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专题21 几何综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东·中考真题）
【知识技能】
（1）如图1，在△ABC中，是△ABC的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在△ABC中，是△ABC的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在△ABC中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析
【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；
（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明；
（3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足．
【详解】证明：（1）是△ABC的中位线，且．
又绕点D按逆时针方向旋转得到，，．
（2）由题意可知：，，．
作，则且，
又，．根据外角定理，
，．又，是的中位线，
，，，，，
．
（3）存在点使得．∵，∴，
∴在中，，
过点C作于点M，
∴，∵，∴
∴，即，∴，∴，
∵，∴，∴点M是的中点，∴是的垂直平分线，
过点D作，交于点P，连接，，∴，
∴根据三线合一得，∵，∴，∵，
∴，∴，即，∴，
过点P作于点N，则四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴点N是的中点，∴垂直平分，∴，
∴，∵，，∴，
又，∴，∴，
∵，∴
即，∴，
∴当点G与点P重合时，满足．
【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．
2．（2023·广东·中考真题）
综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明；
（2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出；
②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为．
【详解】（1）∵点关于的对称点为，∴点E是的中点，，
又∵四边形是矩形，∴O是的中点，∴是的中位线，∴
∴，∴
（2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，
∵四边形是矩形，∴，，∴，．∵，，，
∴，∴．∵与相切，为半径，，
∴，∴又∵即，，
∴是的角平分线，即，设，
则，又∵，∴
∴，又∵，即是直角三角形，
∴，即，解得：，∴，即，
在中，，，∴，
∴；
②过点O作于点H，
∵与相切，∴，，∵
∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，
又∵是的中位线，∴，∴，∴
又∵，∴，又∵，∴，又∵，
∴是等腰直角三角形，，
设，则，∴
在中，，，即
∴，∴的面积为：
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2021·广东·中考真题）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，
(1)求证：；
(2)求证：以为直径的圆与相切；
(3)若，，求△ADE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据，可得，同理可得；结合即可求证；
（2）取的中点O，过点O作于H，连接并延长交的延长线于G，可得；证可得是的中位线，即可求证；
（3）过点D作，交的延长线于M，过点A作于N，分别解直角三角形，根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，
∴，∴，∴，∴；
（2）证明：如图1，取的中点O，过点O作于H，
∴∴ ∵，∴ ，∵，，∴四边形是梯形，∴点H是的中点，∴
连接并延长交的延长线于G，∴，∵
∴（），∴，∴是的中位线，
∴，∵，
∴以为直径的圆与相切；
（3）解：如图2，
由（1）知，，∵，∴，
在中，，∴，
∴ ，∵，，
∴，过点D作，交的延长线于M，
∴，∴，∴四边形是矩形，∴
过点A作于N，∴四边形是矩形，∴，
由（1）知，，∵，∴，
在中，，∴ ∴
∴
【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、圆的切线证明等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．
1年模拟
4．（2024·广东揭阳·三模）
综合与探究
如图，正方形中，，为边上异于、的一动点，为边上一点，，为线段上的动点，于，于．
(1)求证：；
(2)若为中点，设为．
①求的长（用含的代数式表示）；
②求四边形面积的最大值；
(3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．
【答案】(1)见解析
(2)①；②最大值为12；
(3)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可．
（2）延长交于点，则，，
设为，根据得出，求出即可进一步求得的长．根据题意列出四边形面积的二次函数，求最大值即可．
（3）设，即可求出，根据（2）可得，列出四边形面积与的关系式，求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，
，，；
（2）解：①，为中点，，，，，
延长交于点，在正方形中，，，四边形是矩形，
，，与平行，则，，，
即，，；
②，，开口向下，
当时，随的增大而增大，，当时，有最大值为12；
（3）证明：设，由（1）得：，，
由（2）得，，，
，，
，开口向下，对称轴，又，
，当时，随的增大而增大，，
四边形面积随着的增大而增大．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2024·广东·三模）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)当平分时，＝________°；
(2)若，求的长；
(3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式．
【答案】(1)22.5
(2)
(3)
【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键．
（1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可；
（2）根据旋转的性质证，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质证，根据全等三角形的性质，结合三角形的面积公求解即可．
【详解】（1）解：由旋转性质，得，，∴，
∵平分，∴，由题意，得，∴．
故答案为：22.5；
（2）∵，，∴，，由旋转性质，得，，∴，，∴，
即，又∵，∴，∴，
即．由题意知，，∵，∴；
（3）如图，设与交于点F，连接，由对称性质，得，．
由题意，得是等腰直角三角形，∴F为中点，即．
由（2）知，∴，∴，∴，
∴，，∵，
∴，即．∵，，
∴在中，，∴，
又∵，∴，过点D作轴于点G，
∵，∴，∴．
在和中，
，
∴，∴，，
∴，即，．
6．（2024·广东珠海·三模）如图1，点O为矩形的对称中心， ，点E为边上一点（），连结并延长，交于点F．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G．
(1)求证：．
(2)当时，求的长．
(3)令．
①求证：．
②如图2，连结，分别交于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，则b的值为 ，的值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②，
【分析】（1）由矩形，可得，则，由四边形与关于所在直线成轴对称，可得，则，进而可证；
（2）如图1，作于，设，则，，证明四边形是矩形，则，，，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解，进而可求的长；
（3）①如图2，作于，连接，则，证明，则，即，由，可得，则，进而可得；②如图3，连接，由题意得，，，，证明，，则，证明，则，，证明，则，，证明，则，，，证明，则，，由，可求，则，，进而可求．
【详解】（1）证明：∵矩形，∴，∴，
∵四边形与关于所在直线成轴对称，∴，
∴，∴；
（2）解：如图1，作于，
设，则，，∵，
∴四边形是矩形，∴，
∵点O为矩形的对称中心，∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），∴，∴的长为；
（3）①证明：如图2，作于，连接，
∵点O为矩形的对称中心，过点O，
∴点O为的中点，，∵，∴，
∴，又∵，∴，
∴，即，∵，∴，
∴，∴；
②解：如图3，连接，
∵四边形与关于所在直线成轴对称，∴，
∵点O为矩形的对称中心，∴，同理，
由（1）知，，∴，即，又∵，
∴，∴，又∵，，
∴，∴，∴，即，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∵，，∴，
∴，，∴，∴，又∵，
∴，∴，∴，
当时，，解得，，∴，，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2024·广东惠州·三模）某兴趣小组在数学项目式学习活动中拟做以下探究：在中，， 是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点．
【初步感知】（1）如题1图，当时，该兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程；
【深入探究】（2）如题2图，当时且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】（3）请通过类比、归纳、猜想、探究，归纳出线段之间数量关系的一般结论．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）当在射线上时， ；当在射线上时，
【分析】（1）如图1，连接，当时，，即，由题意知，则，，即，证明，则，即；
（2）如图2，过作于，作于，则四边形是矩形，则，是等腰直角三角形，，，证明，则，设，则，，，，证明，则，，；
（3）①当在射线上时，如图3，过作于，作于，则四边形是矩形，，同理（2）可知，，是等腰直角三角形，则，，证明，则，设，则，，，，同理（2），，则，，；②当在射线上时，如图4，过作于，作于，则四边形是矩形，，同理①可得，，设，则，，，，同理（2），，则，，．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
当时，，即，∵，∴，
∴，，即，∵，
∴，即，又∵，，
∴，∴，∴，
∴；
（2）解：，证明如下；
如图2，过作于，作于，则四边形是矩形，
∴，∵，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，设，则，，，
∴，∵，∴，又∵，
∴，∴，∴，
∴，∴；
（3）解：当在射线上时， ；当在射线上时， ；
①当在射线上时，如图3，过作于，作于，则四边形是矩形，
∴，
同理（2）可知，，是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，设，则，，，∴，同理（2），，∴，∴，
∴，∴；
②当在射线上时，如图4，过作于，作于，则四边形是矩形，
∴，同理①可得，，∴，
设，则，，，∴，
同理（2），，∴，∴，
∴，∴；
综上所述，当在射线上时， ；当在射线上时， ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
8．（2024·广东惠州·二模）综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，连接，，根据条件填空：
①的度数为 ；
②若，则的长为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；②结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案；
（3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案．
【详解】解：（1）①将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，，，
为等腰直角三角形，；
②为等腰直角三角形，，，
故答案为：①；②；
（2）将绕点逆时针旋转得，如图，
由旋转的性质可得，，，，
，，，共线，，
，，，，
，，，，
设正方形边长为，则，，在 中，，
即，解得或（负值舍去），
正方形的边长为；
（3）如图，将绕逆时针旋转至，连接，
由旋转的性质可得，，，，
，又，，，，
，，，，
，，，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．
9．（2024·广东清远·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
(1)如图1，当点M在上时，______度；
(2)如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②若，（点Q在下方），则的长为______．
【答案】(1)30
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；
（2）①由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出；
②设，则，．求出，，根据勾股定理得出，求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，，
∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，∴，
在中，，∴．
故答案为：．
（2）解：①，理由如下：∵四边形是正方形，
，．由折叠可得：，，
，． 又， ，
∴．
②设，则，．∵，∴，
∴，．在中，由，
得，解得，∴的长为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2024·广东佛山·三模）如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形为正方形，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可证明结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再结合，，即可四边形的形状；
（3）根据为直角三角形，可分两种情况讨论，当时，过点G作于点N，先证明四边形为正方形，再求，即得答案；当时，点G与点F重合，分别求出和的面积，即得答案．
【详解】（1）线段绕点A逆时针方向旋转后得到，，，
四边形是正方形，，，，，
，；
（2）四边形为正方形；理由如下：点E，F分别是边，的中点，
，，，，，
点G为线段的中点，，，，，，
，四边形是平行四边形，，，
四边形为正方形；
（3）分两种情况讨论：
当时，如图，过点G作于点N，，，
，四边形为矩形，，四边形为正方形，
，，，，，
，，，
，
四边形的面积为；
当时，如图，点G与点F重合，此时，，
，，，
，，，，，
，，，，
，，即，，，
四边形的面积为；
综上说述，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查了正方形的判定性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握掌握相关判定与性质，用分类讨论思想来解题是解答本题的关键．
11．（2024·广东佛山·三模）综合探究
如图1，在学行四边形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形中，过点C作射线，垂足为C，点P在射线上．
【动手操作】
（1）如图2，若点P是线段中点时，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系为________．
【问题探究】
（2）若点P在线段上时，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长．
【答案】（1）；（2）还成立，理由见解析；（3）的长为或．
【分析】（1）取的中点，连接，证明，即可得到；
（2）过点P作交于点，证明，即可得到；
（3）点P在线段上时，过点P作交于点，由（2）可知，求得；点P在线段的延长线上时，过点P作交于点，证明是等腰直角三角形，再证明，即可得到；
【详解】解：（1）；理由如下，
∵正方形，∴，，，
∵，∴，，
取的中点，连接，
∵点P是线段中点，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，∴；
（2）还成立，理由如下，过点P作交于点，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∴即，，同理，
∴；
（3）点P在线段上时，过点P作交于点，
由（2）可知，，，，∵，
∴，∵，∴，∵，，
∴；
点P在线段的延长线上时，过点P作交于点，
∵，，∴，
∴是等腰直角三角形，，∴，，，同理，∴；
∵，∴，∵，，∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及正方形的性质，等腰直角三角形，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．（2024·广东佛山·二模）已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．
【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）首先推导出，由推导出，结合点是的中点，得到．
（2）延长交边于点，利用勾股定理求得，，继而推导出，与（1）同理可得：．
（3）延长交边于点，明确点在以为直径的半圆上运动，取中点，连接，当与半圆相切时，有最大值，同时推导出也为半圆的切线，点在线段的垂直平分线上，同理：点在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线，推导出，结合，得到四边形是平行四边形，求得，，与（1）同理可得：．
【详解】（1）解：如图，在正方形中，，，
∴，
∴，∴，∵点是的中点，∴．
（2）延长交边于点，如图，
∵点是的中点时，，∴，∴，
在中，，∴，
在正方形中，，∴，∵，∴，∴，
与（1）同理可得： ．
（3）延长交边于点，如图，
∵，∴点在以为直径的半圆上运动，取中点，连接，
∴当与半圆相切时，有最大值．∵且为半径，∴也为半圆的切线，
∴，∴点在线段的垂直平分线上，同理：点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，∴，∴，又∵，
∴四边形是平行四边形，∴，∴．
与（1）同理可得：．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理．
13．（2024·广东河源·一模）如图1，在正方形中，，点是对角线上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，作的外接圆⊙O，交边于点，连接，若，求的直径长；
(3)如图3，设⊙O交于另外一点，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
(3)
【分析】本题考查正方形与圆的综合应用，熟练掌握正方形的性质、勾股定理的应用、三角形全等的判定和性质、圆的性质及圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等是解题关键．
（1）过点作于．过点作于．证明即可得出结论；
（2）过点作于，连接，证明．进而求出，，再在中，求出，，
（3）过点作于．过点作于，容易证明，进而可得．再证明，得．进而求解．
【详解】（1）证明：如图1，∵，．∴．
∴．
∴四边形是矩形，∵，∴，∴四边形是正方形．
∴，，∵．
∴
在和中
∴，∴
（2）如图2，过点作于
∵，，∴，∴
∵，，∴，令，
则，∵，∴，∵，∴
即，解得，∴，，∴
∴4，∵，⊙O是的外接圆，∵
∴，∴，∴的直径是
（3）解：如图3，连接，过点作于点，
∵四边形是正方形，∴
在和中
．
∴，∴，∵，∴
又∵，∴，∴
∵，，∴
∴
14．（2024·广东云浮·一模）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
(1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
(2)半圆O与相切时，求的长？
(3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
(4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
【答案】(1)30；
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，利用锐角三角函数和勾股定理解答即可；
（2）设切点为N，连接，，设，利用勾股定理列出方程即可求解；
（3）过点O作于点H，连接，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得的值，得到A，M，E三点重合，利用扇形的面积公式解答即可；
（4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B，
在中，，∴
在中，，∴，∵，
∴，∴点C到半圆O的最短距离为，
故答案为：30，；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，∴为半圆O的切线，∵为半圆O的切线，∴，
∴，设，∵，∴
∵为半圆O的切线，∴，∴，即，解得：
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则，∵，，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
解得：或（不合题意，舍去），∴，
∴A，M，E三点重合，∴
∴扇形的面积；
（4）如图，
当与边相切于点时，，此时，与有一个公共点，
由（2）知：；当与边相切于点时，，
此时，与△ABC有三个公共点，∴．
∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点，∴；
当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点B时，与△ABC有三个公共点，
∵，，，∴，解得：．
∴当时，与△ABC有三个公共点，
∴当时，与△ABC有两个公共点，
综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆的有关计算，圆周角定理，垂径定理，切线长定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直线与圆的位置关系，连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
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专题21 几何综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东·中考真题）
【知识技能】
（1）如图1，在△ABC中，是△ABC的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在△ABC中，是△ABC的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在△ABC中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
2．（2023·广东·中考真题）
综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
3．（2021·广东·中考真题）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，
(1)求证：；
(2)求证：以为直径的圆与相切；
(3)若，，求△ADE的面积．
1年模拟
4．（2024·广东揭阳·三模）
综合与探究
如图，正方形中，，为边上异于、的一动点，为边上一点，，为线段上的动点，于，于．
(1)求证：；
(2)若为中点，设为．
①求的长（用含的代数式表示）；
②求四边形面积的最大值；
(3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．
5．（2024·广东·三模）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)当平分时，＝________°；
(2)若，求的长；
(3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式．
6．（2024·广东珠海·三模）如图1，点O为矩形的对称中心， ，点E为边上一点（），连结并延长，交于点F．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G．
(1)求证：．
(2)当时，求的长．
(3)令．
①求证：．
②如图2，连结，分别交于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，则b的值为 ，的值为 ．
7．（2024·广东惠州·三模）某兴趣小组在数学项目式学习活动中拟做以下探究：在中，， 是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点．
【初步感知】（1）如题1图，当时，该兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程；
【深入探究】（2）如题2图，当时且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】（3）请通过类比、归纳、猜想、探究，归纳出线段之间数量关系的一般结论．
8．（2024·广东惠州·二模）综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，连接，，根据条件填空：
①的度数为 ；
②若，则的长为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
9．（2024·广东清远·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
(1)如图1，当点M在上时，______度；
(2)如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②若，（点Q在下方），则的长为______．
10．（2024·广东佛山·三模）如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，求四边形的面积．
11．（2024·广东佛山·三模）综合探究
如图1，在学行四边形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形中，过点C作射线，垂足为C，点P在射线上．
【动手操作】
（1）如图2，若点P是线段中点时，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系为________．
【问题探究】
（2）若点P在线段上时，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长．
12．（2024·广东佛山·二模）已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．
【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值．
13．（2024·广东河源·一模）如图1，在正方形中，，点是对角线上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，作的外接圆⊙O，交边于点，连接，若，求的直径长；
(3)如图3，设⊙O交于另外一点，若，求的面积．
14．（2024·广东云浮·一模）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
(1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
(2)半圆O与相切时，求的长？
(3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
(4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
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