（2024·广东云浮·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)．
【分析】（）由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（）过点作直线于点，可证，得出，即，得出，再运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标．
【详解】（1）抛物线经过点，对称轴过点，
抛物线的对称轴为直线，，
抛物线与轴的另一个交点为，代入，得，解得：，
该抛物线解析式为；
（2）如图1，过点作直线于点，直线过点且垂直于轴，，
，，，，，，
，，，，，，
点的纵坐标为，由，解得：，（舍去），，
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为，联立，得，
解得：（舍去），，．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，求一次函数和二次函数图象的交点，相似三角形的判定和性质，解题的关键熟练掌握知识点的应用，学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
18．（2024·广东阳江·二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元．
(1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值．
(2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元．
①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？
【答案】(1)
(2)①；②每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意可得，方程组，计算即可得解；
（2）①依据题意，月销售利润，再结合售价不能高于40元，可得自变量的取值范围；
②依据题意，由①的结论整理得，进而结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】（1）解：因该玩具每件的进价为元和售价为元，由题意得，
解得，
∴；
（2）解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得：
与的函数关系式为：，
的取值范围为：；
②由①得：
，，
当时，有最大值为2722.5，
答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元．
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